Страница 386 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

195 Докажите справедливость равенства:

а) $\frac{\sin \alpha + \sin 3\alpha}{\cos \alpha + \cos 3\alpha} = \text{tg } 2\alpha;$

б) $\frac{\sin 2x - \sin x}{2 \cos x - 1} = \sin x;$

В) $\frac{\sin 3x - \sin x}{2 \sin (1.5\pi + 2x)} = -\sin x;$

Г) $\frac{\text{tg}^2 x \cos^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} = -1.$

а) Чтобы доказать равенство, преобразуем его левую часть. Воспользуемся формулами суммы синусов и суммы косинусов:
$ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $
$ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} $
Применим эти формулы к нашему выражению, поменяв местами слагаемые для удобства:
$ \frac{\sin 3\alpha + \sin \alpha}{\cos 3\alpha + \cos \alpha} = \frac{2 \sin\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}}{2 \cos\frac{3\alpha+\alpha}{2}\cos\frac{3\alpha-\alpha}{2}} = \frac{2 \sin 2\alpha \cos \alpha}{2 \cos 2\alpha \cos \alpha} $
Сокращаем дробь на общий множитель $ 2 \cos \alpha $ (при условии, что $ \cos \alpha \neq 0 $ и $ \cos 2\alpha \neq 0 $):
$ \frac{\sin 2\alpha}{\cos 2\alpha} = \text{tg } 2\alpha $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

б) Преобразуем левую часть равенства. В числителе применим формулу синуса двойного угла $ \sin 2x = 2 \sin x \cos x $:
$ \frac{\sin 2x - \sin x}{2 \cos x - 1} = \frac{2 \sin x \cos x - \sin x}{2 \cos x - 1} $
Вынесем в числителе общий множитель $ \sin x $ за скобки:
$ \frac{\sin x (2 \cos x - 1)}{2 \cos x - 1} $
Сокращаем дробь на $ (2 \cos x - 1) $ (при условии, что $ 2 \cos x - 1 \neq 0 $):
$ \sin x $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

в) Преобразуем левую часть равенства. Для числителя используем формулу разности синусов $ \sin A - \sin B = 2 \cos\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} $. Для знаменателя — формулу приведения $ \sin(1.5\pi + \alpha) = \sin(\frac{3\pi}{2} + \alpha) = -\cos\alpha $.
Преобразуем числитель:
$ \sin 3x - \sin x = 2 \cos\frac{3x+x}{2}\sin\frac{3x-x}{2} = 2 \cos 2x \sin x $
Преобразуем знаменатель:
$ 2 \sin(1.5\pi + 2x) = 2(-\cos 2x) = -2 \cos 2x $
Подставим преобразованные выражения в исходную дробь:
$ \frac{2 \cos 2x \sin x}{-2 \cos 2x} $
Сокращаем дробь на $ 2 \cos 2x $ (при условии, что $ \cos 2x \neq 0 $):
$ \frac{\sin x}{-1} = -\sin x $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

г) Преобразуем левую часть равенства. В числителе заменим $ \text{tg}^2 x $ на $ \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} $ (при условии, что $ \cos x \neq 0 $):
$ \frac{\text{tg}^2 x \cos^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} = \frac{\frac{\sin^2 x}{\cos^2 x} \cdot \cos^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} = \frac{\sin^2 x - \cos^2 x}{\cos 2x} $
Вынесем в числителе минус за скобки:
$ \frac{-(\cos^2 x - \sin^2 x)}{\cos 2x} $
Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x $:
$ \frac{-(\cos 2x)}{\cos 2x} $
Сокращаем дробь на $ \cos 2x $ (при условии, что $ \cos 2x \neq 0 $):
$ -1 $
Левая часть равна правой, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.

196 Упростите выражение:

a) $sin\left(\frac{5}{3}\pi + x\right) - sin\left(\frac{4}{3}\pi + x\right);$

б) $cos\left(\frac{4}{3}\pi + x\right) + cos\left(\frac{2}{3}\pi + x\right);$

в) $\frac{cos\left(\alpha + \frac{\pi}{4}\right) - cos\left(\alpha - \frac{\pi}{4}\right)}{\sqrt{2} sin(\alpha + \pi)};$

г) $\frac{\sqrt{3} sin\left(\alpha + \frac{\pi}{2}\right)}{sin\left(\frac{\pi}{3} + \alpha\right) + sin\left(\frac{\pi}{3} - \alpha\right)};$

д) $\frac{sin(0,5\pi + x) + cos(\pi - 3x)}{1 - cos(-2x)};$

е) $\frac{cos(1,5\pi + 6x) - sin(-2x)}{1 + cos(-4x)}.$

а) $ \sin(\frac{5\pi}{3} + x) - \sin(\frac{4\pi}{3} + x) $

Для упрощения этого выражения воспользуемся формулой разности синусов: $ \sin A - \sin B = 2 \sin\frac{A-B}{2} \cos\frac{A+B}{2} $.
Пусть $ A = \frac{5\pi}{3} + x $ и $ B = \frac{4\pi}{3} + x $.
Тогда:
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{5\pi}{3} + x) - (\frac{4\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{6} $
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{5\pi}{3} + x) + (\frac{4\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{9\pi}{3} + 2x}{2} = \frac{3\pi + 2x}{2} = \frac{3\pi}{2} + x $
Подставляем найденные значения в формулу:
$ 2 \sin(\frac{\pi}{6}) \cos(\frac{3\pi}{2} + x) $
Мы знаем, что $ \sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2} $ и по формуле приведения $ \cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x $.
Получаем:
$ 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sin x = \sin x $
Ответ: $ \sin x $

