Номер 121, страница 377 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Логарифмы - номер 121, страница 377.

Условие.

120 a) $6$,

б) $3$,

В) $2$

121

a) $3^{\log_3 21} - 9^{0.5}$;

б) $81^{\frac{1}{\log_5 9}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Вычислим значение выражения $3^{\log_3 21} - 9^{0,5}$.
Разобьем решение на два действия.

1. Для первого слагаемого $3^{\log_3 21}$ воспользуемся основным логарифмическим тождеством: $a^{\log_a b} = b$. В нашем случае $a = 3$ и $b = 21$. Следовательно, $3^{\log_3 21} = 21$.

2. Для второго слагаемого $9^{0,5}$ представим степень $0,5$ в виде дроби $\frac{1}{2}$. Возведение в степень $\frac{1}{2}$ эквивалентно извлечению квадратного корня. $9^{0,5} = 9^{\frac{1}{2}} = \sqrt{9} = 3$.

3. Теперь выполним вычитание: $21 - 3 = 18$.

Ответ: 18

б) Вычислим значение выражения $81^{\frac{1}{\log_5 9}}$.
Сначала преобразуем показатель степени, используя свойство логарифмов $\frac{1}{\log_a b} = \log_b a$.

1. Применим это свойство к показателю степени: $\frac{1}{\log_5 9} = \log_9 5$.

2. Подставим полученное значение обратно в исходное выражение: $81^{\frac{1}{\log_5 9}} = 81^{\log_9 5}$.

3. Представим основание степени $81$ как степень числа $9$: $81 = 9^2$. Выражение примет вид: $(9^2)^{\log_9 5}$.

4. По свойству степеней $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, получим: $9^{2 \cdot \log_9 5}$.

5. Используем свойство логарифма $k \cdot \log_a b = \log_a b^k$, чтобы внести множитель $2$ под знак логарифма: $2 \log_9 5 = \log_9 5^2 = \log_9 25$.

6. Выражение теперь выглядит так: $9^{\log_9 25}$.

7. Снова применяем основное логарифмическое тождество $a^{\log_a b} = b$: $9^{\log_9 25} = 25$.

Ответ: 25