Номер 179, страница 382 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 179, страница 382.

179 Упростите выражение:

a) $\frac{\sin\alpha}{1-\cos\alpha} - \text{ctg}\alpha$;

б) $\frac{\cos\alpha}{1-\sin\alpha} - \text{tg}\alpha$;

в) $1+\cos\alpha - \frac{\sin^2\alpha \cos\alpha}{1-\cos\alpha}$;

г) $1+\sin\alpha - \frac{\cos^2\alpha \sin\alpha}{1-\sin\alpha}$.

а) $ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} - \text{ctg} \alpha $
Чтобы упростить выражение, представим котангенс как отношение косинуса к синусу: $ \text{ctg} \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $.
$ \frac{\sin \alpha}{1 - \cos \alpha} - \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \sin \alpha (1 - \cos \alpha) $:
$ \frac{\sin \alpha \cdot \sin \alpha - \cos \alpha (1 - \cos \alpha)}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} = \frac{\sin^2 \alpha - \cos \alpha + \cos^2 \alpha}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} $
Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \frac{(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha) - \cos \alpha}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha (1 - \cos \alpha)} $
Сократим числитель и знаменатель на выражение $ (1 - \cos \alpha) $, при условии что $ 1 - \cos \alpha \neq 0 $:
$ \frac{1}{\sin \alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\sin \alpha} $.

б) $ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \text{tg} \alpha $
Представим тангенс как отношение синуса к косинусу: $ \text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $.
$ \frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} $
Приведем дроби к общему знаменателю $ \cos \alpha (1 - \sin \alpha) $:
$ \frac{\cos \alpha \cdot \cos \alpha - \sin \alpha (1 - \sin \alpha)}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} = \frac{\cos^2 \alpha - \sin \alpha + \sin^2 \alpha}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} $
Применим основное тригонометрическое тождество $ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 $:
$ \frac{(\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha) - \sin \alpha}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} = \frac{1 - \sin \alpha}{\cos \alpha (1 - \sin \alpha)} $
Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $, при условии что $ 1 - \sin \alpha \neq 0 $:
$ \frac{1}{\cos \alpha} $
Ответ: $ \frac{1}{\cos \alpha} $.

в) $ 1 + \cos \alpha - \frac{\sin^2 \alpha \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} $
Сначала упростим дробь. Заменим в числителе $ \sin^2 \alpha $ на $ 1 - \cos^2 \alpha $ согласно основному тригонометрическому тождеству:
$ \frac{(1 - \cos^2 \alpha) \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} $
Разложим $ (1 - \cos^2 \alpha) $ как разность квадратов: $ (1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) $:
$ \frac{(1 - \cos \alpha)(1 + \cos \alpha) \cos \alpha}{1 - \cos \alpha} $
Сократим дробь на $ (1 - \cos \alpha) $:
$ (1 + \cos \alpha) \cos \alpha = \cos \alpha + \cos^2 \alpha $
Теперь подставим упрощенное выражение обратно в исходное:
$ 1 + \cos \alpha - (\cos \alpha + \cos^2 \alpha) = 1 + \cos \alpha - \cos \alpha - \cos^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha $
Снова используя основное тригонометрическое тождество, получаем:
$ 1 - \cos^2 \alpha = \sin^2 \alpha $
Ответ: $ \sin^2 \alpha $.

г) $ 1 + \sin \alpha - \frac{\cos^2 \alpha \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $
Упростим дробную часть. Заменим в числителе $ \cos^2 \alpha $ на $ 1 - \sin^2 \alpha $:
$ \frac{(1 - \sin^2 \alpha) \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $
Разложим $ (1 - \sin^2 \alpha) $ на множители как разность квадратов: $ (1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) $:
$ \frac{(1 - \sin \alpha)(1 + \sin \alpha) \sin \alpha}{1 - \sin \alpha} $
Сократим дробь на $ (1 - \sin \alpha) $:
$ (1 + \sin \alpha) \sin \alpha = \sin \alpha + \sin^2 \alpha $
Подставим полученное выражение в исходное:
$ 1 + \sin \alpha - (\sin \alpha + \sin^2 \alpha) = 1 + \sin \alpha - \sin \alpha - \sin^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $
По основному тригонометрическому тождеству:
$ 1 - \sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha $
Ответ: $ \cos^2 \alpha $.