б) $ \cos(\frac{4\pi}{3} + x) + \cos(\frac{2\pi}{3} + x) $

Воспользуемся формулой суммы косинусов: $ \cos A + \cos B = 2 \cos\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $.
Пусть $ A = \frac{4\pi}{3} + x $ и $ B = \frac{2\pi}{3} + x $.
Тогда:
$ \frac{A+B}{2} = \frac{(\frac{4\pi}{3} + x) + (\frac{2\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{6\pi}{3} + 2x}{2} = \frac{2\pi + 2x}{2} = \pi + x $
$ \frac{A-B}{2} = \frac{(\frac{4\pi}{3} + x) - (\frac{2\pi}{3} + x)}{2} = \frac{\frac{2\pi}{3}}{2} = \frac{\pi}{3} $
Подставляем в формулу:
$ 2 \cos(\pi + x) \cos(\frac{\pi}{3}) $
Мы знаем, что $ \cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} $ и по формуле приведения $ \cos(\pi + x) = -\cos x $.
Получаем:
$ 2 \cdot (-\cos x) \cdot \frac{1}{2} = -\cos x $
Ответ: $ -\cos x $

в) $ \frac{\cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{4})}{\sqrt{2} \sin(\alpha + \pi)} $

Упростим числитель, используя формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $:
$ \cos(\alpha + \frac{\pi}{4}) - \cos(\alpha - \frac{\pi}{4}) = -2 \sin\frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) + (\alpha - \frac{\pi}{4})}{2} \sin\frac{(\alpha + \frac{\pi}{4}) - (\alpha - \frac{\pi}{4})}{2} = -2 \sin(\frac{2\alpha}{2}) \sin(\frac{\pi/2}{2}) = -2 \sin\alpha \sin(\frac{\pi}{4}) = -2 \sin\alpha \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = -\sqrt{2} \sin\alpha $
Упростим знаменатель, используя формулу приведения $ \sin(\alpha + \pi) = -\sin\alpha $:
$ \sqrt{2} \sin(\alpha + \pi) = \sqrt{2} (-\sin\alpha) = -\sqrt{2} \sin\alpha $
Теперь разделим упрощенный числитель на упрощенный знаменатель:
$ \frac{-\sqrt{2} \sin\alpha}{-\sqrt{2} \sin\alpha} = 1 $
Ответ: $ 1 $

г) $ \frac{\sqrt{3} \sin(\alpha + \frac{\pi}{2})}{\sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha)} $

Упростим числитель, используя формулу приведения $ \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \cos\alpha $:
$ \sqrt{3} \sin(\alpha + \frac{\pi}{2}) = \sqrt{3} \cos\alpha $
Упростим знаменатель, используя формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:
$ \sin(\frac{\pi}{3} + \alpha) + \sin(\frac{\pi}{3} - \alpha) = 2 \sin\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) + (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} \cos\frac{(\frac{\pi}{3} + \alpha) - (\frac{\pi}{3} - \alpha)}{2} = 2 \sin(\frac{2\pi/3}{2}) \cos(\frac{2\alpha}{2}) = 2 \sin(\frac{\pi}{3}) \cos\alpha = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \cos\alpha = \sqrt{3} \cos\alpha $
Теперь разделим числитель на знаменатель:
$ \frac{\sqrt{3} \cos\alpha}{\sqrt{3} \cos\alpha} = 1 $
Ответ: $ 1 $

д) $ \frac{\sin(0,5\pi + x) + \cos(\pi - 3x)}{1 - \cos(-2x)} $

Преобразуем числитель, используя формулы приведения $ \sin(0,5\pi + x) = \sin(\frac{\pi}{2} + x) = \cos x $ и $ \cos(\pi - 3x) = -\cos(3x) $:
$ \cos x - \cos(3x) $
Применим формулу разности косинусов $ \cos A - \cos B = -2 \sin\frac{A+B}{2} \sin\frac{A-B}{2} $:
$ -2 \sin(\frac{x+3x}{2}) \sin(\frac{x-3x}{2}) = -2 \sin(2x) \sin(-x) = 2 \sin(2x) \sin x $
Преобразуем знаменатель. Так как косинус - четная функция, $ \cos(-2x) = \cos(2x) $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2x) = 1 - 2\sin^2 x $:
$ 1 - \cos(2x) = 1 - (1 - 2\sin^2 x) = 2\sin^2 x $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{2 \sin(2x) \sin x}{2\sin^2 x} = \frac{\sin(2x)}{\sin x} $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(2x) = 2 \sin x \cos x $:
$ \frac{2 \sin x \cos x}{\sin x} = 2 \cos x $
Ответ: $ 2 \cos x $

