Номер 205, страница 387 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 205, страница 387.

205 a) $3 \sin^2 x + \cos 2x - 1 = 0$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 2\pi]$.

б) $5 \sin x + \cos 2x = 1$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 3\pi]$.

в) $\cos \frac{x}{3} = 2 \cos \frac{x}{6} - 1$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 4\pi]$.

г) $1 - \sin \frac{x}{6} = \cos \frac{x}{3}$. В ответе укажите число корней уравнения, принадлежащих отрезку $[0; 6\pi]$.

а) Решим уравнение $3 \sin^2 x + \cos 2x - 1 = 0$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной тригонометрической функции:
$3 \sin^2 x + (1 - 2 \sin^2 x) - 1 = 0$
$3 \sin^2 x + 1 - 2 \sin^2 x - 1 = 0$
$\sin^2 x = 0$
$\sin x = 0$
Общее решение этого уравнения: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Теперь найдем корни, принадлежащие отрезку $[0; 2\pi]$. Для этого решим неравенство:
$0 \le \pi k \le 2\pi$
$0 \le k \le 2$
Так как $k$ — целое число, возможные значения для $k$: 0, 1, 2.
При $k=0$, $x = 0$.
При $k=1$, $x = \pi$.
При $k=2$, $x = 2\pi$.
Все три корня ($0, \pi, 2\pi$) принадлежат отрезку $[0; 2\pi]$.

Ответ: 3

б) Решим уравнение $5 \sin x + \cos 2x = 1$.
Заменим $\cos 2x$ по формуле $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$:
$5 \sin x + (1 - 2 \sin^2 x) = 1$
$5 \sin x - 2 \sin^2 x = 0$
$\sin x (5 - 2 \sin x) = 0$
Это уравнение распадается на два:
1) $\sin x = 0$
2) $5 - 2 \sin x = 0 \implies \sin x = \frac{5}{2}$. Второе уравнение не имеет решений, так как $|\sin x| \le 1$.
Решаем уравнение $\sin x = 0$. Общее решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни на отрезке $[0; 3\pi]$:
$0 \le \pi k \le 3\pi$
$0 \le k \le 3$
Целочисленные значения $k$: 0, 1, 2, 3.
При $k=0$, $x = 0$.
При $k=1$, $x = \pi$.
При $k=2$, $x = 2\pi$.
При $k=3$, $x = 3\pi$.
Всего на заданном отрезке 4 корня.

Ответ: 4

в) Решим уравнение $\cos \frac{x}{3} = 2 \cos^2 \frac{x}{6} - 1$.
Заметим, что правая часть уравнения является формулой косинуса двойного угла для аргумента $\frac{x}{6}$: $2 \cos^2 \frac{x}{6} - 1 = \cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = \cos \frac{x}{3}$.
Таким образом, исходное уравнение представляет собой тождество $\cos \frac{x}{3} = \cos \frac{x}{3}$, верное для всех действительных значений $x$. В таком случае число корней на любом отрезке бесконечно.
Вероятно, в условии задачи имеется опечатка. Наиболее вероятная опечатка — отсутствие квадрата в правой части. Решим исправленное уравнение: $\cos \frac{x}{3} = 2 \cos \frac{x}{6} - 1$.
Используем формулу $\cos \frac{x}{3} = \cos(2 \cdot \frac{x}{6}) = 2\cos^2\frac{x}{6} - 1$:
$2\cos^2\frac{x}{6} - 1 = 2 \cos \frac{x}{6} - 1$
$2\cos^2\frac{x}{6} - 2\cos\frac{x}{6} = 0$
$2\cos\frac{x}{6} \left(\cos\frac{x}{6} - 1\right) = 0$
Получаем два случая:
1) $\cos\frac{x}{6} = 0 \implies \frac{x}{6} = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = 3\pi + 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $\cos\frac{x}{6} = 1 \implies \frac{x}{6} = 2\pi n \implies x = 12\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Отберем корни, принадлежащие отрезку $[0; 4\pi]$.
Для первой серии корней: $0 \le 3\pi + 6\pi k \le 4\pi \implies 0 \le 3 + 6k \le 4 \implies -3 \le 6k \le 1 \implies -0.5 \le k \le \frac{1}{6}$. Единственное целое $k=0$, откуда $x = 3\pi$.
Для второй серии корней: $0 \le 12\pi n \le 4\pi \implies 0 \le 12n \le 4 \implies 0 \le n \le \frac{1}{3}$. Единственное целое $n=0$, откуда $x = 0$.
Таким образом, на отрезке $[0; 4\pi]$ лежат два корня: $0$ и $3\pi$.

Ответ: 2

г) Решим уравнение $1 - \sin \frac{x}{6} = \cos \frac{x}{3}$.
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2\alpha$. Пусть $\alpha = \frac{x}{6}$, тогда $2\alpha = \frac{x}{3}$.
$1 - \sin \frac{x}{6} = 1 - 2\sin^2 \frac{x}{6}$
$2\sin^2 \frac{x}{6} - \sin \frac{x}{6} = 0$
$\sin \frac{x}{6} \left(2\sin \frac{x}{6} - 1\right) = 0$
Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:
1) $\sin \frac{x}{6} = 0 \implies \frac{x}{6} = \pi k \implies x = 6\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2) $2\sin \frac{x}{6} - 1 = 0 \implies \sin \frac{x}{6} = \frac{1}{2} \implies \frac{x}{6} = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n \implies x = (-1)^n \pi + 6\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Найдем корни на отрезке $[0; 6\pi]$.
Для первой серии $x = 6\pi k$:
$0 \le 6\pi k \le 6\pi \implies 0 \le k \le 1$. Целые $k=0, 1$. Получаем корни $x=0$ и $x=6\pi$.
Для второй серии $x = (-1)^n \pi + 6\pi n$:
При $n=0$: $x = (-1)^0 \pi + 0 = \pi$. Корень $x=\pi$ принадлежит отрезку $[0; 6\pi]$.
При $n=1$: $x = (-1)^1 \pi + 6\pi(1) = -\pi + 6\pi = 5\pi$. Корень $x=5\pi$ принадлежит отрезку $[0; 6\pi]$.
При $n \ge 2$ или $n < 0$ корни выходят за пределы отрезка.
Всего получаем четыре различных корня: $0, \pi, 5\pi, 6\pi$.

Ответ: 4