Страница 378 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Выразите через a и b (127—128):

127

a) $\log_8 9.8$, если $\lg 2 = a$, $\lg 7 = b$;

б) $\log_{175} 56$, если $\log_{14} 7 = a$, $\log_{14} 5 = b$.

а)

Чтобы выразить $log_8 9,8$ через $a = lg 2$ и $b = lg 7$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В качестве нового основания выберем 10, так как нам даны десятичные логарифмы (обозначаются как $lg$).

Формула перехода к новому основанию: $log_x y = \frac{log_z y}{log_z x}$.

Применим ее к нашему выражению: $log_8 9,8 = \frac{lg 9,8}{lg 8}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов и данные значения $a$ и $b$.

Преобразуем числитель $lg 9,8$: $lg 9,8 = lg(\frac{98}{10}) = lg 98 - lg 10$. Мы знаем, что $lg 10 = 1$. Разложим 98 на множители: $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$. $lg 98 = lg(2 \cdot 7^2) = lg 2 + lg(7^2) = lg 2 + 2 lg 7$. Подставляя $lg 2 = a$ и $lg 7 = b$, получаем: $lg 98 = a + 2b$. Таким образом, числитель равен: $lg 9,8 = a + 2b - 1$.

Преобразуем знаменатель $lg 8$: $lg 8 = lg(2^3) = 3 lg 2$. Подставляя $lg 2 = a$, получаем: $lg 8 = 3a$.

Соединяем числитель и знаменатель: $log_8 9,8 = \frac{a + 2b - 1}{3a}$.

Ответ: $\frac{a + 2b - 1}{3a}$.

б)

Чтобы выразить $log_{175} 56$ через $a = log_{14} 7$ и $b = log_{14} 5$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В качестве нового основания удобно выбрать 14.

$log_{175} 56 = \frac{log_{14} 56}{log_{14} 175}$

Преобразуем числитель $log_{14} 56$. Для этого нам понадобится значение $log_{14} 2$. Найдем $log_{14} 2$ из свойства $log_{14} 14 = 1$: $1 = log_{14} 14 = log_{14}(2 \cdot 7) = log_{14} 2 + log_{14} 7$. $1 = log_{14} 2 + a$, отсюда $log_{14} 2 = 1 - a$.

Теперь выразим числитель. Разложим 56 на множители: $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$. $log_{14} 56 = log_{14}(2^3 \cdot 7) = log_{14}(2^3) + log_{14} 7 = 3 log_{14} 2 + log_{14} 7$. Подставляем найденное значение $log_{14} 2 = 1 - a$ и данное $log_{14} 7 = a$: $log_{14} 56 = 3(1 - a) + a = 3 - 3a + a = 3 - 2a$.

Преобразуем знаменатель $log_{14} 175$. Разложим 175 на множители: $175 = 25 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$. $log_{14} 175 = log_{14}(5^2 \cdot 7) = log_{14}(5^2) + log_{14} 7 = 2 log_{14} 5 + log_{14} 7$. Подставляем данные значения $log_{14} 5 = b$ и $log_{14} 7 = a$: $log_{14} 175 = 2b + a$.

Соединяем числитель и знаменатель: $log_{175} 56 = \frac{log_{14} 56}{log_{14} 175} = \frac{3 - 2a}{a + 2b}$.

Ответ: $\frac{3 - 2a}{a + 2b}$.

128 a) $log_{600} 900$, если $a = log_5 2$ и $b = log_2 3$;

б) $log_{140} 350$, если $a = log_7 5$ и $b = log_5 2$;

в) $log_{300} 120$, если $a = log_2 3$ и $b = log_3 5$;

г) $log_{490} 700$, если $a = log_2 7$ и $b = log_7 5$.

а) Дано: $a = \log_5 2$ и $b = \log_2 3$. Требуется найти $\log_{600} 900$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Из условия имеем: $\log_2 3 = b$. Из $a = \log_5 2$ следует, что $\log_2 5 = \frac{1}{\log_5 2} = \frac{1}{a}$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{600} 900 = \frac{\log_2 900}{\log_2 600}$.

Разложим числа 900 и 600 на простые множители: $900 = 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$ и $600 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_2 900 = \log_2 (2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^2) = 2\log_2 2 + 2\log_2 3 + 2\log_2 5 = 2 \cdot 1 + 2b + 2 \cdot \frac{1}{a} = 2 + 2b + \frac{2}{a}$.