е) $ \frac{\cos(1,5\pi + 6x) - \sin(-2x)}{1 + \cos(-4x)} $

Преобразуем числитель. Используем формулу приведения $ \cos(1,5\pi + 6x) = \cos(\frac{3\pi}{2} + 6x) = \sin(6x) $ и свойство нечетности синуса $ \sin(-2x) = -\sin(2x) $:
$ \sin(6x) - (-\sin(2x)) = \sin(6x) + \sin(2x) $
Применим формулу суммы синусов $ \sin A + \sin B = 2 \sin\frac{A+B}{2} \cos\frac{A-B}{2} $:
$ 2 \sin(\frac{6x+2x}{2}) \cos(\frac{6x-2x}{2}) = 2 \sin(4x) \cos(2x) $
Преобразуем знаменатель. Так как косинус - четная функция, $ \cos(-4x) = \cos(4x) $. Используем формулу косинуса двойного угла $ \cos(2\alpha) = 2\cos^2 \alpha - 1 $, где $ \alpha=2x $:
$ 1 + \cos(4x) = 1 + (2\cos^2(2x) - 1) = 2\cos^2(2x) $
Подставим преобразованные числитель и знаменатель в дробь:
$ \frac{2 \sin(4x) \cos(2x)}{2\cos^2(2x)} = \frac{\sin(4x)}{\cos(2x)} $
Используем формулу синуса двойного угла $ \sin(4x) = 2 \sin(2x) \cos(2x) $:
$ \frac{2 \sin(2x) \cos(2x)}{\cos(2x)} = 2 \sin(2x) $
Ответ: $ 2 \sin(2x) $

197 Упростите выражение:

а) $\frac{\cos 2x (1 - \cos 2x)}{\sin 3x - \sin x}$;

б) $\frac{\sin 2x (1 + \cos 2x)}{\sin 3x + \sin x}$.

Укажите множество всех значений $x$, при которых данное выражение не имеет смысла.

а)

Рассмотрим выражение $\frac{\cos 2x (1 - \cos 2x)}{\sin 3x - \sin x}$.

Для упрощения числителя используем формулу понижения степени (или следствие из формулы косинуса двойного угла): $1 - \cos 2\alpha = 2\sin^2 \alpha$.
Числитель: $\cos 2x (1 - \cos 2x) = \cos 2x \cdot 2\sin^2 x$.

Для упрощения знаменателя используем формулу преобразования разности синусов в произведение: $\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Знаменатель: $\sin 3x - \sin x = 2 \cos\left(\frac{3x+x}{2}\right) \sin\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2 \cos 2x \sin x$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь и сократим:
$\frac{2 \cos 2x \sin^2 x}{2 \cos 2x \sin x} = \sin x$.

Далее найдем множество всех значений $x$, при которых данное выражение не имеет смысла. Выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю:
$\sin 3x - \sin x = 0$
$2 \cos 2x \sin x = 0$
Это равенство выполняется, если $\cos 2x = 0$ или $\sin x = 0$.
1. $\sin x = 0 \implies x = k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\cos 2x = 0 \implies 2x = \frac{\pi}{2} + n\pi \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x = k\pi$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$ для любых целых $k$ и $n$.

Ответ: Упрощенное выражение: $\sin x$. Выражение не имеет смысла при $x = k\pi$ и $x = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$, где $k, n \in \mathbb{Z}$.

б)

Рассмотрим выражение $\frac{\sin 2x (1 + \cos 2x)}{\sin 3x + \sin x}$.

Для упрощения числителя используем формулу двойного угла для синуса $\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha$ и формулу понижения степени $1 + \cos 2\alpha = 2\cos^2 \alpha$.
Числитель: $\sin 2x (1 + \cos 2x) = (2\sin x \cos x)(2\cos^2 x) = 4\sin x \cos^3 x$.

Для упрощения знаменателя используем формулу преобразования суммы синусов в произведение: $\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)$.
Знаменатель: $\sin 3x + \sin x = 2 \sin\left(\frac{3x+x}{2}\right) \cos\left(\frac{3x-x}{2}\right) = 2 \sin 2x \cos x$.

Теперь подставим упрощенные части обратно в дробь. Также заменим $\sin 2x$ в знаменателе по формуле двойного угла:
$\frac{4\sin x \cos^3 x}{2 \sin 2x \cos x} = \frac{4\sin x \cos^3 x}{2 (2\sin x \cos x) \cos x} = \frac{4\sin x \cos^3 x}{4\sin x \cos^2 x} = \cos x$.

Далее найдем множество всех значений $x$, при которых данное выражение не имеет смысла. Выражение не имеет смысла, когда его знаменатель равен нулю:
$\sin 3x + \sin x = 0$
$2 \sin 2x \cos x = 0$
Это равенство выполняется, если $\sin 2x = 0$ или $\cos x = 0$.
1. $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.
2. $\sin 2x = 0 \implies 2x = n\pi \implies x = \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Заметим, что множество решений $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$ является подмножеством множества $x = \frac{n\pi}{2}$ (при нечетных $n$). Следовательно, достаточно указать только второе множество решений.

Таким образом, выражение не имеет смысла при $x = \frac{n\pi}{2}$ для любого целого $n$.

Ответ: Упрощенное выражение: $\cos x$. Выражение не имеет смысла при $x = \frac{n\pi}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Тригонометрия. Решение уравнений

198 Образуют ли арифметическую прогрессию расположенные в порядке возрастания положительные корни уравнения:

а) $ \sin x = 0 $;

б) $ \cos x = 0 $;

в) $ \operatorname{tg} x = 1 $;

г) $ \operatorname{ctg} x = -1 $;

д) $ \cos x = 0,5 $;

е) $ \sin x = 0,5 $?

