Номер 204, страница 387 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Решение уравнений - номер 204, страница 387.

Условие.

204 a) $3 \cos 2x + 4 + 11 \sin x = 0$;

б) $1 - 8 \cos x = 6 \cos 2x$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а)

Дано тригонометрическое уравнение:

$3 \cos 2x + 4 + 11 \sin x = 0$

Для решения этого уравнения необходимо привести все тригонометрические функции к одному аргументу. Воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$. Выбираем именно эту формулу, чтобы всё уравнение зависело только от $\sin x$.

Подставим формулу в исходное уравнение:

$3(1 - 2 \sin^2 x) + 4 + 11 \sin x = 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$3 - 6 \sin^2 x + 4 + 11 \sin x = 0$

$-6 \sin^2 x + 11 \sin x + 7 = 0$

Умножим обе части уравнения на $-1$, чтобы коэффициент при старшей степени был положительным:

$6 \sin^2 x - 11 \sin x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \sin x$. Учитывая, что область значений синуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$6t^2 - 11t - 7 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-11)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 121 + 168 = 289$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 17}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$

$t_2 = \frac{11 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 17}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$

Теперь вернемся к замене $t = \sin x$.

1. $t_1 = \frac{7}{3}$. Уравнение $\sin x = \frac{7}{3}$ не имеет решений, так как $\frac{7}{3} > 1$, а значения синуса не могут превышать 1.

2. $t_2 = -\frac{1}{2}$. Уравнение $\sin x = -\frac{1}{2}$ имеет решения.

Общая формула для решения этого уравнения: $x = (-1)^k \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arcsin(-\frac{1}{2}) = -\frac{\pi}{6}$, то:

$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{6}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

б)

Дано тригонометрическое уравнение:

$1 - 8 \cos x = 6 \cos 2x$

Приведем все функции к одному аргументу $x$. Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$, так как в уравнении уже есть $\cos x$.

Подставим формулу в уравнение:

$1 - 8 \cos x = 6(2 \cos^2 x - 1)$

Раскроем скобки:

$1 - 8 \cos x = 12 \cos^2 x - 6$

Перенесем все члены в правую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$0 = 12 \cos^2 x + 8 \cos x - 6 - 1$

$12 \cos^2 x + 8 \cos x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений косинуса $[-1, 1]$, должно выполняться условие $|t| \le 1$.

Получаем квадратное уравнение относительно $t$:

$12t^2 + 8t - 7 = 0$

Найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = 8^2 - 4 \cdot 12 \cdot (-7) = 64 + 336 = 400$

Найдем корни уравнения:

$t = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 + 20}{24} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}$

$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{400}}{2 \cdot 12} = \frac{-8 - 20}{24} = \frac{-28}{24} = -\frac{7}{6}$

Теперь вернемся к замене $t = \cos x$.

1. $t_1 = \frac{1}{2}$. Уравнение $\cos x = \frac{1}{2}$ имеет решения. Это частный случай.

Общая формула для решения: $x = \pm \arccos(\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Так как $\arccos(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{3}$, то:

$x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2. $t_2 = -\frac{7}{6}$. Уравнение $\cos x = -\frac{7}{6}$ не имеет решений, так как $-\frac{7}{6} < -1$, а значения косинуса не могут быть меньше -1.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.