$\log_2 600 = \log_2 (2^3 \cdot 3 \cdot 5^2) = 3\log_2 2 + \log_2 3 + 2\log_2 5 = 3 \cdot 1 + b + 2 \cdot \frac{1}{a} = 3 + b + \frac{2}{a}$.

Подставим полученные выражения в дробь и упростим, умножив числитель и знаменатель на $a$:

$\log_{600} 900 = \frac{2 + 2b + \frac{2}{a}}{3 + b + \frac{2}{a}} = \frac{a(2 + 2b + \frac{2}{a})}{a(3 + b + \frac{2}{a})} = \frac{2a + 2ab + 2}{3a + ab + 2}$.

Ответ: $\frac{2a + 2ab + 2}{3a + ab + 2}$

б) Дано: $a = \log_7 5$ и $b = \log_5 2$. Требуется найти $\log_{140} 350$.

Приведем все логарифмы к основанию 5. Из условия имеем: $\log_5 2 = b$. Из $a = \log_7 5$ следует, что $\log_5 7 = \frac{1}{\log_7 5} = \frac{1}{a}$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{140} 350 = \frac{\log_5 350}{\log_5 140}$.

Разложим числа 350 и 140 на простые множители: $350 = 2 \cdot 5^2 \cdot 7$ и $140 = 2^2 \cdot 5 \cdot 7$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_5 350 = \log_5 (2 \cdot 5^2 \cdot 7) = \log_5 2 + 2\log_5 5 + \log_5 7 = b + 2 \cdot 1 + \frac{1}{a} = b + 2 + \frac{1}{a}$.

$\log_5 140 = \log_5 (2^2 \cdot 5 \cdot 7) = 2\log_5 2 + \log_5 5 + \log_5 7 = 2b + 1 + \frac{1}{a}$.

Подставим полученные выражения в дробь и упростим, умножив числитель и знаменатель на $a$:

$\log_{140} 350 = \frac{b + 2 + \frac{1}{a}}{2b + 1 + \frac{1}{a}} = \frac{a(b + 2 + \frac{1}{a})}{a(2b + 1 + \frac{1}{a})} = \frac{ab + 2a + 1}{2ab + a + 1}$.

Ответ: $\frac{ab + 2a + 1}{2ab + a + 1}$

в) Дано: $a = \log_2 3$ и $b = \log_3 5$. Требуется найти $\log_{300} 120$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Из условия имеем: $\log_2 3 = a$. По свойству логарифмов, $b = \log_3 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 3} = \frac{\log_2 5}{a}$, откуда $\log_2 5 = ab$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{300} 120 = \frac{\log_2 120}{\log_2 300}$.

Разложим числа 120 и 300 на простые множители: $120 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$ и $300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_2 120 = \log_2 (2^3 \cdot 3 \cdot 5) = 3\log_2 2 + \log_2 3 + \log_2 5 = 3 \cdot 1 + a + ab = a + ab + 3$.

$\log_2 300 = \log_2 (2^2 \cdot 3 \cdot 5^2) = 2\log_2 2 + \log_2 3 + 2\log_2 5 = 2 \cdot 1 + a + 2ab = a + 2ab + 2$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\log_{300} 120 = \frac{a + ab + 3}{a + 2ab + 2}$.

Ответ: $\frac{ab + a + 3}{2ab + a + 2}$

г) Дано: $a = \log_2 7$ и $b = \log_7 5$. Требуется найти $\log_{490} 700$.

Приведем все логарифмы к основанию 2. Из условия имеем: $\log_2 7 = a$. По свойству логарифмов, $b = \log_7 5 = \frac{\log_2 5}{\log_2 7} = \frac{\log_2 5}{a}$, откуда $\log_2 5 = ab$.

Воспользуемся формулой перехода к новому основанию: $\log_{490} 700 = \frac{\log_2 700}{\log_2 490}$.

Разложим числа 700 и 490 на простые множители: $700 = 2^2 \cdot 5^2 \cdot 7$ и $490 = 2 \cdot 5 \cdot 7^2$.

Выразим логарифмы числителя и знаменателя через $a$ и $b$:

$\log_2 700 = \log_2 (2^2 \cdot 5^2 \cdot 7) = 2\log_2 2 + 2\log_2 5 + \log_2 7 = 2 \cdot 1 + 2ab + a = 2ab + a + 2$.

