Номер 149, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмические уравнения. Задания для повторения - номер 149, страница 380.

149 а) $x \cdot \lg 10^{x+3} + \lg 100 = 0$

б) $x \cdot \lg 10^{x-4} + \lg 10000 = 0$

а) $x \cdot \lg 10^{x+3} + \lg 100 = 0$

Для решения данного уравнения используем свойства десятичного логарифма ($\lg$).

1. Упростим логарифмические выражения. Десятичный логарифм — это логарифм по основанию 10. Используя основное логарифмическое тождество в виде $\log_a a^b = b$, получаем $\lg 10^p = p$.
Таким образом, $\lg 10^{x+3} = x+3$.
Также, поскольку $100 = 10^2$, имеем $\lg 100 = \lg 10^2 = 2$.

2. Подставим упрощенные выражения в исходное уравнение:
$x \cdot (x+3) + 2 = 0$

3. Раскроем скобки и приведем уравнение к стандартному квадратному виду:
$x^2 + 3x + 2 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение равно $q$.
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -3$.
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 2$.
Методом подбора находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = -1$.

Ответ: $x_1 = -2, x_2 = -1$.

б) $x \cdot \lg 10^{x-4} + \lg 10000 = 0$

1. Аналогично предыдущему пункту, упростим логарифмические выражения, используя свойство $\lg 10^p = p$.
$\lg 10^{x-4} = x-4$.
Поскольку $10000 = 10^4$, то $\lg 10000 = \lg 10^4 = 4$.

2. Подставим упрощенные значения в исходное уравнение:
$x \cdot (x-4) + 4 = 0$

3. Раскроем скобки:
$x^2 - 4x + 4 = 0$

4. Решим полученное квадратное уравнение. Левая часть уравнения представляет собой формулу квадрата разности: $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$.
$(x-2)^2 = 0$
Данное уравнение имеет один корень (кратности 2).
$x-2 = 0$
$x = 2$

Ответ: $x=2$.