а) sin x = 0;

Общее решение уравнения $ \sin x = 0 $ имеет вид $ x = \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Мы ищем положительные корни, то есть $ x > 0 $, что означает $ \pi n > 0 $, или $ n > 0 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 1, 2, 3, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \pi \cdot 1 = \pi $
$ x_2 = \pi \cdot 2 = 2\pi $
$ x_3 = \pi \cdot 3 = 3\pi $
...
Полученная последовательность $ \pi, 2\pi, 3\pi, \ldots $ является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя последовательными членами постоянна: $ d = x_{n+1} - x_n = \pi(n+1) - \pi n = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

б) cos x = 0;

Общее решение уравнения $ \cos x = 0 $ имеет вид $ x = \frac{\pi}{2} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Для нахождения положительных корней решим неравенство $ \frac{\pi}{2} + \pi n > 0 $, что дает $ \pi n > -\frac{\pi}{2} $, или $ n > -0,5 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 0, 1, 2, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{2} $
$ x_2 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 1 = \frac{3\pi}{2} $
$ x_3 = \frac{\pi}{2} + \pi \cdot 2 = \frac{5\pi}{2} $
...
Разность между соседними членами последовательности постоянна: $ d = x_2 - x_1 = \frac{3\pi}{2} - \frac{\pi}{2} = \pi $.
$ d = x_3 - x_2 = \frac{5\pi}{2} - \frac{3\pi}{2} = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

в) tg x = 1;

Общее решение уравнения $ \tg x = 1 $ имеет вид $ x = \frac{\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Из условия $ x > 0 $ получаем $ \frac{\pi}{4} + \pi n > 0 $, то есть $ \pi n > -\frac{\pi}{4} $, или $ n > -0,25 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 0, 1, 2, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{\pi}{4} $
$ x_2 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{5\pi}{4} $
$ x_3 = \frac{\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{9\pi}{4} $
...
Разность между соседними членами последовательности постоянна: $ d = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{4} - \frac{\pi}{4} = \pi $.
$ d = x_3 - x_2 = \frac{9\pi}{4} - \frac{5\pi}{4} = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

г) ctg x = -1;

Общее решение уравнения $ \operatorname{ctg} x = -1 $ имеет вид $ x = \frac{3\pi}{4} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Из условия $ x > 0 $ получаем $ \frac{3\pi}{4} + \pi n > 0 $, то есть $ \pi n > -\frac{3\pi}{4} $, или $ n > -0,75 $. Следовательно, $ n $ принимает целые значения $ 0, 1, 2, \ldots $. Расположим положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 0 = \frac{3\pi}{4} $
$ x_2 = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 1 = \frac{7\pi}{4} $
$ x_3 = \frac{3\pi}{4} + \pi \cdot 2 = \frac{11\pi}{4} $
...
Разность между соседними членами последовательности постоянна: $ d = x_2 - x_1 = \frac{7\pi}{4} - \frac{3\pi}{4} = \pi $.
$ d = x_3 - x_2 = \frac{11\pi}{4} - \frac{7\pi}{4} = \pi $.
Ответ: да, образуют арифметическую прогрессию с разностью $ d = \pi $.

д) cos x = 0,5;

Общее решение уравнения $ \cos x = 0,5 $ записывается как $ x = \pm \arccos(0,5) + 2\pi n = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Это дает две серии корней:
1) $ x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n $. Положительные корни (при $ n \ge 0 $): $ \frac{\pi}{3}, \frac{7\pi}{3}, \frac{13\pi}{3}, \ldots $
2) $ x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n $. Положительные корни (при $ n \ge 1 $): $ \frac{5\pi}{3}, \frac{11\pi}{3}, \frac{17\pi}{3}, \ldots $
Объединим обе серии и расположим все положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{3} $, $ x_2 = \frac{5\pi}{3} $, $ x_3 = \frac{7\pi}{3} $, $ x_4 = \frac{11\pi}{3} $, ...
Найдем разности между соседними членами: $ d_1 = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{3} - \frac{\pi}{3} = \frac{4\pi}{3} $
$ d_2 = x_3 - x_2 = \frac{7\pi}{3} - \frac{5\pi}{3} = \frac{2\pi}{3} $
Так как $ d_1 \neq d_2 $, разность не является постоянной.
Ответ: нет, не образуют арифметическую прогрессию.

е) sin x = 0,5;

Общее решение уравнения $ \sin x = 0,5 $ записывается как $ x = (-1)^n \arcsin(0,5) + \pi n = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $. Это решение можно разбить на две серии:
1) Для четных $ n=2k $: $ x = \frac{\pi}{6} + 2\pi k $. Положительные корни (при $ k \ge 0 $): $ \frac{\pi}{6}, \frac{13\pi}{6}, \frac{25\pi}{6}, \ldots $
2) Для нечетных $ n=2k+1 $: $ x = -\frac{\pi}{6} + (2k+1)\pi = \frac{5\pi}{6} + 2\pi k $. Положительные корни (при $ k \ge 0 $): $ \frac{5\pi}{6}, \frac{17\pi}{6}, \frac{29\pi}{6}, \ldots $
Объединим обе серии и расположим все положительные корни в порядке возрастания: $ x_1 = \frac{\pi}{6} $, $ x_2 = \frac{5\pi}{6} $, $ x_3 = \frac{13\pi}{6} $, $ x_4 = \frac{17\pi}{6} $, ...
Найдем разности между соседними членами: $ d_1 = x_2 - x_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3} $
$ d_2 = x_3 - x_2 = \frac{13\pi}{6} - \frac{5\pi}{6} = \frac{8\pi}{6} = \frac{4\pi}{3} $
Так как $ d_1 \neq d_2 $, разность не является постоянной.
Ответ: нет, не образуют арифметическую прогрессию.