$\log_2 490 = \log_2 (2 \cdot 5 \cdot 7^2) = \log_2 2 + \log_2 5 + 2\log_2 7 = 1 + ab + 2a = ab + 2a + 1$.

Подставим полученные выражения в дробь:

$\log_{490} 700 = \frac{2ab + a + 2}{ab + 2a + 1}$.

Ответ: $\frac{2ab + a + 2}{ab + 2a + 1}$

Вычислите (129–130):

129

а) $\log_{b^2} (a^2b^2)$, если $\log_a b = 2$;

б) $\log_{b^3} (a^3b^3)$, если $\log_a b = 3$;

в) $\log_{b^4} (a^4b^4)$, если $\log_a b = 4$;

г) $\log_{b^5} (a^5b^5)$, если $\log_a b = 5$.

а) Требуется вычислить $ \log_{b^2}(a^2b^2) $, если известно, что $ \log_a b = 2 $.

Сначала преобразуем логарифмическое выражение. Используя свойство степеней $x^n y^n = (xy)^n$, получаем:

$ \log_{b^2}(a^2b^2) = \log_{b^2}((ab)^2) $.

Далее воспользуемся свойством логарифма $ \log_{x^k}(y^k) = \log_x y $:

$ \log_{b^2}((ab)^2) = \log_b(ab) $.

Теперь применим свойство логарифма произведения $ \log_x(MN) = \log_x M + \log_x N $:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b $.

Поскольку $ \log_b b = 1 $, выражение упрощается до $ \log_b a + 1 $.

Из условия задачи нам дано, что $ \log_a b = 2 $. Чтобы найти $ \log_b a $, воспользуемся свойством $ \log_y x = \frac{1}{\log_x y} $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{2} $.

Подставим найденное значение в наше выражение и вычислим результат:

$ \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2} + \frac{2}{2} = \frac{3}{2} $.

Ответ: $ \frac{3}{2} $.

б) Требуется вычислить $ \log_{b^3}(a^3b^3) $, если известно, что $ \log_a b = 3 $.

Преобразуем выражение, используя те же свойства, что и в предыдущем пункте:

$ \log_{b^3}(a^3b^3) = \log_{b^3}((ab)^3) = \log_b(ab) $.

Раскроем логарифм произведения:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b = \log_b a + 1 $.

Из условия $ \log_a b = 3 $ находим $ \log_b a $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{3} $.

Подставляем значение и получаем результат:

$ \frac{1}{3} + 1 = \frac{1}{3} + \frac{3}{3} = \frac{4}{3} $.

Ответ: $ \frac{4}{3} $.

в) Требуется вычислить $ \log_{b^4}(a^4b^4) $, если известно, что $ \log_a b = 4 $.

Упростим данное выражение по аналогии с предыдущими примерами:

$ \log_{b^4}(a^4b^4) = \log_{b^4}((ab)^4) = \log_b(ab) $.

Применяя свойство логарифма произведения, получаем:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b = \log_b a + 1 $.

Из условия $ \log_a b = 4 $ находим $ \log_b a $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{4} $.

Вычисляем конечный результат:

$ \frac{1}{4} + 1 = \frac{1}{4} + \frac{4}{4} = \frac{5}{4} $.

Ответ: $ \frac{5}{4} $.

г) Требуется вычислить $ \log_{b^5}(a^5b^5) $, если известно, что $ \log_a b = 5 $.

Преобразуем выражение, используя свойства логарифмов:

$ \log_{b^5}(a^5b^5) = \log_{b^5}((ab)^5) = \log_b(ab) $.

Раскладываем логарифм на сумму логарифмов:

$ \log_b(ab) = \log_b a + \log_b b = \log_b a + 1 $.

Из условия $ \log_a b = 5 $ находим $ \log_b a $:

$ \log_b a = \frac{1}{\log_a b} = \frac{1}{5} $.

Подставляем и вычисляем итоговое значение:

$ \frac{1}{5} + 1 = \frac{1}{5} + \frac{5}{5} = \frac{6}{5} $.

Ответ: $ \frac{6}{5} $.

130 a) $\log_{b^3 \sqrt[7]{a^5}} \left( \frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}} \right)$, если $\log_b a = \sqrt{3}$;

б) $\log_{d^4 \sqrt[5]{c^6}} \left( \frac{c\sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}} \right)$, если $\log_d c = \sqrt{5}$.

