Номер 171, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 171, страница 382.

Условие.

171 a) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

б) $ \sin \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

в) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

г) $ \cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

д) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

е) $ \operatorname{tg} \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right); $

ж) $ \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right); $

з) $ \operatorname{ctg} \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right). $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ используются формулы приведения. Поскольку в аргументе присутствует $\frac{\pi}{2}$, функция меняется на кофункцию: синус на косинус. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти (если считать $\alpha$ острым углом), а синус в I четверти положителен. Следовательно, знак выражения не меняется.
$\sin\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \cos(\alpha)$
Ответ: $\cos(\alpha)$

б) Для выражения $\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ также применяются формулы приведения. Функция синус меняется на косинус. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где синус положителен. Значит, итоговое выражение будет со знаком плюс.
$\sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = \cos(\alpha)$
Ответ: $\cos(\alpha)$

в) В выражении $\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ из-за слагаемого $\frac{\pi}{2}$ функция косинус меняется на синус. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ расположен в I четверти, где косинус положителен. Поэтому знак сохраняется.
$\cos\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \sin(\alpha)$
Ответ: $\sin(\alpha)$

г) В выражении $\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ функция косинус меняется на синус. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти. В этой четверти косинус отрицателен, поэтому перед полученной функцией ставится знак минус.
$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin(\alpha)$
Ответ: $-\sin(\alpha)$

д) Для выражения $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ функция тангенс меняется на котангенс. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти, где тангенс положителен. Знак итогового выражения — плюс.
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{ctg}(\alpha)$
Ответ: $\text{ctg}(\alpha)$

е) В выражении $\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ функция тангенс меняется на котангенс. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Поэтому перед кофункцией ставится знак минус.
$\text{tg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{ctg}(\alpha)$
Ответ: $-\text{ctg}(\alpha)$

ж) Для выражения $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right)$ функция котангенс меняется на тангенс. Угол $\frac{\pi}{2} - \alpha$ находится в I четверти, где котангенс положителен. Знак итогового выражения — плюс.
$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \text{tg}(\alpha)$
Ответ: $\text{tg}(\alpha)$

з) В выражении $\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$ функция котангенс меняется на тангенс. Угол $\frac{\pi}{2} + \alpha$ находится во II четверти, где котангенс отрицателен. Следовательно, перед полученной функцией ставится знак минус.
$\text{ctg}\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\text{tg}(\alpha)$
Ответ: $-\text{tg}(\alpha)$