Номер 201, страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Тригонометрия. Решение уравнений - номер 201, страница 386.

Условие.

201 a) $5 - 3 \cos 2x = 8 \sin x;$

B) $\cos 2x + 6 \sin x - 5 = 0;$

б) $\cos 2x + \sin x = 1;$

г) $\cos 2x - 5 \sin x + 6 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

а) $5 - 3 \cos 2x = 8 \sin x$

Чтобы решить это уравнение, приведем все тригонометрические функции к одному аргументу и одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5 - 3(1 - 2 \sin^2 x) = 8 \sin x$

Раскроем скобки и упростим:

$5 - 3 + 6 \sin^2 x = 8 \sin x$

$6 \sin^2 x - 8 \sin x + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$3 \sin^2 x - 4 \sin x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$, при этом помним, что $|t| \le 1$.

$3t^2 - 4t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Теперь вернемся к замене:

1. $\sin x = 1$. Это частный случай, решение которого: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = \frac{1}{3}$. Общее решение для этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 2x + \sin x = 1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.

$(1 - 2 \sin^2 x) + \sin x = 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$1 - 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$-2 \sin^2 x + \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (1 - 2 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\sin x = 0$. Решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $1 - 2 \sin x = 0$. Отсюда $2 \sin x = 1$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 2x + 6 \sin x - 5 = 0$

Снова используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.

$(1 - 2 \sin^2 x) + 6 \sin x - 5 = 0$

Упростим уравнение:

$-2 \sin^2 x + 6 \sin x - 4 = 0$

Разделим обе части на -2:

$\sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни с учетом ограничения $|t| \le 1$:

1. $t_1 = 1$. Этот корень подходит.

2. $t_2 = 2$. Этот корень не подходит, так как $2 > 1$, а синус не может быть больше 1.

Таким образом, у нас остается только одно уравнение:

$\sin x = 1$

Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos 2x - 5 \sin x + 6 = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.

$(1 - 2 \sin^2 x) - 5 \sin x + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-2 \sin^2 x - 5 \sin x + 7 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$2 \sin^2 x + 5 \sin x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 5t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $2 + 5 - 7 = 0$, следовательно, один из корней равен $t_1 = 1$. Второй корень можно найти по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a}$, то есть $1 \cdot t_2 = -\frac{7}{2}$, откуда $t_2 = -3.5$.

Проверим корни:

1. $t_1 = 1$. Корень подходит, так как $|1| \le 1$.

2. $t_2 = -3.5$. Корень не подходит, так как $-3.5 < -1$.

Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:

$\sin x = 1$

Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.