Номер 139, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 139, страница 379.

139 a) $4^{2x} - 7 \cdot 4^x + 16 = 0;$

В) $2^{2x+1} + 2^{x+2} - 16 = 0;$

б) $4 + 2^x = 2^{2x-1},$

Г) $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 = 0.$

а) $4^{2x} - 7 \cdot 4^x + 16 = 0$

Данное уравнение является показательным. Заметим, что $4^{2x} = (4^x)^2$. Сделаем замену переменной. Пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция $y=a^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - 7t + 16 = 0$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $t$. Найдем его дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 49 - 64 = -15$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное показательное уравнение не имеет решений.

Ответ: нет решений.

б) $4 + 2^x = 2^{2x-1}$

Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 2. Заметим, что $4 = 2^2$ и $2^{2x-1} = 2^{2x} \cdot 2^{-1} = \frac{(2^x)^2}{2}$.

Уравнение примет вид:

$4 + 2^x = \frac{(2^x)^2}{2}$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$4 + t = \frac{t^2}{2}$

Умножим обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от знаменателя:

$8 + 2t = t^2$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - 2t - 8 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма равна 2. Корни: $t_1 = 4$ и $t_2 = -2$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_1 = 4$ удовлетворяет этому условию. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет, так как $2^x$ не может быть отрицательным.

Выполним обратную замену для $t=4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$.

в) $2^{2x+1} + 2^{x+2} - 16 = 0$

Используем свойства степеней для преобразования уравнения:

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

$2^{x+2} = 2^x \cdot 2^2 = 4 \cdot 2^x$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$2 \cdot (2^x)^2 + 4 \cdot 2^x - 16 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$2t^2 + 4t - 16 = 0$

Разделим все уравнение на 2 для упрощения:

$t^2 + 2t - 8 = 0$

Это квадратное уравнение. По теореме Виета, произведение корней равно -8, а сумма равна -2. Корни: $t_1 = 2$ и $t_2 = -4$.

Проверим условие $t > 0$. Корень $t_1 = 2$ удовлетворяет условию. Корень $t_2 = -4$ не удовлетворяет.

Выполним обратную замену для $t=2$:

$2^x = 2$

$2^x = 2^1$

$x = 1$

Ответ: $x=1$.

г) $2^{2x+1} - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$

Преобразуем член $2^{2x+1}$ используя свойства степеней:

$2^{2x+1} = 2^{2x} \cdot 2^1 = 2 \cdot (2^x)^2$

Подставим это выражение в уравнение:

$2 \cdot (2^x)^2 - 9 \cdot 2^x + 4 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

$2t^2 - 9t + 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-9)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 81 - 32 = 49 = 7^2$

Найдем корни по формуле $t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$t_1 = \frac{9 + 7}{2 \cdot 2} = \frac{16}{4} = 4$

$t_2 = \frac{9 - 7}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Оба корня положительны, поэтому оба подходят под условие $t > 0$. Выполним обратную замену для каждого корня.

1) Для $t_1 = 4$:

$2^x = 4$

$2^x = 2^2$

$x_1 = 2$

2) Для $t_2 = \frac{1}{2}$:

$2^x = \frac{1}{2}$

$2^x = 2^{-1}$

$x_2 = -1$

Уравнение имеет два корня.

Ответ: $x_1 = 2, x_2 = -1$.