Номер 145, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 145, страница 379.

145 $25^x - 24 \cdot 5^{x-1} - 5^{\log_5 3} + 2 = 0$

Дано уравнение:

$25^x - 24 \cdot 5^{x-1} - 5^{\log_5 3} + 2 = 0$

Для решения данного уравнения, сначала упростим его компоненты, используя свойства степеней и логарифмов.

1. Преобразуем член $25^x$. Так как $25 = 5^2$, то $25^x = (5^2)^x = 5^{2x} = (5^x)^2$.

2. Преобразуем член $5^{x-1}$. По свойству степеней $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$, получаем $5^{x-1} = \frac{5^x}{5^1} = \frac{5^x}{5}$.

3. Упростим член $5^{\log_5 3}$. Используя основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$, получаем $5^{\log_5 3} = 3$.

Теперь подставим упрощенные выражения обратно в исходное уравнение:

$(5^x)^2 - 24 \cdot \left(\frac{5^x}{5}\right) - 3 + 2 = 0$

$(5^x)^2 - \frac{24}{5} \cdot 5^x - 1 = 0$

Для удобства решения введем замену переменной. Пусть $t = 5^x$. Поскольку значение показательной функции всегда положительно, должно выполняться условие $t > 0$.

После замены уравнение приобретает вид квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - \frac{24}{5}t - 1 = 0$

Домножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дробного коэффициента:

$5t^2 - 24t - 5 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-5) = 576 + 100 = 676$

Найдем корни уравнения:

$\sqrt{D} = \sqrt{676} = 26$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 + 26}{2 \cdot 5} = \frac{50}{10} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{24 - 26}{2 \cdot 5} = \frac{-2}{10} = -\frac{1}{5}$

Теперь вернемся к нашей замене $t = 5^x$ и проверим корни на соответствие условию $t > 0$.

Корень $t_1 = 5$ удовлетворяет условию $t > 0$.

Корень $t_2 = -\frac{1}{5}$ не удовлетворяет условию $t > 0$, следовательно, является посторонним.

Таким образом, у нас есть одно решение для $t$:

$t=5$

Выполним обратную замену:

$5^x = 5$

$5^x = 5^1$

Отсюда следует, что $x=1$.

Ответ: $1$.