Номер 201, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Авторы: Никольский С. М., Потапов М. К., Решетников Н. Н., Шевкин А. В.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение
Год издания: 2014 - 2025
Уровень обучения: базовый и углублённый
Цвет обложки: голубой в сеточку
ISBN: 978-5-09-087768-8
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия
Популярные ГДЗ в 10 классе
Тригонометрия. Решение уравнений. Задания для повторения - номер 201, страница 386.
№201 (с. 386)
Условие. №201 (с. 386)
скриншот условия

201 a) $5 - 3 \cos 2x = 8 \sin x;$
B) $\cos 2x + 6 \sin x - 5 = 0;$
б) $\cos 2x + \sin x = 1;$
г) $\cos 2x - 5 \sin x + 6 = 0.$
Решение 1. №201 (с. 386)




Решение 2. №201 (с. 386)

Решение 3. №201 (с. 386)

Решение 5. №201 (с. 386)
а) $5 - 3 \cos 2x = 8 \sin x$
Чтобы решить это уравнение, приведем все тригонометрические функции к одному аргументу и одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.
Подставим это выражение в исходное уравнение:
$5 - 3(1 - 2 \sin^2 x) = 8 \sin x$
Раскроем скобки и упростим:
$5 - 3 + 6 \sin^2 x = 8 \sin x$
$6 \sin^2 x - 8 \sin x + 2 = 0$
Разделим обе части уравнения на 2:
$3 \sin^2 x - 4 \sin x + 1 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$, при этом помним, что $|t| \le 1$.
$3t^2 - 4t + 1 = 0$
Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1$
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$
Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Теперь вернемся к замене:
1. $\sin x = 1$. Это частный случай, решение которого: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin x = \frac{1}{3}$. Общее решение для этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
б) $\cos 2x + \sin x = 1$
Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.
$(1 - 2 \sin^2 x) + \sin x = 1$
Перенесем все члены в левую часть и упростим:
$1 - 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$
$-2 \sin^2 x + \sin x = 0$
Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:
$\sin x (1 - 2 \sin x) = 0$
Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1. $\sin x = 0$. Решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $1 - 2 \sin x = 0$. Отсюда $2 \sin x = 1$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.
в) $\cos 2x + 6 \sin x - 5 = 0$
Снова используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.
$(1 - 2 \sin^2 x) + 6 \sin x - 5 = 0$
Упростим уравнение:
$-2 \sin^2 x + 6 \sin x - 4 = 0$
Разделим обе части на -2:
$\sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$t^2 - 3t + 2 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.
Проверим корни с учетом ограничения $|t| \le 1$:
1. $t_1 = 1$. Этот корень подходит.
2. $t_2 = 2$. Этот корень не подходит, так как $2 > 1$, а синус не может быть больше 1.
Таким образом, у нас остается только одно уравнение:
$\sin x = 1$
Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
г) $\cos 2x - 5 \sin x + 6 = 0$
Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.
$(1 - 2 \sin^2 x) - 5 \sin x + 6 = 0$
Приведем подобные слагаемые:
$-2 \sin^2 x - 5 \sin x + 7 = 0$
Умножим уравнение на -1 для удобства:
$2 \sin^2 x + 5 \sin x - 7 = 0$
Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.
$2t^2 + 5t - 7 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $2 + 5 - 7 = 0$, следовательно, один из корней равен $t_1 = 1$. Второй корень можно найти по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a}$, то есть $1 \cdot t_2 = -\frac{7}{2}$, откуда $t_2 = -3.5$.
Проверим корни:
1. $t_1 = 1$. Корень подходит, так как $|1| \le 1$.
2. $t_2 = -3.5$. Корень не подходит, так как $-3.5 < -1$.
Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:
$\sin x = 1$
Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Мы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 10 класс, для упражнения номер 201 расположенного на странице 386 к учебнику 2014 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №201 (с. 386), авторов: Никольский (Сергей Михайлович), Потапов (Михаил Константинович), Решетников (Николай Николаевич), Шевкин (Александр Владимирович), ФГОС (старый) базовый и углублённый уровень обучения учебного пособия издательства Просвещение.