Номер 140, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 140, страница 379.

140 а) $2 \cdot 4^{2x} + 8 = 17 \cdot 4^x;$

в) $9^x - 8 \cdot 3^{x+1} - 81 = 0;$

д) $2 \cdot 16^x + 7 \cdot 4^x - 4 = 0;$

б) $2 \cdot 9^{2x} - 27 = 15 \cdot 9^x;$

г) $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0;$

е) $2 \cdot 16^x - 7 \cdot 4^x - 4 = 0.$

а) Дано уравнение: $2 \cdot 4^{2x} + 8 = 17 \cdot 4^x$.
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартный вид:
$2 \cdot 4^{2x} - 17 \cdot 4^x + 8 = 0$.
Заметим, что $4^{2x} = (4^x)^2$. Это позволяет нам сделать замену переменной, чтобы свести уравнение к квадратному.
Пусть $t = 4^x$. Так как показательная функция $y=4^x$ принимает только положительные значения, то $t > 0$.
Подставив $t$ в уравнение, получаем:
$2t^2 - 17t + 8 = 0$.
Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-17)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = 289 - 64 = 225$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня:
$t_1 = \frac{17 + \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 + 15}{4} = \frac{32}{4} = 8$.
$t_2 = \frac{17 - \sqrt{225}}{2 \cdot 2} = \frac{17 - 15}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
Оба значения $t$ (8 и 1/2) положительны, поэтому они оба являются допустимыми решениями для $t$.
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти $x$:
1) $4^x = t_1 \Rightarrow 4^x = 8$.
Приведем обе части к основанию 2: $(2^2)^x = 2^3 \Rightarrow 2^{2x} = 2^3$.
Отсюда $2x = 3 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$ или $x = 1.5$.
2) $4^x = t_2 \Rightarrow 4^x = \frac{1}{2}$.
Приведем обе части к основанию 2: $(2^2)^x = 2^{-1} \Rightarrow 2^{2x} = 2^{-1}$.
Отсюда $2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$ или $x = -0.5$.
Ответ: $x_1 = 1.5, x_2 = -0.5$.

б) Дано уравнение: $2 \cdot 9^{2x} - 27 = 15 \cdot 9^x$.
Перенесем все члены в левую часть:
$2 \cdot 9^{2x} - 15 \cdot 9^x - 27 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 9^x$, где $t > 0$. Уравнение примет вид:
$2t^2 - 15t - 27 = 0$.
Решим квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:
$D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-27) = 225 + 216 = 441$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{15 + \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 + 21}{4} = \frac{36}{4} = 9$.
$t_2 = \frac{15 - \sqrt{441}}{2 \cdot 2} = \frac{15 - 21}{4} = \frac{-6}{4} = -\frac{3}{2}$.
Проверим условие $t > 0$. Корень $t_1 = 9$ подходит. Корень $t_2 = -3/2$ не подходит, так как $9^x$ не может быть отрицательным.
Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:
$9^x = 9 \Rightarrow 9^x = 9^1$.
Отсюда $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.

в) Дано уравнение: $9^x - 8 \cdot 3^{x+1} - 81 = 0$.
Преобразуем уравнение, приведя все степени к основанию 3. Заметим, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$ и $3^{x+1} = 3 \cdot 3^x$.
Подставим эти выражения в исходное уравнение:
$(3^x)^2 - 8 \cdot (3 \cdot 3^x) - 81 = 0$
$(3^x)^2 - 24 \cdot 3^x - 81 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, где $t > 0$.
Уравнение превращается в квадратное:
$t^2 - 24t - 81 = 0$.
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-24)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-81) = 576 + 324 = 900$.
$t_1 = \frac{24 + \sqrt{900}}{2} = \frac{24 + 30}{2} = \frac{54}{2} = 27$.
$t_2 = \frac{24 - \sqrt{900}}{2} = \frac{24 - 30}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.
Корень $t_2 = -3$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому отбрасываем его.
Остается $t_1 = 27$. Выполним обратную замену:
$3^x = 27$.
Так как $27 = 3^3$, то $3^x = 3^3$.
Следовательно, $x = 3$.
Ответ: $x = 3$.

г) Дано уравнение: $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0$.
Приведем все степени к основанию 3:
$9^{x+1} = (3^2)^{x+1} = 3^{2x+2} = 3^{2x} \cdot 3^2 = 9 \cdot (3^x)^2$.
$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$.
Подставим в уравнение:
$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$.
Разделим все уравнение на 9 для упрощения:
$(3^x)^2 + 3^x - 2 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $t = 3^x$ ($t > 0$).
$t^2 + t - 2 = 0$.
Это простое квадратное уравнение, корни которого можно найти по теореме Виета: $t_1 + t_2 = -1$ и $t_1 \cdot t_2 = -2$. Отсюда $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Корень $t_2 = -2$ не подходит, так как $t$ должно быть положительным.
Остается $t_1 = 1$. Выполним обратную замену:
$3^x = 1$.
Так как любое число в степени 0 равно 1, то $3^x = 3^0$.
Следовательно, $x = 0$.
Ответ: $x = 0$.

д) Дано уравнение: $2 \cdot 16^x + 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Приведем степени к одному основанию. Заметим, что $16^x = (4^2)^x = (4^x)^2$.
Уравнение принимает вид:
$2 \cdot (4^x)^2 + 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Произведем замену переменной. Пусть $t = 4^x$ ($t > 0$).
Получаем квадратное уравнение:
$2t^2 + 7t - 4 = 0$.
Найдем его корни через дискриминант:
$D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
$t_1 = \frac{-7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$t_2 = \frac{-7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4$.
Корень $t_2 = -4$ является посторонним, так как $t > 0$.
Рассмотрим корень $t_1 = 1/2$. Выполним обратную замену:
$4^x = \frac{1}{2}$.
Представим обе части с основанием 2:
$(2^2)^x = 2^{-1} \Rightarrow 2^{2x} = 2^{-1}$.
Приравниваем показатели степени:
$2x = -1 \Rightarrow x = -\frac{1}{2}$.
Ответ: $x = -0.5$.

е) Дано уравнение: $2 \cdot 16^x - 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Аналогично предыдущему пункту, приведем степени к основанию 4: $16^x = (4^x)^2$.
$2 \cdot (4^x)^2 - 7 \cdot 4^x - 4 = 0$.
Пусть $t = 4^x$, где $t > 0$.
Получим квадратное уравнение:
$2t^2 - 7t - 4 = 0$.
Найдем дискриминант:
$D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81$.
Найдем корни:
$t_1 = \frac{7 + \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 + 9}{4} = \frac{16}{4} = 4$.
$t_2 = \frac{7 - \sqrt{81}}{2 \cdot 2} = \frac{7 - 9}{4} = \frac{-2}{4} = -\frac{1}{2}$.
Корень $t_2 = -1/2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается корень $t_1 = 4$. Выполним обратную замену:
$4^x = 4 \Rightarrow 4^x = 4^1$.
Отсюда $x = 1$.
Ответ: $x = 1$.