Номер 197, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Вычисления и преобразования. Задания для повторения - номер 197, страница 386.

197 Упростите выражение:

а) $\frac{\cos 2x (1 - \cos 2x)}{\sin 3x - \sin x}$;

б) $\frac{\sin 2x (1 + \cos 2x)}{\sin 3x + \sin x}$.

Укажите множество всех значений $x$, при которых данное выражение не имеет смысла.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{\cos 2x (1 - \cos 2x)}{\sin 3x - \sin x}$.

Для упрощения числителя используем формулу понижения степени (или следствие из формулы косинуса двойного угла): $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.
Числитель: $\cos 2x (1 - \cos 2x) = \cos 2x \cdot 2\sin^2 x$.

Для упрощения знаменателя используем формулу преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Знаменатель: $\sin 3x - \sin x = 2 \cos\left(\frac{3x+x}{2}\right) \sin\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2 \cos 2x \sin x$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь и сократим:
$\frac{2 \cos 2x \sin^2 x}{2 \cos 2x \sin x} = \sin x$.

Далее найдем множество всех значений $x$, при которых данное выражение не имеет смысла. Выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю:
$\sin 3x - \sin x = 0$
$2 \cos 2x \sin x = 0$
Это равенство выполняется, если $\cos 2x = 0$ или $\sin x = 0$.
1. $\sin x = 0 \implies x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x = k\pi$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ для любых целых $k$ и $n$.

Ответ: Упрощенное выражение: $\sin x$. Выражение не имеет смысла при $x = k\pi$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{\sin 2x (1 + \cos 2x)}{\sin 3x + \sin x}$.

Для упрощения числителя используем формулу двойного угла для синуса $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и формулу понижения степени $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.
Числитель: $\sin 2x (1 + \cos 2x) = (2\sin x \cos x)(2\cos^2 x) = 4\sin x \cos^3 x$.

Для упрощения знаменателя используем формулу преобразования суммы синусов в произведение: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Знаменатель: $\sin 3x + \sin x = 2 \sin\left(\frac{3x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2 \sin 2x \cos x$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь. Также заменим $\sin 2x$ в знаменателе по формуле двойного угла:
$\frac{4\sin x \cos^3 x}{2 \sin 2x \cos x} = \frac{4\sin x \cos^3 x}{2 (2\sin x \cos x) \cos x} = \frac{4\sin x \cos^3 x}{4\sin x \cos^2 x} = \cos x$.

Далее найдем множество всех значений $x$, при которых данное выражение не имеет смысла. Выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю:
$\sin 3x + \sin x = 0$
$2 \sin 2x \cos x = 0$
Это равенство выполняется, если $\sin 2x = 0$ или $\cos x = 0$.
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin 2x = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что множество решений $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ является подмножеством множества $x = \frac{n\pi}{2}$ (при нечетных $n$). Следовательно, достаточно указать только второе множество решений.

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x = \frac{n\pi}{2}$ для любого целого $n$.

Ответ: Упрощенное выражение: $\cos x$. Выражение не имеет смысла при $x = \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.