Номер 124, страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмы. Задания для повторения - номер 124, страница 377.

124 a) $ \log_2 225 - \frac{2}{\log_5 2} - \log_2 9 + 5^{\frac{1}{\log_9 25}}; $

б) $ 6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} - 2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}}. $

а) $\log_2 225 - \frac{2}{\log_5 2} - \log_2 9 + 5^{\frac{1}{\log_9 25}}$

Для решения данного выражения, преобразуем его по частям.

1. Сгруппируем первые два логарифма с основанием 2: $\log_2 225 - \log_2 9$. Используем свойство разности логарифмов $\log_a b - \log_a c = \log_a \frac{b}{c}$:

$\log_2 225 - \log_2 9 = \log_2 \frac{225}{9} = \log_2 25$.

2. Преобразуем второй член выражения $\frac{2}{\log_5 2}$. Используем формулу перехода к новому основанию $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{2}{\log_5 2} = 2 \cdot \log_2 5$.

Используя свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$, получаем:

$2 \log_2 5 = \log_2 5^2 = \log_2 25$.

3. Теперь выражение выглядит так: $\log_2 25 - \log_2 25 + 5^{\frac{1}{\log_9 25}}$.

Первые два члена в сумме дают ноль: $\log_2 25 - \log_2 25 = 0$.

4. Преобразуем последний член $5^{\frac{1}{\log_9 25}}$. Сначала упростим показатель степени, используя ту же формулу $\frac{1}{\log_b a} = \log_a b$:

$\frac{1}{\log_9 25} = \log_{25} 9$.

Теперь показатель степени можно упростить дальше, используя свойство $\log_{a^n} b^m = \frac{m}{n} \log_a b$:

$\log_{25} 9 = \log_{5^2} 3^2 = \frac{2}{2} \log_5 3 = \log_5 3$.

5. Подставим упрощенный показатель в исходный член. Получим $5^{\log_5 3}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем:

$5^{\log_5 3} = 3$.

6. Соберем все части вместе:

$(\log_2 225 - \log_2 9) - \frac{2}{\log_5 2} + 5^{\frac{1}{\log_9 25}} = \log_2 25 - \log_2 25 + 3 = 0 + 3 = 3$.

Ответ: 3

б) $6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} - 2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}}$

Для решения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и разделим каждый член на два множителя.

1. Преобразуем первый член $6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}}$:

$6^{-\frac{1}{2} + \log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} = 6^{-\frac{1}{2}} \cdot 6^{\log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}}$.

Вычислим каждый множитель:

$6^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{6^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$.

По основному логарифмическому тождеству $a^{\log_a b} = b$, имеем $6^{\log_6 \frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Перемножим полученные значения:

$\frac{1}{\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}\sqrt{3}} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

2. Преобразуем второй член $2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}}$:

$2^{-\frac{1}{2} + \log_2 \frac{1}{2}} = 2^{-\frac{1}{2}} \cdot 2^{\log_2 \frac{1}{2}}$.

Вычислим каждый множитель:

$2^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

По основному логарифмическому тождеству, $2^{\log_2 \frac{1}{2}} = \frac{1}{2}$.

Перемножим полученные значения:

$\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

3. Выполним вычитание:

$\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{1}{2\sqrt{2}} = 0$.

Ответ: 0