Номер 137, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 137, страница 379.

137 a) $3^{x+2} + 3^{x+1} - 3^x = 99;$

б) $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17.$

а) Решим показательное уравнение $3^{x+2} + 3^{x+1} - 3^x = 99$.

Для решения данного уравнения воспользуемся свойством степени $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$. Преобразуем левую часть уравнения, представив все слагаемые через $3^x$:
$3^{x+2} = 3^x \cdot 3^2 = 9 \cdot 3^x$
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
Подставим полученные выражения в исходное уравнение:
$9 \cdot 3^x + 3 \cdot 3^x - 3^x = 99$
Теперь вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(9 + 3 - 1) = 99$
Выполним вычисления в скобках:
$3^x \cdot 11 = 99$
Разделим обе части уравнения на 11:
$3^x = \frac{99}{11}$
$3^x = 9$
Чтобы найти $x$, представим число 9 в виде степени с основанием 3:
$9 = 3^2$
Следовательно, уравнение принимает вид:
$3^x = 3^2$
Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:
$x = 2$
Ответ: $2$.

б) Решим показательное уравнение $3^{x+1} - 2 \cdot 3^{x-1} - 4 \cdot 3^{x-2} = 17$.

Как и в предыдущем задании, используем свойства степеней ($a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $a^{m-n} = \frac{a^m}{a^n}$), чтобы выразить все члены уравнения через $3^x$:
$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$
$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$
$3^{x-2} = 3^x \cdot 3^{-2} = \frac{1}{9} \cdot 3^x$
Подставим эти выражения в уравнение:
$3 \cdot 3^x - 2 \cdot (\frac{1}{3} \cdot 3^x) - 4 \cdot (\frac{1}{9} \cdot 3^x) = 17$
Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:
$3^x(3 - \frac{2}{3} - \frac{4}{9}) = 17$
Вычислим значение выражения в скобках, приведя дроби к общему знаменателю 9:
$3 - \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{3 \cdot 9}{9} - \frac{2 \cdot 3}{9} - \frac{4}{9} = \frac{27 - 6 - 4}{9} = \frac{17}{9}$
Теперь уравнение выглядит так:
$3^x \cdot \frac{17}{9} = 17$
Чтобы найти $3^x$, умножим обе части уравнения на $\frac{9}{17}$:
$3^x = 17 \cdot \frac{9}{17}$
$3^x = 9$
Представим 9 как степень с основанием 3:
$3^x = 3^2$
Приравниваем показатели степеней:
$x = 2$
Ответ: $2$.