Решите уравнение (199-207):

199 а) $1 - 4 \sin^2 \left(5x - \frac{\pi}{3}\right) = 0;$

б) $3 - 4 \sin^2 \left(3x + \frac{\pi}{3}\right) = 0;$

в) $3 - 4 \cos^2 \left(2x - \frac{\pi}{3}\right) = 0;$

г) $1 - 2 \cos^2 \left(4x - \frac{\pi}{4}\right) = 0.$

а) Исходное уравнение: $1 - 4 \sin^2(5x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
Перенесем 1 в правую часть и умножим на -1: $4 \sin^2(5x - \frac{\pi}{3}) = 1$.
Разделим обе части на 4: $\sin^2(5x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{4}$.
Извлечем квадратный корень из обеих частей: $\sin(5x - \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{1}{2}$.
Это равносильно совокупности двух уравнений:
1) $\sin(5x - \frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$5x = \frac{\pi}{3} + (-1)^k \frac{\pi}{6} + \pi k$
$x = \frac{\pi}{15} + (-1)^k \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}$
2) $\sin(5x - \frac{\pi}{3}) = -\frac{1}{2}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^n \arcsin(-\frac{1}{2}) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$
$5x - \frac{\pi}{3} = (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
$5x = \frac{\pi}{3} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{6} + \pi n$
$x = \frac{\pi}{15} + (-1)^{n+1} \frac{\pi}{30} + \frac{\pi n}{5}$
Эти две серии решений можно объединить. Условие $\sin(\alpha) = \pm\frac{1}{2}$ означает, что $\alpha = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Тогда $5x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$.
Рассмотрим два случая:
1) $5x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies 5x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}$.
2) $5x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi k \implies 5x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{10} + \frac{\pi k}{5}, x = \frac{\pi}{30} + \frac{\pi k}{5}, k \in \mathbb{Z}$.

б) Исходное уравнение: $3 - 4 \sin^2(3x + \frac{\pi}{3}) = 0$.
Преобразуем уравнение: $4 \sin^2(3x + \frac{\pi}{3}) = 3$.
$\sin^2(3x + \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{4}$.
Извлечем квадратный корень: $\sin(3x + \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это условие выполняется, если аргумент синуса равен $\pm\frac{\pi}{3} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$3x + \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{3} + \pi k$.
Рассмотрим два случая:
1) $3x + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3} + \pi k \implies 3x = \pi k \implies x = \frac{\pi k}{3}$.
2) $3x + \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{3} + \pi k \implies 3x = -\frac{2\pi}{3} + \pi k \implies x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{3}, x = -\frac{2\pi}{9} + \frac{\pi k}{3}, k \in \mathbb{Z}$.

в) Исходное уравнение: $3 - 4 \cos^2(2x - \frac{\pi}{3}) = 0$.
Преобразуем уравнение: $4 \cos^2(2x - \frac{\pi}{3}) = 3$.
$\cos^2(2x - \frac{\pi}{3}) = \frac{3}{4}$.
Извлечем квадратный корень: $\cos(2x - \frac{\pi}{3}) = \pm\frac{\sqrt{3}}{2}$.
Это условие выполняется, если аргумент косинуса равен $\pm\frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$2x - \frac{\pi}{3} = \pm\frac{\pi}{6} + \pi k$.
Рассмотрим два случая:
1) $2x - \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies 2x = \frac{\pi}{3} + \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{2} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}$.
2) $2x - \frac{\pi}{3} = -\frac{\pi}{6} + \pi k \implies 2x = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} + \pi k = \frac{\pi}{6} + \pi k \implies x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}$.
Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi k}{2}, x = \frac{\pi}{12} + \frac{\pi k}{2}, k \in \mathbb{Z}$.

г) Исходное уравнение: $1 - 2 \cos^2(4x - \frac{\pi}{4}) = 0$.
Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos(2\alpha) = 2\cos^2(\alpha) - 1$.
Тогда $1 - 2\cos^2(\alpha) = -\cos(2\alpha)$.
Пусть $\alpha = 4x - \frac{\pi}{4}$. Уравнение принимает вид:
$-\cos\left(2\left(4x - \frac{\pi}{4}\right)\right) = 0$.
$\cos\left(8x - \frac{\pi}{2}\right) = 0$.
Используем формулу приведения $\cos(\beta - \frac{\pi}{2}) = \sin(\beta)$:
$\sin(8x) = 0$.
Это простейшее тригонометрическое уравнение, решение которого:
$8x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
$x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $x = \frac{\pi k}{8}, k \in \mathbb{Z}$.

200 a) $\cos^2 x - \cos 2x = \sin x;$

б) $\cos 2x + \sin^2 x = \cos x;$

В) $3 \cos 2x = 4 - 11 \cos x;$

Г) $2 \cos^2 x - 7 \cos x = 2 \sin^2 x.$

а) $cos^2 x - cos 2x = sin x$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$. Подставим ее в исходное уравнение:

$cos^2 x - (cos^2 x - sin^2 x) = sin x$

$cos^2 x - cos^2 x + sin^2 x = sin x$

$sin^2 x - sin x = 0$

Вынесем $sin x$ за скобки:

$sin x (sin x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $sin x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \pi n$, где $n \in Z$.

