Номер 147, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 147, страница 379.

Логарифмические уравнения

Решите уравнение (147—154):

147 a) $\log_5 \log_3 x = 1$; б) $\log_5 \log_2 x = 1$.

а)

Дано логарифмическое уравнение $log_5(log_3(x)) = 1$.

Для решения этого уравнения сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма всегда должен быть строго положительным. В данном случае у нас есть два логарифма, поэтому получаем систему из двух условий:

1. Аргумент внутреннего логарифма: $x > 0$.
2. Аргумент внешнего логарифма: $log_3(x) > 0$.

Решим второе неравенство $log_3(x) > 0$. Мы знаем, что $0$ можно представить как $log_3(1)$. Тогда неравенство принимает вид: $log_3(x) > log_3(1)$.

Поскольку основание логарифма $3$ больше $1$, логарифмическая функция является возрастающей. Это значит, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

Объединяя условия $x > 0$ и $x > 1$, получаем итоговую ОДЗ: $x > 1$.

Теперь перейдем к решению самого уравнения $log_5(log_3(x)) = 1$.

Воспользуемся определением логарифма: если $log_a(b) = c$, то $b = a^c$. В нашем случае $a=5$, $b=log_3(x)$, $c=1$.

Получаем: $log_3(x) = 5^1$, что равносильно $log_3(x) = 5$.

Снова применяем определение логарифма для уравнения $log_3(x) = 5$. Здесь $a=3$, $b=x$, $c=5$.

Получаем: $x = 3^5$.

Вычисляем значение: $x = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 243$.

Проверяем, соответствует ли найденный корень ОДЗ ($x > 1$). Так как $243 > 1$, корень является решением уравнения.

Ответ: $243$.

б)

Дано логарифмическое уравнение $log_5(log_2(x)) = 1$.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Как и в предыдущем пункте, аргументы логарифмов должны быть положительными:

1. $x > 0$.
2. $log_2(x) > 0$.

Решим второе неравенство $log_2(x) > 0$. Представим $0$ как $log_2(1)$, получим $log_2(x) > log_2(1)$.

Основание логарифма $2$ больше $1$, поэтому функция возрастающая, и знак неравенства сохраняется: $x > 1$.

Итоговая ОДЗ, с учетом обоих условий, такова: $x > 1$.

Теперь решим уравнение $log_5(log_2(x)) = 1$.

По определению логарифма ($log_a(b) = c \iff b = a^c$):

$log_2(x) = 5^1$

$log_2(x) = 5$

Применяем определение логарифма еще раз:

$x = 2^5$

Вычисляем значение: $x = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$.

Проверяем корень на соответствие ОДЗ ($x > 1$). Так как $32 > 1$, найденный корень является решением.

Ответ: $32$.