Номер 155, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели неравенств. Задания для повторения - номер 155, страница 380.

Показательные неравенства

Решите неравенство (155—162):

155

a) $4^x + 2^{x+1} - 24 \le 0$;

б) $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$;

в) $81^x - 3^{2x+1} \le 4$;

г) $4^x + 2^{x+1} \le 3$.

а) $4^x + 2^{x+1} - 24 \le 0$

Преобразуем неравенство, приведя все степени к основанию 2. Так как $4^x = (2^2)^x = (2^x)^2$ и $2^{x+1} = 2 \cdot 2^x$, получаем:

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 24 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$. Поскольку показательная функция $2^x$ всегда положительна, то $t > 0$.

В результате замены получаем квадратное неравенство относительно $t$:

$t^2 + 2t - 24 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $t^2 + 2t - 24 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $t_1 = -6$ и $t_2 = 4$.

Так как ветви параболы $y = t^2 + 2t - 24$ направлены вверх, решение неравенства находится между корнями: $-6 \le t \le 4$.

Учитывая условие $t > 0$, получаем систему неравенств:

$\begin{cases} -6 \le t \le 4 \\ t > 0 \end{cases}$

Решением системы является $0 < t \le 4$.

Вернемся к исходной переменной $x$:

$0 < 2^x \le 4$

Неравенство $2^x > 0$ выполняется для любого действительного $x$. Решаем неравенство $2^x \le 4$.

$2^x \le 2^2$

Так как основание степени $2 > 1$, функция $y=2^x$ является возрастающей, поэтому при переходе к показателям знак неравенства сохраняется:

$x \le 2$

Ответ: $x \in (-\infty, 2]$.

б) $9^x - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$

Преобразуем неравенство, заметив, что $9^x = (3^2)^x = (3^x)^2$:

$(3^x)^2 - 10 \cdot 3^x + 9 \le 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$, при этом $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 10t + 9 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 10t + 9 = 0$. По теореме Виета корни равны $t_1 = 1$ и $t_2 = 9$.

Ветви параболы направлены вверх, поэтому решение неравенства: $1 \le t \le 9$.

Это решение удовлетворяет условию $t > 0$.

Выполним обратную замену:

$1 \le 3^x \le 9$

Представим границы интервала в виде степеней с основанием 3:

$3^0 \le 3^x \le 3^2$

Так как основание $3 > 1$, функция $y=3^x$ возрастающая, поэтому можем перейти к сравнению показателей:

$0 \le x \le 2$

Ответ: $x \in [0, 2]$.

в) $81^x - 3^{2x+1} \le 4$

Перенесем все члены в левую часть и преобразуем неравенство. Учитывая, что $81^x = (3^4)^x = 3^{4x} = (3^{2x})^2$ и $3^{2x+1} = 3 \cdot 3^{2x}$:

$(3^{2x})^2 - 3 \cdot 3^{2x} - 4 \le 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 3^{2x}$. Так как $3^{2x} > 0$, то $t > 0$.

Получаем квадратное неравенство:

$t^2 - 3t - 4 \le 0$

Найдем корни уравнения $t^2 - 3t - 4 = 0$. Корни равны $t_1 = -1$ и $t_2 = 4$.

Решение неравенства: $-1 \le t \le 4$.

С учетом условия $t > 0$, получаем $0 < t \le 4$.

Вернемся к переменной $x$:

$0 < 3^{2x} \le 4$

Неравенство $3^{2x} > 0$ верно для всех $x$. Решаем $3^{2x} \le 4$.

Прологарифмируем обе части по основанию 3. Так как основание $3 > 1$, знак неравенства сохраняется:

$\log_3(3^{2x}) \le \log_3(4)$

$2x \le \log_3(4)$

$x \le \frac{1}{2}\log_3(4)$

Используя свойство логарифма $\log_a(b^c) = c\log_a(b)$, упростим ответ:

$x \le \log_3(4^{1/2}) = \log_3(2)$

Ответ: $x \in (-\infty, \log_3(2)]$.

г) $4^x + 2^{x+1} \le 3$

Перенесем все члены влево и преобразуем: $4^x + 2^{x+1} - 3 \le 0$.

$(2^x)^2 + 2 \cdot 2^x - 3 \le 0$

Сделаем замену. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.

Получим квадратное неравенство:

$t^2 + 2t - 3 \le 0$

Корни уравнения $t^2 + 2t - 3 = 0$ равны $t_1 = -3$ и $t_2 = 1$.

Решение неравенства: $-3 \le t \le 1$.

Учитывая, что $t > 0$, получаем $0 < t \le 1$.

Выполним обратную замену:

$0 < 2^x \le 1$

Неравенство $2^x > 0$ верно для всех $x$. Решаем $2^x \le 1$.

$2^x \le 2^0$

Так как основание $2 > 1$, функция $y=2^x$ возрастающая, следовательно:

$x \le 0$

Ответ: $x \in (-\infty, 0]$.