2) $sin x - 1 = 0$, то есть $sin x = 1$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \pi n, n \in Z$; $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in Z$.

б) $cos 2x + sin^2 x = cos x$

Используем формулу двойного угла для косинуса: $cos 2x = cos^2 x - sin^2 x$. Подставим ее в уравнение:

$(cos^2 x - sin^2 x) + sin^2 x = cos x$

$cos^2 x = cos x$

$cos^2 x - cos x = 0$

Вынесем $cos x$ за скобки:

$cos x (cos x - 1) = 0$

Это уравнение эквивалентно совокупности двух уравнений:

1) $cos x = 0$

Решением этого уравнения является $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in Z$.

2) $cos x - 1 = 0$, то есть $cos x = 1$

Решением этого уравнения является $x = 2\pi k$, где $k \in Z$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + \pi n, n \in Z$; $x = 2\pi k, k \in Z$.

в) $3 cos 2x = 4 - 11 cos x$

Используем формулу двойного угла для косинуса, чтобы привести уравнение к одной функции: $cos 2x = 2cos^2 x - 1$.

$3(2cos^2 x - 1) = 4 - 11 cos x$

$6cos^2 x - 3 = 4 - 11 cos x$

$6cos^2 x + 11 cos x - 7 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos x$, где $|t| \le 1$.

$6t^2 + 11t - 7 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-7) = 121 + 168 = 289 = 17^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{-11 - 17}{2 \cdot 6} = \frac{-28}{12} = -\frac{7}{3}$

$t_2 = \frac{-11 + 17}{2 \cdot 6} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Вернемся к замене. Первый корень $t_1 = -\frac{7}{3}$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$, так как $|-\frac{7}{3}| > 1$.

Рассмотрим второй корень:

$cos x = \frac{1}{2}$

Решением этого уравнения является $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi n, n \in Z$.

г) $2 cos^2 x - 7 cos x = 2 sin^2 x$

Используем основное тригонометрическое тождество $sin^2 x = 1 - cos^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции.

$2 cos^2 x - 7 cos x = 2(1 - cos^2 x)$

$2 cos^2 x - 7 cos x = 2 - 2 cos^2 x$

$4 cos^2 x - 7 cos x - 2 = 0$

Сделаем замену переменной. Пусть $t = cos x$, где $|t| \le 1$.

$4t^2 - 7t - 2 = 0$

Решим квадратное уравнение. Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 = 9^2$.

Корни уравнения:

$t_1 = \frac{7 - 9}{2 \cdot 4} = \frac{-2}{8} = -\frac{1}{4}$

$t_2 = \frac{7 + 9}{2 \cdot 4} = \frac{16}{8} = 2$

Вернемся к замене. Второй корень $t_2 = 2$ не удовлетворяет условию $|t| \le 1$.

Рассмотрим первый корень:

$cos x = -\frac{1}{4}$

Решением этого уравнения является $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n$, где $n \in Z$.

Ответ: $x = \pm arccos(-\frac{1}{4}) + 2\pi n, n \in Z$.

201 a) $5 - 3 \cos 2x = 8 \sin x;$

B) $\cos 2x + 6 \sin x - 5 = 0;$

б) $\cos 2x + \sin x = 1;$

г) $\cos 2x - 5 \sin x + 6 = 0.$

а) $5 - 3 \cos 2x = 8 \sin x$

Чтобы решить это уравнение, приведем все тригонометрические функции к одному аргументу и одной функции. Используем формулу косинуса двойного угла: $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$5 - 3(1 - 2 \sin^2 x) = 8 \sin x$

Раскроем скобки и упростим:

$5 - 3 + 6 \sin^2 x = 8 \sin x$

$6 \sin^2 x - 8 \sin x + 2 = 0$

Разделим обе части уравнения на 2:

$3 \sin^2 x - 4 \sin x + 1 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $\sin x$. Сделаем замену $t = \sin x$, при этом помним, что $|t| \le 1$.

$3t^2 - 4t + 1 = 0$

Найдем корни квадратного уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1 = 16 - 12 = 4$

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 + 2}{6} = 1$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - \sqrt{4}}{2 \cdot 3} = \frac{4 - 2}{6} = \frac{1}{3}$

Оба корня удовлетворяют условию $|t| \le 1$. Теперь вернемся к замене:

1. $\sin x = 1$. Это частный случай, решение которого: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $\sin x = \frac{1}{3}$. Общее решение для этого уравнения: $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{1}{3}\right) + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 2x + \sin x = 1$

Используем формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$, чтобы привести уравнение к одной функции $\sin x$.

$(1 - 2 \sin^2 x) + \sin x = 1$

Перенесем все члены в левую часть и упростим:

$1 - 2 \sin^2 x + \sin x - 1 = 0$

$-2 \sin^2 x + \sin x = 0$

Вынесем общий множитель $\sin x$ за скобки:

$\sin x (1 - 2 \sin x) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем два случая:

1. $\sin x = 0$. Решение: $x = \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

2. $1 - 2 \sin x = 0$. Отсюда $2 \sin x = 1$, то есть $\sin x = \frac{1}{2}$. Решение: $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pi k, k \in \mathbb{Z}$; $x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$.

в) $\cos 2x + 6 \sin x - 5 = 0$

Снова используем формулу $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.

