Номер 135, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 135, страница 379.

135 а) $3^{x+1} + 3^x = 108;$

б) $2^{x+3} - 2^x = 112.$

а) $3^{x+1} + 3^x = 108$
Для решения данного показательного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем первое слагаемое в левой части уравнения:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим это выражение обратно в уравнение:
$3 \cdot 3^x + 3^x = 108$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 + 1) = 108$
Выполним сложение в скобках:
$3^x \cdot 4 = 108$
Разделим обе части уравнения на 4:
$3^x = \frac{108}{4}$
$3^x = 27$
Чтобы найти $x$, представим число 27 как степень с основанием 3:
$27 = 3^3$
Таким образом, уравнение принимает вид:
$3^x = 3^3$
Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:
$x = 3$
Ответ: $3$.

б) $2^{x+3} - 2^x = 112$
Используем свойство степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ для преобразования первого слагаемого:
$2^{x+3} = 2^x \cdot 2^3 = 8 \cdot 2^x$
Подставим полученное выражение в исходное уравнение:
$8 \cdot 2^x - 2^x = 112$
Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:
$2^x(8 - 1) = 112$
Выполним вычитание в скобках:
$2^x \cdot 7 = 112$
Разделим обе части уравнения на 7:
$2^x = \frac{112}{7}$
$2^x = 16$
Теперь представим число 16 как степень с основанием 2:
$16 = 2^4$
Уравнение принимает вид:
$2^x = 2^4$
Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:
$x = 4$
Ответ: $4$.