Номер 131, страница 378 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмы. Задания для повторения - номер 131, страница 378.

131 Сравните, не пользуясь таблицами и калькулятором:

a) $\log_3 25$ и $\log_2 11$;

б) $\log_4 60$ и $\log_3 30$;

в) $\log_4 75$ и $\log_2 22$;

г) $\log_2 20$ и $\log_3 70$;

д) $\log_4 3$ и $\log_3 2$;

е) $\log_3 5$ и $\log_5 7$.

а) Для того чтобы сравнить $\log_3 25$ и $\log_2 11$, оценим каждое из этих выражений, сравнивая их с целыми числами.

Оценим $\log_3 25$. Мы знаем, что $3^2 = 9$ и $3^3 = 27$. Поскольку $9 < 25 < 27$, и логарифмическая функция с основанием $3$ является возрастающей, то $\log_3 9 < \log_3 25 < \log_3 27$. Отсюда следует, что $2 < \log_3 25 < 3$.

Оценим $\log_2 11$. Мы знаем, что $2^3 = 8$ и $2^4 = 16$. Поскольку $8 < 11 < 16$, и логарифмическая функция с основанием $2$ является возрастающей, то $\log_2 8 < \log_2 11 < \log_2 16$. Отсюда следует, что $3 < \log_2 11 < 4$.

Сопоставляя полученные результаты, мы видим, что $\log_3 25 < 3$, а $\log_2 11 > 3$. Следовательно, $\log_3 25 < \log_2 11$.

Ответ: $\log_3 25 < \log_2 11$.

б) Сравним $\log_4 60$ и $\log_3 30$, используя метод оценки.

Оценим $\log_4 60$. Мы знаем, что $4^2 = 16$ и $4^3 = 64$. Так как $16 < 60 < 64$, то $2 < \log_4 60 < 3$.

Оценим $\log_3 30$. Мы знаем, что $3^3 = 27$ и $3^4 = 81$. Так как $27 < 30 < 81$, то $3 < \log_3 30 < 4$.

Из этого следует, что $\log_4 60 < 3$, а $\log_3 30 > 3$. Поэтому $\log_4 60 < \log_3 30$.

Ответ: $\log_4 60 < \log_3 30$.

в) Сравним $\log_4 75$ и $\log_2 22$ путем сравнения с целыми числами.

Для $\log_4 75$: $4^3 = 64$ и $4^4 = 256$. Поскольку $64 < 75 < 256$, то $3 < \log_4 75 < 4$.

Для $\log_2 22$: $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$. Поскольку $16 < 22 < 32$, то $4 < \log_2 22 < 5$.

Таким образом, $\log_4 75 < 4$, а $\log_2 22 > 4$. Значит, $\log_4 75 < \log_2 22$.

Ответ: $\log_4 75 < \log_2 22$.

г) Сравним $\log_2 20$ и $\log_3 70$ с помощью оценки.

Для $\log_2 20$: $2^4 = 16$ и $2^5 = 32$. Так как $16 < 20 < 32$, то $4 < \log_2 20 < 5$.

Для $\log_3 70$: $3^3 = 27$ и $3^4 = 81$. Так как $27 < 70 < 81$, то $3 < \log_3 70 < 4$.

Следовательно, $\log_2 20 > 4$, а $\log_3 70 < 4$. Поэтому $\log_2 20 > \log_3 70$.

Ответ: $\log_2 20 > \log_3 70$.

д) Для сравнения чисел $\log_4 3$ и $\log_3 2$ рассмотрим функцию $f(x) = \log_x(x-1)$. Нам нужно сравнить $f(4) = \log_4 3$ и $f(3) = \log_3 2$.

Исследуем эту функцию на монотонность. Перейдем к натуральному логарифму: $f(x) = \frac{\ln(x-1)}{\ln x}$. Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(\frac{1}{x-1})\ln x - \ln(x-1)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} = \frac{x\ln x - (x-1)\ln(x-1)}{x(x-1)(\ln x)^2}$.

При $x>1$ знаменатель положителен. Знак производной зависит от знака числителя $g(x) = x\ln x - (x-1)\ln(x-1)$. Найдем производную $g'(x) = (\ln x + 1) - (\ln(x-1)+1) = \ln x - \ln(x-1) = \ln(\frac{x}{x-1})$.

При $x>1$ имеем $\frac{x}{x-1} > 1$, поэтому $\ln(\frac{x}{x-1}) > 0$. Так как $g'(x)>0$, функция $g(x)$ возрастает при $x>1$. Поскольку $g(2) = 2\ln 2 - 1\ln 1 = \ln 4 > 0$, то $g(x)>0$ для всех $x \ge 2$.

Следовательно, $f'(x) > 0$ при $x \ge 2$, и функция $f(x) = \log_x(x-1)$ возрастает на этом промежутке. Так как $4 > 3$, то $f(4) > f(3)$.

Ответ: $\log_4 3 > \log_3 2$.

е) Для сравнения чисел $\log_3 5$ и $\log_5 7$ рассмотрим функцию $f(x) = \log_x(x+2)$. Нам нужно сравнить $f(3) = \log_3 5$ и $f(5) = \log_5 7$.

Исследуем функцию на монотонность. Перейдем к натуральному логарифму: $f(x) = \frac{\ln(x+2)}{\ln x}$. Найдем производную:

$f'(x) = \frac{(\frac{1}{x+2})\ln x - \ln(x+2)(\frac{1}{x})}{(\ln x)^2} = \frac{x\ln x - (x+2)\ln(x+2)}{x(x+2)(\ln x)^2}$.

При $x>1$ знаменатель положителен. Знак производной определяется знаком числителя $g(x) = x\ln x - (x+2)\ln(x+2)$. Его производная $g'(x) = (\ln x + 1) - (\ln(x+2)+1) = \ln(\frac{x}{x+2})$.

При $x>0$ имеем $\frac{x}{x+2} < 1$, поэтому $\ln(\frac{x}{x+2}) < 0$. Так как $g'(x)<0$, функция $g(x)$ убывает при $x>0$. Поскольку $g(1) = 1\ln 1 - 3\ln 3 = -3\ln 3 < 0$, то $g(x)<0$ для всех $x \ge 1$.

Следовательно, $f'(x) < 0$ при $x>1$, и функция $f(x) = \log_x(x+2)$ убывает. Так как $3 < 5$, то $f(3) > f(5)$.

Ответ: $\log_3 5 > \log_5 7$.