Номер 127, страница 378 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмы. Задания для повторения - номер 127, страница 378.

Выразите через a и b (127—128):

127

a) $\log_8 9.8$, если $\lg 2 = a$, $\lg 7 = b$;

б) $\log_{175} 56$, если $\log_{14} 7 = a$, $\log_{14} 5 = b$.

а)

Чтобы выразить $log_8 9,8$ через $a = lg 2$ и $b = lg 7$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В качестве нового основания выберем 10, так как нам даны десятичные логарифмы (обозначаются как $lg$).

Формула перехода к новому основанию: $log_x y = \frac{log_z y}{log_z x}$.

Применим ее к нашему выражению: $log_8 9,8 = \frac{lg 9,8}{lg 8}$

Теперь преобразуем числитель и знаменатель, используя свойства логарифмов и данные значения $a$ и $b$.

Преобразуем числитель $lg 9,8$: $lg 9,8 = lg(\frac{98}{10}) = lg 98 - lg 10$. Мы знаем, что $lg 10 = 1$. Разложим 98 на множители: $98 = 2 \cdot 49 = 2 \cdot 7^2$. $lg 98 = lg(2 \cdot 7^2) = lg 2 + lg(7^2) = lg 2 + 2 lg 7$. Подставляя $lg 2 = a$ и $lg 7 = b$, получаем: $lg 98 = a + 2b$. Таким образом, числитель равен: $lg 9,8 = a + 2b - 1$.

Преобразуем знаменатель $lg 8$: $lg 8 = lg(2^3) = 3 lg 2$. Подставляя $lg 2 = a$, получаем: $lg 8 = 3a$.

Соединяем числитель и знаменатель: $log_8 9,8 = \frac{a + 2b - 1}{3a}$.

Ответ: $\frac{a + 2b - 1}{3a}$.

б)

Чтобы выразить $log_{175} 56$ через $a = log_{14} 7$ и $b = log_{14} 5$, воспользуемся формулой перехода к новому основанию. В качестве нового основания удобно выбрать 14.

$log_{175} 56 = \frac{log_{14} 56}{log_{14} 175}$

Преобразуем числитель $log_{14} 56$. Для этого нам понадобится значение $log_{14} 2$. Найдем $log_{14} 2$ из свойства $log_{14} 14 = 1$: $1 = log_{14} 14 = log_{14}(2 \cdot 7) = log_{14} 2 + log_{14} 7$. $1 = log_{14} 2 + a$, отсюда $log_{14} 2 = 1 - a$.

Теперь выразим числитель. Разложим 56 на множители: $56 = 8 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$. $log_{14} 56 = log_{14}(2^3 \cdot 7) = log_{14}(2^3) + log_{14} 7 = 3 log_{14} 2 + log_{14} 7$. Подставляем найденное значение $log_{14} 2 = 1 - a$ и данное $log_{14} 7 = a$: $log_{14} 56 = 3(1 - a) + a = 3 - 3a + a = 3 - 2a$.

Преобразуем знаменатель $log_{14} 175$. Разложим 175 на множители: $175 = 25 \cdot 7 = 5^2 \cdot 7$. $log_{14} 175 = log_{14}(5^2 \cdot 7) = log_{14}(5^2) + log_{14} 7 = 2 log_{14} 5 + log_{14} 7$. Подставляем данные значения $log_{14} 5 = b$ и $log_{14} 7 = a$: $log_{14} 175 = 2b + a$.

Соединяем числитель и знаменатель: $log_{175} 56 = \frac{log_{14} 56}{log_{14} 175} = \frac{3 - 2a}{a + 2b}$.

Ответ: $\frac{3 - 2a}{a + 2b}$.