Номер 186, страница 384 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Вычисления и преобразования - номер 186, страница 384.

Условие.

Упростите выражение (186–188):

186 a) $tg (\alpha - \pi) - \frac{\cos \left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right)}{1 + \cos (-\alpha)}$

б) $tg (\alpha + \pi) - \frac{\sin \left( \frac{3\pi}{2} + \alpha \right)}{1 - \sin (-\alpha)}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

a) Упростим выражение $tg(α - π) - \frac{cos(\frac{π}{2} + α)}{1 + cos(-α)}$ по частям.

1. Используем свойство периодичности тангенса. Период функции $tg(x)$ равен $π$, поэтому $tg(α - π) = tg(α)$.

2. Применим формулу приведения для $cos(\frac{π}{2} + α)$. Угол $(\frac{π}{2} + α)$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. При наличии $\frac{π}{2}$ функция меняется на кофункцию (косинус на синус). Таким образом, $cos(\frac{π}{2} + α) = -sin(α)$.

3. Используем свойство четности косинуса: $cos(-α) = cos(α)$.

4. Подставим полученные выражения в исходное:

$tg(α - π) - \frac{cos(\frac{π}{2} + α)}{1 + cos(-α)} = tg(α) - \frac{-sin(α)}{1 + cos(α)} = tg(α) + \frac{sin(α)}{1 + cos(α)}$

5. Заменим $tg(α)$ на $\frac{sin(α)}{cos(α)}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю $cos(α)(1 + cos(α))$:

$\frac{sin(α)}{cos(α)} + \frac{sin(α)}{1 + cos(α)} = \frac{sin(α)(1 + cos(α)) + sin(α)cos(α)}{cos(α)(1 + cos(α))}$

6. Раскроем скобки и упростим числитель:

$\frac{sin(α) + sin(α)cos(α) + sin(α)cos(α)}{cos(α)(1 + cos(α))} = \frac{sin(α) + 2sin(α)cos(α)}{cos(α)(1 + cos(α))}$

7. Вынесем в числителе общий множитель $sin(α)$:

$\frac{sin(α)(1 + 2cos(α))}{cos(α)(1 + cos(α))}$

Дальнейшее упрощение без дополнительных условий невозможно.

Ответ: $\frac{sin(α)(1 + 2cos(α))}{cos(α)(1 + cos(α))}$

б) Упростим выражение $tg(α + π) - \frac{sin(\frac{3π}{2} + α)}{1 - sin(-α)}$ по частям.

1. Используем свойство периодичности тангенса: $tg(α + π) = tg(α)$.

2. Применим формулу приведения для $sin(\frac{3π}{2} + α)$. Угол $(\frac{3π}{2} + α)$ находится в четвертой координатной четверти, где синус отрицателен. При наличии $\frac{3π}{2}$ функция меняется на кофункцию (синус на косинус). Таким образом, $sin(\frac{3π}{2} + α) = -cos(α)$.

3. Используем свойство нечетности синуса: $sin(-α) = -sin(α)$.

4. Подставим полученные выражения в исходное:

$tg(α + π) - \frac{sin(\frac{3π}{2} + α)}{1 - sin(-α)} = tg(α) - \frac{-cos(α)}{1 - (-sin(α))} = tg(α) + \frac{cos(α)}{1 + sin(α)}$

5. Заменим $tg(α)$ на $\frac{sin(α)}{cos(α)}$ и приведем слагаемые к общему знаменателю $cos(α)(1 + sin(α))$:

$\frac{sin(α)}{cos(α)} + \frac{cos(α)}{1 + sin(α)} = \frac{sin(α)(1 + sin(α)) + cos(α) \cdot cos(α)}{cos(α)(1 + sin(α))}$

6. Раскроем скобки в числителе и применим основное тригонометрическое тождество $sin^2(α) + cos^2(α) = 1$:

$\frac{sin(α) + sin^2(α) + cos^2(α)}{cos(α)(1 + sin(α))} = \frac{sin(α) + 1}{cos(α)(1 + sin(α))}$

7. Сократим дробь на общий множитель $(1 + sin(α))$, который не равен нулю согласно области определения исходного выражения:

$\frac{1}{cos(α)}$

Ответ: $\frac{1}{cos(α)}$