$(1 - 2 \sin^2 x) + 6 \sin x - 5 = 0$

Упростим уравнение:

$-2 \sin^2 x + 6 \sin x - 4 = 0$

Разделим обе части на -2:

$\sin^2 x - 3 \sin x + 2 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$t^2 - 3t + 2 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 3, а произведение равно 2. Корни: $t_1 = 1$ и $t_2 = 2$.

Проверим корни с учетом ограничения $|t| \le 1$:

1. $t_1 = 1$. Этот корень подходит.

2. $t_2 = 2$. Этот корень не подходит, так как $2 > 1$, а синус не может быть больше 1.

Таким образом, у нас остается только одно уравнение:

$\sin x = 1$

Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

г) $\cos 2x - 5 \sin x + 6 = 0$

Применим формулу косинуса двойного угла $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$.

$(1 - 2 \sin^2 x) - 5 \sin x + 6 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-2 \sin^2 x - 5 \sin x + 7 = 0$

Умножим уравнение на -1 для удобства:

$2 \sin^2 x + 5 \sin x - 7 = 0$

Сделаем замену $t = \sin x$, где $|t| \le 1$.

$2t^2 + 5t - 7 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Заметим, что сумма коэффициентов $2 + 5 - 7 = 0$, следовательно, один из корней равен $t_1 = 1$. Второй корень можно найти по теореме Виета: $t_1 \cdot t_2 = \frac{c}{a}$, то есть $1 \cdot t_2 = -\frac{7}{2}$, откуда $t_2 = -3.5$.

Проверим корни:

1. $t_1 = 1$. Корень подходит, так как $|1| \le 1$.

2. $t_2 = -3.5$. Корень не подходит, так как $-3.5 < -1$.

Возвращаемся к замене с единственным подходящим корнем:

$\sin x = 1$

Решение: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{2} + 2\pi k, k \in \mathbb{Z}$.

202 a) $ \cos 2x = \sin x $;

б) $ 3 \cos^2 x + 4 \sin x = 0 $;

в) $ 8 \cos 2x + 16 \cos x + 7 = 0 $.

а) $ \cos 2x = \sin x $

Для решения данного уравнения воспользуемся формулой косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 1 - 2\sin^2 x $. Это позволит привести уравнение к одной тригонометрической функции (синусу).

Подставим формулу в исходное уравнение:

$ 1 - 2\sin^2 x = \sin x $

Перенесем все члены в одну часть, чтобы получить квадратное уравнение относительно $ \sin x $:

$ 2\sin^2 x + \sin x - 1 = 0 $

Сделаем замену переменной. Пусть $ t = \sin x $. Так как область значений синуса $ [-1, 1] $, то $ -1 \le t \le 1 $.

$ 2t^2 + t - 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9 $

$ t_1 = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = -1 $

$ t_2 = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

Оба корня, $ -1 $ и $ \frac{1}{2} $, принадлежат отрезку $ [-1, 1] $, поэтому оба являются возможными значениями для $ \sin x $.

Вернемся к исходной переменной:

1) $ \sin x = -1 $

Это частный случай, решение которого: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

2) $ \sin x = \frac{1}{2} $

Общее решение этого уравнения: $ x = (-1)^n \arcsin(\frac{1}{2}) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Так как $ \arcsin(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6} $, получаем: $ x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя оба решения, получаем окончательный ответ.

Ответ: $ x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi k, \quad x = (-1)^n \frac{\pi}{6} + \pi n $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

б) $ 3 \cos^2 x + 4 \sin x = 0 $

В этом уравнении присутствуют и синус, и косинус. Чтобы свести его к одной функции, используем основное тригонометрическое тождество: $ \cos^2 x = 1 - \sin^2 x $.

Подставим это выражение в уравнение:

$ 3(1 - \sin^2 x) + 4 \sin x = 0 $

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:

$ 3 - 3\sin^2 x + 4 \sin x = 0 $

Умножим уравнение на -1 и расставим члены по порядку, чтобы получить стандартный вид квадратного уравнения:

$ 3\sin^2 x - 4 \sin x - 3 = 0 $

Сделаем замену переменной $ t = \sin x $, где $ -1 \le t \le 1 $:

$ 3t^2 - 4t - 3 = 0 $

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант:

$ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 16 + 36 = 52 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{52} = \sqrt{4 \cdot 13} = 2\sqrt{13} $

Корни уравнения для $ t $:

$ t_1 = \frac{4 + 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 + \sqrt{13}}{3} $

$ t_2 = \frac{4 - 2\sqrt{13}}{6} = \frac{2 - \sqrt{13}}{3} $

Теперь проверим, принадлежат ли эти корни отрезку $ [-1, 1] $.

Оценим $ t_1 = \frac{2 + \sqrt{13}}{3} $. Поскольку $ \sqrt{9} < \sqrt{13} < \sqrt{16} $, то $ 3 < \sqrt{13} < 4 $. Тогда $ 2+3 < 2+\sqrt{13} < 2+4 $, то есть $ 5 < 2+\sqrt{13} < 6 $. Следовательно, $ \frac{5}{3} < t_1 < \frac{6}{3} $, то есть $ t_1 > 1 $. Этот корень не подходит.

Оценим $ t_2 = \frac{2 - \sqrt{13}}{3} $. Используя ту же оценку $ 3 < \sqrt{13} < 4 $, получаем $ -4 < -\sqrt{13} < -3 $, и $ 2-4 < 2-\sqrt{13} < 2-3 $, то есть $ -2 < 2-\sqrt{13} < -1 $. Следовательно, $ -\frac{2}{3} < t_2 < -\frac{1}{3} $. Этот корень принадлежит отрезку $ [-1, 1] $.

