Номер 144, страница 379 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели уравнения. Задания для повторения - номер 144, страница 379.

144 a) $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0;$

б) $5^{2x} = 115 \cdot 5^{x-1} + 50;$

В) $5^{x-1} + 5 \cdot (0,2)^{x-2} = 26;$

Г) $3^y - \frac{77}{3^y} = 76.$

а) Исходное уравнение: $9^{x+1} + 3^{x+2} - 18 = 0$.
Представим $9$ как $3^2$ и преобразуем уравнение, используя свойства степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$ и $(a^m)^n = a^{mn}$:
$(3^2)^{x+1} + 3^x \cdot 3^2 - 18 = 0$
$3^{2(x+1)} + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
$3^{2x+2} + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
$3^{2x} \cdot 3^2 + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
$9 \cdot (3^x)^2 + 9 \cdot 3^x - 18 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$9t^2 + 9t - 18 = 0$
Разделим обе части уравнения на 9:
$t^2 + t - 2 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -2$ и $t_1 + t_2 = -1$. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = -2$.
Проверяем условие $t > 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию, так как он отрицательный.
Остается один корень $t_1 = 1$.
Выполним обратную замену:
$3^x = 1$
$3^x = 3^0$
$x = 0$
Ответ: $x=0$.

б) Исходное уравнение: $5^{2x} = 115 \cdot 5^{x-1} + 50$.
Перенесем все слагаемые в левую часть и преобразуем уравнение:
$5^{2x} - 115 \cdot 5^{x-1} - 50 = 0$
$(5^x)^2 - 115 \cdot \frac{5^x}{5^1} - 50 = 0$
$(5^x)^2 - 23 \cdot 5^x - 50 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное уравнение:
$t^2 - 23t - 50 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = (-23)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-50) = 529 + 200 = 729 = 27^2$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 + 27}{2} = \frac{50}{2} = 25$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{23 - 27}{2} = \frac{-4}{2} = -2$
Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается корень $t_1 = 25$.
Выполним обратную замену:
$5^x = 25$
$5^x = 5^2$
$x = 2$
Ответ: $x=2$.

в) Исходное уравнение: $5^{x-1} + 5 \cdot (0,2)^{x-2} = 26$.
Представим $0,2$ в виде степени с основанием 5: $0,2 = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
Подставим это в уравнение:
$5^{x-1} + 5 \cdot (5^{-1})^{x-2} = 26$
Применим свойства степеней:
$5^{x-1} + 5^1 \cdot 5^{-x+2} = 26$
$5^{x-1} + 5^{1-x+2} = 26$
$5^{x-1} + 5^{3-x} = 26$
$\frac{5^x}{5} + \frac{5^3}{5^x} = 26$
$\frac{5^x}{5} + \frac{125}{5^x} = 26$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 5^x$, где $t > 0$.
$\frac{t}{5} + \frac{125}{t} = 26$
Умножим обе части на $5t$, чтобы избавиться от знаменателей:
$t^2 + 625 = 130t$
$t^2 - 130t + 625 = 0$
Найдем корни через дискриминант:
$D = (-130)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 625 = 16900 - 2500 = 14400 = 120^2$
$t_1 = \frac{130 + 120}{2} = \frac{250}{2} = 125$
$t_2 = \frac{130 - 120}{2} = \frac{10}{2} = 5$
Оба корня положительны, поэтому оба подходят.
Выполним обратную замену для каждого корня:
1) $5^x = 125 \Rightarrow 5^x = 5^3 \Rightarrow x_1 = 3$.
2) $5^x = 5 \Rightarrow 5^x = 5^1 \Rightarrow x_2 = 1$.
Ответ: $x=1, x=3$.

г) Исходное уравнение: $3^y - \frac{77}{3^y} = 76$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^y$, где $t > 0$.
Получаем уравнение:
$t - \frac{77}{t} = 76$
Умножим обе части на $t$ ($t \neq 0$):
$t^2 - 77 = 76t$
$t^2 - 76t - 77 = 0$
Найдем корни по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = -77$ и $t_1 + t_2 = 76$. Корни: $t_1 = 77$ и $t_2 = -1$.
Корень $t_2 = -1$ не удовлетворяет условию $t > 0$.
Остается корень $t_1 = 77$.
Выполним обратную замену:
$3^y = 77$
Для нахождения $y$ прологарифмируем обе части по основанию 3:
$\log_3(3^y) = \log_3(77)$
$y \cdot \log_3(3) = \log_3(77)$
$y = \log_3 77$
Ответ: $y = \log_3 77$.