Номер 161, страница 380 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Показатели неравенств. Задания для повторения - номер 161, страница 380.

161 a) $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$;

б) $2^{2x+2} - 2^{x+2} < 2^x - 1$.

а) Решим неравенство $3^{2x+2} - 3^{x+4} < 3^x - 9$.
Преобразуем степени с помощью свойства $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:
$3^{2x} \cdot 3^2 - 3^x \cdot 3^4 < 3^x - 9$
$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x < 3^x - 9$
Перенесем все члены в левую часть:
$9 \cdot (3^x)^2 - 81 \cdot 3^x - 3^x + 9 < 0$
$9 \cdot (3^x)^2 - 82 \cdot 3^x + 9 < 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция всегда положительна, то $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство:
$9t^2 - 82t + 9 < 0$
Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $9t^2 - 82t + 9 = 0$.
Дискриминант $D = (-82)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 9 = 6724 - 324 = 6400 = 80^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{82 - 80}{2 \cdot 9} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9}$
$t_2 = \frac{82 + 80}{2 \cdot 9} = \frac{162}{18} = 9$
Так как ветви параболы $y = 9t^2 - 82t + 9$ направлены вверх, неравенство $9t^2 - 82t + 9 < 0$ выполняется при $t$, находящихся между корнями.
$\frac{1}{9} < t < 9$. Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$.
Вернемся к исходной переменной $x$:
$\frac{1}{9} < 3^x < 9$
Представим левую и правую части неравенства в виде степени с основанием 3:
$3^{-2} < 3^x < 3^2$
Так как основание степени $3 > 1$, то при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется:
$-2 < x < 2$
Ответ: $x \in (-2; 2)$.

б) Решим неравенство $2^{2x+2} - 2^{x+2} < 2^x - 1$.
Преобразуем степени:
$2^{2x} \cdot 2^2 - 2^x \cdot 2^2 < 2^x - 1$
$4 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x < 2^x - 1$
Перенесем все члены в левую часть:
$4 \cdot (2^x)^2 - 4 \cdot 2^x - 2^x + 1 < 0$
$4 \cdot (2^x)^2 - 5 \cdot 2^x + 1 < 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = 2^x$, где $t > 0$.
Получаем квадратное неравенство:
$4t^2 - 5t + 1 < 0$
Найдем корни уравнения $4t^2 - 5t + 1 = 0$.
Дискриминант $D = (-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 = 3^2$.
Корни уравнения:
$t_1 = \frac{5 - 3}{2 \cdot 4} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$
$t_2 = \frac{5 + 3}{2 \cdot 4} = \frac{8}{8} = 1$
Ветви параболы $y = 4t^2 - 5t + 1$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями:
$\frac{1}{4} < t < 1$. Оба значения удовлетворяют условию $t > 0$.
Сделаем обратную замену:
$\frac{1}{4} < 2^x < 1$
Представим границы в виде степени с основанием 2:
$2^{-2} < 2^x < 2^0$
Так как основание $2 > 1$, то для показателей знак неравенства сохраняется:
$-2 < x < 0$
Ответ: $x \in (-2; 0)$.