а)

Для решения данной задачи воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма: $log_x y = \frac{log_z y}{log_z x}$. В качестве нового основания $z$ выберем $b$.

Исходное выражение: $log_{b^3 \sqrt[7]{a^5}} (\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}})$.

Применяя формулу перехода к основанию $b$, получаем:

$log_{b^3 \sqrt[7]{a^5}} (\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}}) = \frac{log_b(\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}})}{log_b(b^3 \sqrt[7]{a^5})}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель по отдельности, используя свойства логарифмов и степеней.

Числитель:

$log_b(\frac{\sqrt[7]{a}}{b\sqrt{b}}) = log_b(\frac{a^{1/7}}{b \cdot b^{1/2}}) = log_b(\frac{a^{1/7}}{b^{3/2}})$

Используя свойство логарифма частного $log_k(\frac{m}{n}) = log_k m - log_k n$:

$log_b(a^{1/7}) - log_b(b^{3/2})$

Используя свойство логарифма степени $log_k m^p = p \cdot log_k m$:

$\frac{1}{7}log_b a - \frac{3}{2}log_b b = \frac{1}{7}log_b a - \frac{3}{2}$, так как $log_b b = 1$.

Знаменатель:

$log_b(b^3 \sqrt[7]{a^5}) = log_b(b^3 \cdot a^{5/7})$

Используя свойство логарифма произведения $log_k(mn) = log_k m + log_k n$:

$log_b(b^3) + log_b(a^{5/7})$

Используя свойство логарифма степени:

$3log_b b + \frac{5}{7}log_b a = 3 + \frac{5}{7}log_b a$.

Теперь подставим преобразованные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{\frac{1}{7}log_b a - \frac{3}{2}}{3 + \frac{5}{7}log_b a}$

По условию задачи $log_b a = \sqrt{3}$. Подставим это значение в выражение:

$\frac{\frac{1}{7}\sqrt{3} - \frac{3}{2}}{3 + \frac{5}{7}\sqrt{3}}$

Упростим полученное многоэтажное дробное выражение, умножив числитель и знаменатель на общий знаменатель внутренних дробей, то есть на 14:

$\frac{14(\frac{\sqrt{3}}{7} - \frac{3}{2})}{14(3 + \frac{5\sqrt{3}}{7})} = \frac{14 \cdot \frac{\sqrt{3}}{7} - 14 \cdot \frac{3}{2}}{14 \cdot 3 + 14 \cdot \frac{5\sqrt{3}}{7}} = \frac{2\sqrt{3} - 21}{42 + 10\sqrt{3}}$

Полученное выражение и является окончательным ответом.

Ответ: $\frac{2\sqrt{3} - 21}{42 + 10\sqrt{3}}$

б)

Решение этого примера аналогично предыдущему. Воспользуемся формулой перехода к новому основанию логарифма, выбрав в качестве нового основания $d$.

Исходное выражение: $log_{d^4 \sqrt[5]{c^6}} (\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}})$.

Применяя формулу перехода к основанию $d$, получаем:

$log_{d^4 \sqrt[5]{c^6}} (\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}}) = \frac{log_d(\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}})}{log_d(d^4 \sqrt[5]{c^6})}$

Преобразуем числитель и знаменатель.

Числитель:

$log_d(\frac{c \sqrt[3]{c}}{\sqrt[5]{d}}) = log_d(\frac{c \cdot c^{1/3}}{d^{1/5}}) = log_d(\frac{c^{4/3}}{d^{1/5}})$

$= log_d(c^{4/3}) - log_d(d^{1/5}) = \frac{4}{3}log_d c - \frac{1}{5}log_d d = \frac{4}{3}log_d c - \frac{1}{5}$.

Знаменатель:

$log_d(d^4 \sqrt[5]{c^6}) = log_d(d^4 \cdot c^{6/5})$

$= log_d(d^4) + log_d(c^{6/5}) = 4log_d d + \frac{6}{5}log_d c = 4 + \frac{6}{5}log_d c$.

Подставим преобразованные части обратно:

$\frac{\frac{4}{3}log_d c - \frac{1}{5}}{4 + \frac{6}{5}log_d c}$

По условию $log_d c = \sqrt{5}$. Подставим это значение:

$\frac{\frac{4}{3}\sqrt{5} - \frac{1}{5}}{4 + \frac{6}{5}\sqrt{5}}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на 15:

$\frac{15(\frac{4\sqrt{5}}{3} - \frac{1}{5})}{15(4 + \frac{6\sqrt{5}}{5})} = \frac{15 \cdot \frac{4\sqrt{5}}{3} - 15 \cdot \frac{1}{5}}{15 \cdot 4 + 15 \cdot \frac{6\sqrt{5}}{5}} = \frac{5 \cdot 4\sqrt{5} - 3}{60 + 3 \cdot 6\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5} - 3}{60 + 18\sqrt{5}}$

Это и есть конечный результат.

