Номер 202, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Решение уравнений - номер 202, страница 386.

Условие.

202 a) $ \cos 2x = \sin x $;

б) $ 3 \cos^2 x + 4 \sin x = 0 $;

в) $ 8 \cos 2x + 16 \cos x + 7 = 0 $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $ \cos 2x = \sin x $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $. Это позволит привести уравнение к одной тригонометрической функции (синусу).

Подставим формулу в исходное уравнение:

$ 1 - 2\sin^2 x = \sin x $

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \sin x $:

$ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $. Так как область значений синуса $ [-1, 1] $, то $ -1 \le t \le 1 $.

$ 2t^2 + t - 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $

$ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $

$ t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Оба корня, $ -1 $ и $ \frac{1}{2} $, принадлежат отрезку $ [-1, 1] $, поэтому оба являются возможными значениями для $ \sin x $.

Вернемся к исходной переменной:

1) $ \sin x = -1 $

Это частный случай, решение которого: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x = \frac{1}{2} $

Общее решение этого уравнения: $ x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $, получаем: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя оба решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ 3 \cos^2 x + 4 \sin x = 0 $

В этом уравнении присутствуют и синус, и косинус. Чтобы свести его к одной функции, используем основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $.

Подставим это выражение в уравнение:

$ 3(1 - \sin^2 x) + 4 \sin x = 0 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3 - 3\sin^2 x + 4 \sin x = 0 $

Умножим уравнение на -1 и расставим члены по порядку, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ 3\sin^2 x - 4 \sin x - 3 = 0 $

Сделаем замену переменной $ t = \sin x $, где $ -1 \le t \le 1 $:

$ 3t^2 - 4t - 3 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 16 + 36 = 52 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} $

Корни уравнения для $ t $:

$ t_1 = \frac{4 + 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 + \sqrt{13}}{3} $

$ t_2 = \frac{4 - 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 - \sqrt{13}}{3} $

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни отрезку $ [-1, 1] $.

Оценим $ t_1 = \frac{2 + \sqrt{13}}{3} $. Поскольку $ \sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16} $, то $ 3 < \sqrt{13} < 4 $. Тогда $ 2+3 < 2+\sqrt{13} < 2+4 $, то есть $ 5 < 2+\sqrt{13} < 6 $. Следовательно, $ \frac{5}{3} < t_1 < \frac{6}{3} $, то есть $ t_1 > 1 $. Этот корень не подходит.

Оценим $ t_2 = \frac{2 - \sqrt{13}}{3} $. Используя ту же оценку $ 3 < \sqrt{13} < 4 $, получаем $ -4 < -\sqrt{13} < -3 $, и $ 2-4 < 2-\sqrt{13} < 2-3 $, то есть $ -2 < 2-\sqrt{13} < -1 $. Следовательно, $ -\frac{2}{3} < t_2 < -\frac{1}{3} $. Этот корень принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.

Итак, у нас есть одно возможное значение для синуса: $ \sin x = \frac{2 - \sqrt{13}}{3} $.

Решение этого уравнения имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

в) $ 8 \cos 2x + 16 \cos x + 7 = 0 $

Данное уравнение содержит $ \cos 2x $ и $ \cos x $. Приведем его к одной функции $ \cos x $, используя формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $.

Подставим формулу в уравнение:

$ 8(2\cos^2 x - 1) + 16 \cos x + 7 = 0 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 16\cos^2 x - 8 + 16 \cos x + 7 = 0 $

$ 16\cos^2 x + 16 \cos x - 1 = 0 $

Сделаем замену переменной $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.

$ 16t^2 + 16t - 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 256 + 64 = 320 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5} $

Найдем корни для $ t $:

$ t = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{2 \cdot 16} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{32} = \frac{8(-2 \pm \sqrt{5})}{32} = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{4} $

Итак, $ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} $ и $ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} $.

Проверим, входят ли эти корни в область значений косинуса $ [-1, 1] $.

Оценим $ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} $. Знаем, что $ 2 < \sqrt{5} < 3 $ (т.к. $ 4 < 5 < 9 $). Тогда $ 0 < -2 + \sqrt{5} < 1 $. Делим на 4: $ 0 < \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} < \frac{1}{4} $. Этот корень находится в интервале $ (0, 1) $, значит, он подходит.

Оценим $ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} $. Так как $ 2 < \sqrt{5} < 3 $, то $ -3 < -\sqrt{5} < -2 $. Тогда $ -2 - 3 < -2 - \sqrt{5} < -2 - 2 $, то есть $ -5 < -2 - \sqrt{5} < -4 $. Делим на 4: $ -\frac{5}{4} < \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} < -1 $. Так как $ -\frac{5}{4} = -1.25 $, этот корень меньше -1 и не подходит.

Остается решить уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{5} - 2}{4} $.

Общее решение для косинуса имеет вид $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $.

$ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 2}{4}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 2}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.