Номер 206, страница 387 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 206, страница 387.

206 a) $2 \cos 4x - 4 \sin 2x = -1;$

Б) $3 \cos 4x - 5 \sin 2x = -1;$

В) $8 \cos 6x - 12 \sin 3x = 3;$

Г) $5 \cos 4x - 6 \sin 2x = -2.$

а) $2 \cos 4x - 4 \sin 2x = -1$

В данном уравнении используется аргумент $4x$ в косинусе и $2x$ в синусе. Мы можем привести их к одному аргументу, используя формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 1 - 2\sin^2(\alpha)$. Применив ее для $\cos(4x)$, где $\alpha = 2x$, получим $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$2(1 - 2\sin^2(2x)) - 4 \sin 2x = -1$

Раскроем скобки и преобразуем уравнение:

$2 - 4\sin^2(2x) - 4 \sin 2x = -1$

Перенесем все слагаемые в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $\sin(2x)$:

$4\sin^2(2x) + 4 \sin 2x - 3 = 0$

Для удобства решения сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin(2x)$. Поскольку область значений функции синус от $-1$ до $1$, то $-1 \le t \le 1$.

$4t^2 + 4t - 3 = 0$

Найдем корни этого квадратного уравнения, используя формулу для корней через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 4^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3) = 16 + 48 = 64$

$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \cdot 4} = \frac{-4 \pm 8}{8}$

$t_1 = \frac{-4 + 8}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-4 - 8}{8} = \frac{-12}{8} = -\frac{3}{2}$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные корни условию $-1 \le t \le 1$.

Корень $t_1 = \frac{1}{2}$ подходит, так как $-1 \le \frac{1}{2} \le 1$.

Корень $t_2 = -\frac{3}{2} = -1.5$ не подходит, так как он меньше $-1$.

Следовательно, возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Решением этого тригонометрического уравнения является серия корней:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделив обе части на 2, найдем $x$:

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

б) $3 \cos 4x - 5 \sin 2x = -1$

Используем ту же формулу косинуса двойного угла: $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$.

Подставим ее в уравнение:

$3(1 - 2\sin^2(2x)) - 5 \sin 2x = -1$

Раскроем скобки и упростим:

$3 - 6\sin^2(2x) - 5 \sin 2x = -1$

Приведем к стандартному виду квадратного уравнения:

$6\sin^2(2x) + 5 \sin 2x - 4 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(2x)$, где $-1 \le t \le 1$.

$6t^2 + 5t - 4 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 5^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-4) = 25 + 96 = 121$

Найдем корни:

$t_{1,2} = \frac{-5 \pm \sqrt{121}}{2 \cdot 6} = \frac{-5 \pm 11}{12}$

$t_1 = \frac{-5 + 11}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-5 - 11}{12} = \frac{-16}{12} = -\frac{4}{3}$

Проверим корни на принадлежность отрезку $[-1, 1]$.

$t_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию.

$t_2 = -\frac{4}{3} \approx -1.33$ не удовлетворяет условию, так как $-\frac{4}{3} < -1$.

Выполним обратную замену:

$\sin(2x) = \frac{1}{2}$

Это уравнение было решено в предыдущем пункте.

$2x = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = (-1)^k \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.

в) $8 \cos 6x - 12 \sin 3x = 3$

Здесь аргументы $6x$ и $3x$. Применим формулу косинуса двойного угла для $\cos(6x) = \cos(2 \cdot 3x) = 1 - 2\sin^2(3x)$.

Подставим в уравнение:

$8(1 - 2\sin^2(3x)) - 12 \sin 3x = 3$

$8 - 16\sin^2(3x) - 12 \sin 3x - 3 = 0$

$16\sin^2(3x) + 12 \sin 3x - 5 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(3x)$, где $-1 \le t \le 1$.

$16t^2 + 12t - 5 = 0$

Вычислим дискриминант:

$D = 12^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-5) = 144 + 320 = 464$

Корни уравнения:

$t_{1,2} = \frac{-12 \pm \sqrt{464}}{2 \cdot 16} = \frac{-12 \pm \sqrt{16 \cdot 29}}{32} = \frac{-12 \pm 4\sqrt{29}}{32} = \frac{-3 \pm \sqrt{29}}{8}$

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{8}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{8}$

Оценим значения корней. Так как $5 < \sqrt{29} < 6$:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{29}}{8}$: $ \frac{-3+5}{8} < t_1 < \frac{-3+6}{8} \Rightarrow \frac{2}{8} < t_1 < \frac{3}{8} \Rightarrow \frac{1}{4} < t_1 < \frac{3}{8}$. Этот корень принадлежит отрезку $[-1, 1]$.

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{29}}{8}$: $ \frac{-3-6}{8} < t_2 < \frac{-3-5}{8} \Rightarrow -\frac{9}{8} < t_2 < -1$. Этот корень меньше $-1$, поэтому он является посторонним.

Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:

$\sin(3x) = \frac{\sqrt{29}-3}{8}$

Решение этого уравнения:

$3x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{29}-3}{8}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\left(\frac{\sqrt{29}-3}{8}\right) + \frac{\pi k}{3}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{3} \arcsin\left(\frac{\sqrt{29}-3}{8}\right) + \frac{\pi k}{3}$, $k \in \mathbb{Z}$.

г) $5 \cos 4x - 6 \sin 2x = -2$

Применим формулу $\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$.

$5(1 - 2\sin^2(2x)) - 6 \sin 2x = -2$

$5 - 10\sin^2(2x) - 6 \sin 2x + 2 = 0$

$10\sin^2(2x) + 6 \sin 2x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = \sin(2x)$, $-1 \le t \le 1$.

$10t^2 + 6t - 7 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = 6^2 - 4 \cdot 10 \cdot (-7) = 36 + 280 = 316$

Найдем корни:

$t_{1,2} = \frac{-6 \pm \sqrt{316}}{2 \cdot 10} = \frac{-6 \pm \sqrt{4 \cdot 79}}{20} = \frac{-6 \pm 2\sqrt{79}}{20} = \frac{-3 \pm \sqrt{79}}{10}$

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{79}}{10}$

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{79}}{10}$

Оценим значения корней. Так как $8 < \sqrt{79} < 9$:

$t_1 = \frac{-3 + \sqrt{79}}{10}$: $\frac{-3+8}{10} < t_1 < \frac{-3+9}{10} \Rightarrow \frac{5}{10} < t_1 < \frac{6}{10} \Rightarrow 0.5 < t_1 < 0.6$. Этот корень подходит.

$t_2 = \frac{-3 - \sqrt{79}}{10}$: $\frac{-3-9}{10} < t_2 < \frac{-3-8}{10} \Rightarrow -\frac{12}{10} < t_2 < -\frac{11}{10}$. Этот корень не подходит, так как он меньше $-1$.

Выполняем обратную замену:

$\sin(2x) = \frac{\sqrt{79}-3}{10}$

Решение:

$2x = (-1)^k \arcsin\left(\frac{\sqrt{79}-3}{10}\right) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$

$x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{79}-3}{10}\right) + \frac{\pi k}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

Ответ: $x = \frac{(-1)^k}{2} \arcsin\left(\frac{\sqrt{79}-3}{10}\right) + \frac{\pi k}{2}$, $k \in \mathbb{Z}$.