Ответ: $\frac{20\sqrt{5} - 3}{60 + 18\sqrt{5}}$

131 Сравните, не пользуясь таблицами и калькулятором:

a) $\log_3 25$ и $\log_2 11$;

б) $\log_4 60$ и $\log_3 30$;

в) $\log_4 75$ и $\log_2 22$;

г) $\log_2 20$ и $\log_3 70$;

д) $\log_4 3$ и $\log_3 2$;

е) $\log_3 5$ и $\log_5 7$.

а) Для того чтобы сравнить $\log_3 25$ и $\log_2 11$, оценим каждое из этих выражений, сравнивая их с целыми числами.

Оценим $\log_3 25$. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$. Поскольку $9 < 25 < 27$, и логарифмическая функция с основанием $3$ является возрастающей, то $\log_3 9 < \log_3 25 < \log_3 27$. Отсюда следует, что $2 < \log_3 25 < 3$.

Оценим $\log_2 11$. Мы знаем, что $2^3 = 8$ и $2^4 = 16$. Поскольку $8 < 11 < 16$, и логарифмическая функция с основанием $2$ является возрастающей, то $\log_2 8 < \log_2 11 < \log_2 16$. Отсюда следует, что $3 < \log_2 11 < 4$.

Сопоставляя полученные результаты, мы видим, что $\log_3 25 < 3$, а $\log_2 11 > 3$. Следовательно, $\log_3 25 < \log_2 11$.

Ответ: $\log_3 25 < \log_2 11$.

б) Сравним $\log_4 60$ и $\log_3 30$, используя метод оценки.

Оценим $\log_4 60$. Мы знаем, что $4^2 = 16$ и $4^3 = 64$. Так как $16 < 60 < 64$, то $2 < \log_4 60 < 3$.

Оценим $\log_3 30$. Мы знаем, что $3^3 = 27$ и $3^4 = 81$. Так как $27 < 30 < 81$, то $3 < \log_3 30 < 4$.

Из этого следует, что $\log_4 60 < 3$, а $\log_3 30 > 3$. Поэтому $\log_4 60 < \log_3 30$.

Ответ: $\log_4 60 < \log_3 30$.

в) Сравним $\log_4 75$ и $\log_2 22$ путем сравнения с целыми числами.

Для $\log_4 75$: $4^3 = 64$ и $4^4 = 256$. Поскольку $64 < 75 < 256$, то $3 < \log_4 75 < 4$.

Для $\log_2 22$: $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$. Поскольку $16 < 22 < 32$, то $4 < \log_2 22 < 5$.

Таким образом, $\log_4 75 < 4$, а $\log_2 22 > 4$. Значит, $\log_4 75 < \log_2 22$.

Ответ: $\log_4 75 < \log_2 22$.

г) Сравним $\log_2 20$ и $\log_3 70$ с помощью оценки.

Для $\log_2 20$: $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$. Так как $16 < 20 < 32$, то $4 < \log_2 20 < 5$.

Для $\log_3 70$: $3^3 = 27$ и $3^4 = 81$. Так как $27 < 70 < 81$, то $3 < \log_3 70 < 4$.

Следовательно, $\log_2 20 > 4$, а $\log_3 70 < 4$. Поэтому $\log_2 20 > \log_3 70$.

Ответ: $\log_2 20 > \log_3 70$.

д) Для сравнения чисел $\log_4 3$ и $\log_3 2$ рассмотрим функцию $f(x) = \log_x(x-1)$. Нам нужно сравнить $f(4) = \log_4 3$ и $f(3) = \log_3 2$.

Исследуем эту функцию на монотонность. Перейдем к натуральному логарифму: $f(x) = \frac{\ln(x-1)}{\ln x}$. Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(\frac{1}{x-1})\ln x - \ln(x-1)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} = \frac{x\ln x - (x-1)\ln(x-1)}{x(x-1)(\ln x)^2}$.

