Номер 204, страница 387 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 204, страница 387.
№204 (с. 387)
Условие. №204 (с. 387)
скриншот условия

204 a) $3 \cos 2x + 4 + 11 \sin x = 0$;
б) $1 - 8 \cos x = 6 \cos 2x$.
Решение 1. №204 (с. 387)


Решение 2. №204 (с. 387)

Решение 3. №204 (с. 387)

Решение 5. №204 (с. 387)
а)
Дано тригонометрическое уравнение:
$3 \cos 2x + 4 + 11 \sin x = 0$
Для решения этого уравнения необходимо привести все тригонометрические функции к одному аргументу. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$. Выбираем именно эту формулу, чтобы всё уравнение зависело только от $\sin x$.
Подставим формулу в исходное уравнение:
$3(1 - 2 \sin^2 x) + 4 + 11 \sin x = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$3 - 6 \sin^2 x + 4 + 11 \sin x = 0$
$-6 \sin^2 x + 11 \sin x + 7 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:
$6 \sin^2 x - 11 \sin x - 7 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$6t^2 - 11t - 7 = 0$
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 121 + 168 = 289$
Найдем корни уравнения:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$t_1 = \frac{11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 17}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$
$t_2 = \frac{11 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 17}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$
Теперь вернемся к замене $t = \sin x$.
1. $t_1 = \frac{7}{3}$. Уравнение $\sin x = \frac{7}{3}$ не имеет решений, так как $\frac{7}{3} > 1$, а значения синуса не могут превышать 1.
2. $t_2 = -\frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет решения.
Общая формула для решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, то:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
б)
Дано тригонометрическое уравнение:
$1 - 8 \cos x = 6 \cos 2x$
Приведем все функции к одному аргументу $x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$, так как в уравнении уже есть $\cos x$.
Подставим формулу в уравнение:
$1 - 8 \cos x = 6(2 \cos^2 x - 1)$
Раскроем скобки:
$1 - 8 \cos x = 12 \cos^2 x - 6$
Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:
$0 = 12 \cos^2 x + 8 \cos x - 6 - 1$
$12 \cos^2 x + 8 \cos x - 7 = 0$
Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.
Получаем квадратное уравнение относительно $t$:
$12t^2 + 8t - 7 = 0$
Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = 8^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-7) = 64 + 336 = 400$
Найдем корни уравнения:
$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$
$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 + 20}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$
$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 - 20}{24} = \frac{-28}{24} = -\frac{7}{6}$
Теперь вернемся к замене $t = \cos x$.
1. $t_1 = \frac{1}{2}$. Уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$ имеет решения. Это частный случай.
Общая формула для решения: $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то:
$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
2. $t_2 = -\frac{7}{6}$. Уравнение $\cos x = -\frac{7}{6}$ не имеет решений, так как $-\frac{7}{6} < -1$, а значения косинуса не могут быть меньше -1.
Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 204 расположенного на странице 387 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №204 (с. 387), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.