Номер 173, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 173, страница 382.

Условие.

173 a) $\sin (\pi - \alpha) + \cos (\frac{\pi}{2} + \alpha) - \operatorname{tg} (2\pi - \alpha) + \operatorname{ctg} (\frac{3\pi}{2} - \alpha);$

б) $\sin (90^\circ - \alpha) - \cos (180^\circ - \alpha) - \operatorname{tg} (180^\circ - \alpha) + \operatorname{ctg} (270^\circ + \alpha).$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) Для упрощения выражения $ \sin(\pi - \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) - \tg(2\pi - \alpha) + \ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $ воспользуемся формулами приведения. Формулы приведения позволяют свести тригонометрические функции произвольного угла к функциям острого угла.

Правила для применения формул приведения:

1. Если в формуле содержатся углы $ \pi $ или $ 2\pi $ (горизонтальная ось), название функции не меняется.

2. Если в формуле содержатся углы $ \frac{\pi}{2} $ или $ \frac{3\pi}{2} $ (вертикальная ось), название функции меняется на кофункцию ($ \sin $ на $ \cos $, $ \tg $ на $ \ctg $ и наоборот).

3. Знак перед полученной функцией определяется знаком исходной функции в той четверти, в которой находится угол, если считать $ \alpha $ острым углом.

Применим эти правила к каждому слагаемому:

• $ \sin(\pi - \alpha) $: угол $ \pi - \alpha $ находится во II четверти, где синус положителен. Функция не меняется. Получаем $ \sin(\alpha) $.
• $ \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha) $: угол $ \frac{\pi}{2} + \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция меняется на синус. Получаем $ -\sin(\alpha) $.
• $ \tg(2\pi - \alpha) $: угол $ 2\pi - \alpha $ находится в IV четверти, где тангенс отрицателен. Функция не меняется. Получаем $ -\tg(\alpha) $.
• $ \ctg(\frac{3\pi}{2} - \alpha) $: угол $ \frac{3\pi}{2} - \alpha $ находится в III четверти, где котангенс положителен. Функция меняется на тангенс. Получаем $ \tg(\alpha) $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \sin(\alpha) + (-\sin(\alpha)) - (-\tg(\alpha)) + \tg(\alpha) = \sin(\alpha) - \sin(\alpha) + \tg(\alpha) + \tg(\alpha) = 2\tg(\alpha) $.

Ответ: $ 2\tg(\alpha) $.

б) Упростим выражение $ \sin(90^\circ - \alpha) - \cos(180^\circ - \alpha) - \tg(180^\circ - \alpha) + \ctg(270^\circ + \alpha) $. Правила приведения аналогичны, только углы даны в градусах ($ 90^\circ $ и $ 270^\circ $ — вертикальная ось, $ 180^\circ $ и $ 360^\circ $ — горизонтальная).

Применим правила к каждому слагаемому:

• $ \sin(90^\circ - \alpha) $: угол $ 90^\circ - \alpha $ находится в I четверти, где синус положителен. Функция меняется на косинус. Получаем $ \cos(\alpha) $.
• $ \cos(180^\circ - \alpha) $: угол $ 180^\circ - \alpha $ находится во II четверти, где косинус отрицателен. Функция не меняется. Получаем $ -\cos(\alpha) $.
• $ \tg(180^\circ - \alpha) $: угол $ 180^\circ - \alpha $ находится во II четверти, где тангенс отрицателен. Функция не меняется. Получаем $ -\tg(\alpha) $.
• $ \ctg(270^\circ + \alpha) $: угол $ 270^\circ + \alpha $ находится в IV четверти, где котангенс отрицателен. Функция меняется на тангенс. Получаем $ -\tg(\alpha) $.

Подставим полученные значения в исходное выражение:

$ \cos(\alpha) - (-\cos(\alpha)) - (-\tg(\alpha)) + (-\tg(\alpha)) = \cos(\alpha) + \cos(\alpha) + \tg(\alpha) - \tg(\alpha) = 2\cos(\alpha) $.

Ответ: $ 2\cos(\alpha) $.