Номер 168, страница 381 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Логарифмитические неравенства. Задания для повторения - номер 168, страница 381.

168 a) $\frac{1}{\log_2 x - 4} > \frac{1}{\log_2 x};$

б) $\frac{1}{\log_3 x - 2} \ge \frac{1}{\log_3 x};$

В) $\frac{1}{3 + \log_4 x} < \frac{1}{\log_4 x};$

г) $\frac{1}{1 - \log_{0,5} x} \le -\frac{1}{\log_{0,5} x}.$

a) Решим неравенство $\frac{1}{\log_2 x - 4} > \frac{1}{\log_2 x}$.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть больше нуля: $x > 0$.
Знаменатели не должны равняться нулю:
$\log_2 x - 4 \neq 0 \implies \log_2 x \neq 4 \implies x \neq 2^4 \implies x \neq 16$.
$\log_2 x \neq 0 \implies x \neq 2^0 \implies x \neq 1$.
Итак, ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 16) \cup (16, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_2 x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{t - 4} > \frac{1}{t}$.

3. Решим полученное рациональное неравенство.
$\frac{1}{t - 4} - \frac{1}{t} > 0$
$\frac{t - (t - 4)}{t(t - 4)} > 0$
$\frac{4}{t(t - 4)} > 0$
Так как числитель $4 > 0$, то для выполнения неравенства знаменатель также должен быть больше нуля:
$t(t - 4) > 0$
Корни уравнения $t(t-4)=0$ равны $t=0$ и $t=4$. Методом интервалов находим решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (4, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
Получаем совокупность двух неравенств:
$\log_2 x < 0$ или $\log_2 x > 4$.
Решаем первое: $\log_2 x < \log_2 1$. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x < 1$.
Решаем второе: $\log_2 x > \log_2 16$. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x > 16$.

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая решение $x < 1$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 1)$.
Пересекая решение $x > 16$ с ОДЗ, получаем $x \in (16, \infty)$.
Объединяем полученные интервалы.
Ответ: $x \in (0, 1) \cup (16, \infty)$.

б) Решим неравенство $\frac{1}{\log_3 x - 2} \ge \frac{1}{\log_3 x}$.

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$.
$\log_3 x - 2 \neq 0 \implies \log_3 x \neq 2 \implies x \neq 3^2 \implies x \neq 9$.
$\log_3 x \neq 0 \implies x \neq 3^0 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0, 1) \cup (1, 9) \cup (9, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_3 x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{t - 2} \ge \frac{1}{t}$.

3. Решим рациональное неравенство.
$\frac{1}{t - 2} - \frac{1}{t} \ge 0$
$\frac{t - (t - 2)}{t(t - 2)} \ge 0$
$\frac{2}{t(t - 2)} \ge 0$
Так как числитель $2 > 0$, то знаменатель должен быть строго больше нуля (не может быть равен нулю):
$t(t - 2) > 0$
Корни: $t=0, t=2$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
$\log_3 x < 0$ или $\log_3 x > 2$.
$\log_3 x < \log_3 1 \implies x < 1$ (основание $3>1$).
$\log_3 x > \log_3 9 \implies x > 9$ (основание $3>1$).

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая $x < 1$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 1)$.
Пересекая $x > 9$ с ОДЗ, получаем $x \in (9, \infty)$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (0, 1) \cup (9, \infty)$.

в) Решим неравенство $\frac{1}{3 + \log_4 x} < \frac{1}{\log_4 x}$.

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$.
$3 + \log_4 x \neq 0 \implies \log_4 x \neq -3 \implies x \neq 4^{-3} \implies x \neq \frac{1}{64}$.
$\log_4 x \neq 0 \implies x \neq 4^0 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0, 1/64) \cup (1/64, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_4 x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{3 + t} < \frac{1}{t}$.

3. Решим рациональное неравенство.
$\frac{1}{t + 3} - \frac{1}{t} < 0$
$\frac{t - (t + 3)}{t(t + 3)} < 0$
$\frac{-3}{t(t + 3)} < 0$
Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:
$\frac{3}{t(t + 3)} > 0$
Числитель $3>0$, значит $t(t + 3) > 0$.
Корни: $t=0, t=-3$. Решение: $t \in (-\infty, -3) \cup (0, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
$\log_4 x < -3$ или $\log_4 x > 0$.
$\log_4 x < \log_4 4^{-3} \implies x < \frac{1}{64}$ (основание $4>1$).
$\log_4 x > \log_4 1 \implies x > 1$ (основание $4>1$).

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая $x < 1/64$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 1/64)$.
Пересекая $x > 1$ с ОДЗ, получаем $x \in (1, \infty)$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (0, \frac{1}{64}) \cup (1, \infty)$.

г) Решим неравенство $\frac{1}{1 - \log_{0.5} x} \le -\frac{1}{\log_{0.5} x}$.

1. Найдем ОДЗ.
$x > 0$.
$1 - \log_{0.5} x \neq 0 \implies \log_{0.5} x \neq 1 \implies x \neq 0.5^1 \implies x \neq 0.5$.
$\log_{0.5} x \neq 0 \implies x \neq 0.5^0 \implies x \neq 1$.
ОДЗ: $x \in (0, 0.5) \cup (0.5, 1) \cup (1, \infty)$.

2. Сделаем замену переменной.
Пусть $t = \log_{0.5} x$. Неравенство примет вид: $\frac{1}{1 - t} \le -\frac{1}{t}$.

3. Решим рациональное неравенство.
$\frac{1}{1 - t} + \frac{1}{t} \le 0$
$\frac{t + (1 - t)}{t(1 - t)} \le 0$
$\frac{1}{t(1 - t)} \le 0$
Так как числитель $1 > 0$, то знаменатель должен быть строго меньше нуля:
$t(1 - t) < 0$
Умножим на -1 и сменим знак: $t(t-1) > 0$.
Корни: $t=0, t=1$. Решение: $t \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$.

4. Вернемся к исходной переменной.
$\log_{0.5} x < 0$ или $\log_{0.5} x > 1$.
Решаем первое: $\log_{0.5} x < \log_{0.5} 1$. Так как основание $0.5 \in (0, 1)$, знак неравенства меняется: $x > 1$.
Решаем второе: $\log_{0.5} x > \log_{0.5} 0.5$. Так как основание $0.5 \in (0, 1)$, знак неравенства меняется: $x < 0.5$.

5. Учтем ОДЗ.
Пересекая $x > 1$ с ОДЗ, получаем $x \in (1, \infty)$.
Пересекая $x < 0.5$ с ОДЗ ($x>0$), получаем $x \in (0, 0.5)$.
Объединяем решения.
Ответ: $x \in (0, 0.5) \cup (1, \infty)$.