При $x>1$ знаменатель положителен. Знак производной зависит от знака числителя $g(x) = x\ln x - (x-1)\ln(x-1)$. Найдем производную $g'(x) = (\ln x + 1) - (\ln(x-1)+1) = \ln x - \ln(x-1) = \ln(\frac{x}{x-1})$.

При $x>1$ имеем $\frac{x}{x-1} > 1$, поэтому $\ln(\frac{x}{x-1}) > 0$. Так как $g'(x)>0$, функция $g(x)$ возрастает при $x>1$. Поскольку $g(2) = 2\ln 2 - 1\ln 1 = \ln 4 > 0$, то $g(x)>0$ для всех $x \ge 2$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \ge 2$, и функция $f(x) = \log_x(x-1)$ возрастает на этом промежутке. Так как $4 > 3$, то $f(4) > f(3)$.

Ответ: $\log_4 3 > \log_3 2$.

е) Для сравнения чисел $\log_3 5$ и $\log_5 7$ рассмотрим функцию $f(x) = \log_x(x+2)$. Нам нужно сравнить $f(3) = \log_3 5$ и $f(5) = \log_5 7$.

Исследуем функцию на монотонность. Перейдем к натуральному логарифму: $f(x) = \frac{\ln(x+2)}{\ln x}$. Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(\frac{1}{x+2})\ln x - \ln(x+2)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} = \frac{x\ln x - (x+2)\ln(x+2)}{x(x+2)(\ln x)^2}$.

При $x>1$ знаменатель положителен. Знак производной определяется знаком числителя $g(x) = x\ln x - (x+2)\ln(x+2)$. Его производная $g'(x) = (\ln x + 1) - (\ln(x+2)+1) = \ln(\frac{x}{x+2})$.

При $x>0$ имеем $\frac{x}{x+2} < 1$, поэтому $\ln(\frac{x}{x+2}) < 0$. Так как $g'(x)<0$, функция $g(x)$ убывает при $x>0$. Поскольку $g(1) = 1\ln 1 - 3\ln 3 = -3\ln 3 < 0$, то $g(x)<0$ для всех $x \ge 1$.

Следовательно, $f'(x) < 0$ при $x>1$, и функция $f(x) = \log_x(x+2)$ убывает. Так как $3 < 5$, то $f(3) > f(5)$.

Ответ: $\log_3 5 > \log_5 7$.

Показательные уравнения

Решите уравнение (132—146):

132 а) $2^x = 4;$ б) $3^x = 27;$ в) $5^x = 1;$

г) $5^x = 25^3;$ д) $4^x = 16^5;$ е) $(\frac{1}{4})^x = 1.$

а)

Дано показательное уравнение $2^x = 4$.

Для решения необходимо привести обе части уравнения к одинаковому основанию. В данном случае это основание 2.

Представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $2^x = 2^2$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, их показатели также должны быть равны. Следовательно, $x = 2$.

Ответ: $2$.

б)

Дано уравнение $3^x = 27$.

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

Число 27 является третьей степенью числа 3: $27 = 3^3$.

Подставив это значение в уравнение, получаем: $3^x = 3^3$.

Приравнивая показатели степеней, находим $x = 3$.

Ответ: $3$.

в)

Дано уравнение $5^x = 1$.

Мы знаем, что любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Таким образом, мы можем представить 1 как $5^0$.

Уравнение принимает вид: $5^x = 5^0$.

Отсюда следует, что показатели степеней равны: $x = 0$.

Ответ: $0$.

г)

Дано уравнение $5^x = 25^3$.

Приведем обе части к общему основанию 5.

Представим число 25 как степень 5: $25 = 5^2$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^3 = (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.

Исходное уравнение теперь выглядит так: $5^x = 5^6$.

Приравнивая показатели, получаем $x = 6$.

Ответ: $6$.

д)

Дано уравнение $4^x = 16^5$.

Приведем обе части к общему основанию 4.

Представим число 16 как степень 4: $16 = 4^2$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$16^5 = (4^2)^5 = 4^{2 \cdot 5} = 4^{10}$.

Теперь уравнение имеет вид: $4^x = 4^{10}$.

Сравнивая показатели степеней, находим $x = 10$.

Ответ: $10$.

е)

Дано уравнение $(\frac{1}{4})^x = 1$.

Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{4}$.

$1 = (\frac{1}{4})^0$.

Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{4})^0$.

Приравнивая показатели степеней, получаем $x = 0$.

Ответ: $0$.