Номер 132, страница 378 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 132, страница 378.

Показательные уравнения

Решите уравнение (132—146):

132 а) $2^x = 4;$ б) $3^x = 27;$ в) $5^x = 1;$

г) $5^x = 25^3;$ д) $4^x = 16^5;$ е) $(\frac{1}{4})^x = 1.$

а)

Дано показательное уравнение $2^x = 4$.

Для решения необходимо привести обе части уравнения к одинаковому основанию. В данном случае это основание 2.

Представим число 4 как степень с основанием 2: $4 = 2^2$.

Теперь уравнение можно переписать в виде: $2^x = 2^2$.

Поскольку основания степеней в обеих частях уравнения равны, их показатели также должны быть равны. Следовательно, $x = 2$.

Ответ: $2$.

б)

Дано уравнение $3^x = 27$.

Приведем обе части уравнения к основанию 3.

Число 27 является третьей степенью числа 3: $27 = 3^3$.

Подставив это значение в уравнение, получаем: $3^x = 3^3$.

Приравнивая показатели степеней, находим $x = 3$.

Ответ: $3$.

в)

Дано уравнение $5^x = 1$.

Мы знаем, что любое ненулевое число в степени 0 равно 1. Таким образом, мы можем представить 1 как $5^0$.

Уравнение принимает вид: $5^x = 5^0$.

Отсюда следует, что показатели степеней равны: $x = 0$.

Ответ: $0$.

г)

Дано уравнение $5^x = 25^3$.

Приведем обе части к общему основанию 5.

Представим число 25 как степень 5: $25 = 5^2$.

Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$25^3 = (5^2)^3 = 5^{2 \cdot 3} = 5^6$.

Исходное уравнение теперь выглядит так: $5^x = 5^6$.

Приравнивая показатели, получаем $x = 6$.

Ответ: $6$.

д)

Дано уравнение $4^x = 16^5$.

Приведем обе части к общему основанию 4.

Представим число 16 как степень 4: $16 = 4^2$.

Преобразуем правую часть уравнения:

$16^5 = (4^2)^5 = 4^{2 \cdot 5} = 4^{10}$.

Теперь уравнение имеет вид: $4^x = 4^{10}$.

Сравнивая показатели степеней, находим $x = 10$.

Ответ: $10$.

е)

Дано уравнение $(\frac{1}{4})^x = 1$.

Любое ненулевое число, возведенное в степень 0, равно 1. Представим 1 как степень с основанием $\frac{1}{4}$.

$1 = (\frac{1}{4})^0$.

Уравнение принимает вид: $(\frac{1}{4})^x = (\frac{1}{4})^0$.

Приравнивая показатели степеней, получаем $x = 0$.

Ответ: $0$.