Номер 193, страница 385 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 193, страница 385.

193 Вычислите:

a) $ \text{tg } 2x $, если $ \text{tg } \frac{x}{2} = \frac{1}{5} $;

б) $ \text{tg } 8x $, если $ \text{tg } 2x = \frac{1}{4} $;

в) $ \text{tg } 4x $, если $ \text{tg } x = \frac{1}{3} $.

Для решения всех пунктов задачи используется формула тангенса двойного угла:

$ \tg(2\alpha) = \frac{2\tg(\alpha)}{1 - \tg^2(\alpha)} $

а)

По условию дано $ \tg \frac{x}{2} = \frac{1}{5} $. Требуется найти $ \tg 2x $. Решение будет состоять из двух шагов, последовательно применяя формулу двойного угла.

1. Сначала найдем $ \tg x $. Для этого в формуле двойного угла примем $ \alpha = \frac{x}{2} $:

$ \tg x = \tg(2 \cdot \frac{x}{2}) = \frac{2\tg(\frac{x}{2})}{1 - \tg^2(\frac{x}{2})} $

Подставляем известное значение $ \tg \frac{x}{2} = \frac{1}{5} $:

$ \tg x = \frac{2 \cdot \frac{1}{5}}{1 - (\frac{1}{5})^2} = \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{1}{25}} = \frac{\frac{2}{5}}{\frac{24}{25}} = \frac{2}{5} \cdot \frac{25}{24} = \frac{5}{12} $.

2. Теперь, зная, что $ \tg x = \frac{5}{12} $, найдем $ \tg 2x $. Для этого в формуле двойного угла примем $ \alpha = x $:

$ \tg 2x = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{5}{12}}{1 - (\frac{5}{12})^2} = \frac{\frac{10}{12}}{1 - \frac{25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{144-25}{144}} = \frac{\frac{5}{6}}{\frac{119}{144}} = \frac{5}{6} \cdot \frac{144}{119} = \frac{5 \cdot 24}{119} = \frac{120}{119} $.

Ответ: $ \frac{120}{119} $.

б)

По условию дано $ \tg 2x = \frac{1}{4} $. Требуется найти $ \tg 8x $. Решение также будет состоять из двух шагов.

1. Сначала найдем $ \tg 4x $. В формуле двойного угла примем $ \alpha = 2x $:

$ \tg 4x = \tg(2 \cdot 2x) = \frac{2\tg(2x)}{1 - \tg^2(2x)} $

Подставляем известное значение $ \tg 2x = \frac{1}{4} $:

$ \tg 4x = \frac{2 \cdot \frac{1}{4}}{1 - (\frac{1}{4})^2} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{16}} = \frac{\frac{1}{2}}{\frac{15}{16}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{16}{15} = \frac{8}{15} $.

2. Теперь, зная, что $ \tg 4x = \frac{8}{15} $, найдем $ \tg 8x $. В формуле двойного угла примем $ \alpha = 4x $:

$ \tg 8x = \tg(2 \cdot 4x) = \frac{2\tg(4x)}{1 - \tg^2(4x)} = \frac{2 \cdot \frac{8}{15}}{1 - (\frac{8}{15})^2} = \frac{\frac{16}{15}}{1 - \frac{64}{225}} = \frac{\frac{16}{15}}{\frac{225-64}{225}} = \frac{\frac{16}{15}}{\frac{161}{225}} = \frac{16}{15} \cdot \frac{225}{161} = \frac{16 \cdot 15}{161} = \frac{240}{161} $.

Ответ: $ \frac{240}{161} $.

в)

По условию дано $ \tg x = \frac{1}{3} $. Требуется найти $ \tg 4x $. Решение снова в два шага.

1. Сначала найдем $ \tg 2x $. В формуле двойного угла примем $ \alpha = x $:

$ \tg 2x = \frac{2\tg x}{1 - \tg^2 x} = \frac{2 \cdot \frac{1}{3}}{1 - (\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}} = \frac{2}{3} \cdot \frac{9}{8} = \frac{3}{4} $.

2. Теперь, зная, что $ \tg 2x = \frac{3}{4} $, найдем $ \tg 4x $. В формуле двойного угла примем $ \alpha = 2x $:

$ \tg 4x = \tg(2 \cdot 2x) = \frac{2\tg(2x)}{1 - \tg^2(2x)} = \frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2} = \frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{16-9}{16}} = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}} = \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7} = \frac{24}{7} $.

Ответ: $ \frac{24}{7} $.