Итак, у нас есть одно возможное значение для синуса: $ \sin x = \frac{2 - \sqrt{13}}{3} $.

Решение этого уравнения имеет вид:

$ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}\right) + \pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = (-1)^n \arcsin\left(\frac{2 - \sqrt{13}}{3}\right) + \pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

в) $ 8 \cos 2x + 16 \cos x + 7 = 0 $

Данное уравнение содержит $ \cos 2x $ и $ \cos x $. Приведем его к одной функции $ \cos x $, используя формулу косинуса двойного угла: $ \cos 2x = 2\cos^2 x - 1 $.

Подставим формулу в уравнение:

$ 8(2\cos^2 x - 1) + 16 \cos x + 7 = 0 $

Раскроем скобки и упростим:

$ 16\cos^2 x - 8 + 16 \cos x + 7 = 0 $

$ 16\cos^2 x + 16 \cos x - 1 = 0 $

Сделаем замену переменной $ t = \cos x $, где $ -1 \le t \le 1 $.

$ 16t^2 + 16t - 1 = 0 $

Решим это квадратное уравнение. Вычислим дискриминант:

$ D = 16^2 - 4 \cdot 16 \cdot (-1) = 256 + 64 = 320 $

$ \sqrt{D} = \sqrt{320} = \sqrt{64 \cdot 5} = 8\sqrt{5} $

Найдем корни для $ t $:

$ t = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{2 \cdot 16} = \frac{-16 \pm 8\sqrt{5}}{32} = \frac{8(-2 \pm \sqrt{5})}{32} = \frac{-2 \pm \sqrt{5}}{4} $

Итак, $ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} $ и $ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} $.

Проверим, входят ли эти корни в область значений косинуса $ [-1, 1] $.

Оценим $ t_1 = \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} $. Знаем, что $ 2 < \sqrt{5} < 3 $ (т.к. $ 4 < 5 < 9 $). Тогда $ 0 < -2 + \sqrt{5} < 1 $. Делим на 4: $ 0 < \frac{-2 + \sqrt{5}}{4} < \frac{1}{4} $. Этот корень находится в интервале $ (0, 1) $, значит, он подходит.

Оценим $ t_2 = \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} $. Так как $ 2 < \sqrt{5} < 3 $, то $ -3 < -\sqrt{5} < -2 $. Тогда $ -2 - 3 < -2 - \sqrt{5} < -2 - 2 $, то есть $ -5 < -2 - \sqrt{5} < -4 $. Делим на 4: $ -\frac{5}{4} < \frac{-2 - \sqrt{5}}{4} < -1 $. Так как $ -\frac{5}{4} = -1.25 $, этот корень меньше -1 и не подходит.

Остается решить уравнение $ \cos x = \frac{\sqrt{5} - 2}{4} $.

Общее решение для косинуса имеет вид $ x = \pm \arccos(a) + 2\pi n $.

$ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 2}{4}\right) + 2\pi n $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

Ответ: $ x = \pm \arccos\left(\frac{\sqrt{5} - 2}{4}\right) + 2\pi n, \quad n \in \mathbb{Z} $.

203 a) $ \cos 3x + \sin x \sin 2x = 0; $

б) $ \cos 5x + \sin x \sin 4x = 0. $

a) $\cos 3x + \sin x \sin 2x = 0$

Для решения данного уравнения воспользуемся тригонометрической формулой косинуса суммы двух углов: $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Представим аргумент $3x$ в виде суммы $2x + x$. Тогда $\cos 3x$ можно записать как:

$\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$

Теперь подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x) + \sin x \sin 2x = 0$

Упростим полученное выражение. Члены $-\sin 2x \sin x$ и $+\sin x \sin 2x$ взаимно уничтожаются:

$\cos 2x \cos x = 0$

Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю. Это приводит нас к совокупности двух уравнений:

1) $\cos 2x = 0$

Это частный случай решения тригонометрического уравнения. Его корни находятся по формуле:

$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = 0$

Корни этого уравнения находятся по формуле:

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$

Объединив решения обоих случаев, мы получаем полный набор корней исходного уравнения.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}, \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.

б) $\cos 5x + \sin x \sin 4x = 0$

Это уравнение решается аналогично предыдущему. Снова используем формулу косинуса суммы $\cos(\alpha + \beta) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$.

Представим аргумент $5x$ как сумму $4x + x$. Тогда $\cos 5x$ можно записать как:

$\cos 5x = \cos(4x + x) = \cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x$

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$(\cos 4x \cos x - \sin 4x \sin x) + \sin x \sin 4x = 0$

Упростим выражение. Члены $-\sin 4x \sin x$ и $+\sin x \sin 4x$ взаимно уничтожаются:

$\cos 4x \cos x = 0$

Это уравнение распадается на два более простых:

1) $\cos 4x = 0$

Находим корни:

$4x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$

Делим на 4:

$x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}$, где $k \in \mathbb{Z}$

2) $\cos x = 0$

Находим корни:

$x = \frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$

Решением исходного уравнения является объединение этих двух серий корней.

Ответ: $x = \frac{\pi}{8} + \frac{k\pi}{4}, \quad x = \frac{\pi}{2} + n\pi, \quad k, n \in \mathbb{Z}$.