Страница 389 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

224 В течение года завод дважды увеличивал выпуск продукции на одно и то же число процентов. Найдите это число, если в начале года завод выпускал ежемесячно 600 изделий, а в конце года стал выпускать ежемесячно 726 изделий.

Пусть $p$ — искомое число процентов. При увеличении некоторой величины на $p$ процентов, она умножается на коэффициент $k = 1 + \frac{p}{100}$.

Первоначальный объем выпуска продукции составлял 600 изделий в месяц. В течение года выпуск продукции увеличивался дважды на одно и то же число процентов.

После первого увеличения объем выпуска составил: $A_1 = 600 \cdot (1 + \frac{p}{100})$ изделий.

После второго увеличения объем выпуска, который рассчитывается от нового значения $A_1$, составил: $A_2 = A_1 \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 600 \cdot (1 + \frac{p}{100}) \cdot (1 + \frac{p}{100}) = 600 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2$ изделий.

Согласно условию, в конце года завод стал выпускать 726 изделий в месяц. Мы можем составить уравнение: $600 \cdot (1 + \frac{p}{100})^2 = 726$

Для решения уравнения, сначала выразим $(1 + \frac{p}{100})^2$: $(1 + \frac{p}{100})^2 = \frac{726}{600}$

Сократим дробь в правой части уравнения. Оба числа делятся на 6: $\frac{726}{600} = \frac{121 \cdot 6}{100 \cdot 6} = \frac{121}{100}$

Уравнение принимает вид: $(1 + \frac{p}{100})^2 = \frac{121}{100}$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как $p$ представляет собой процент увеличения, то множитель $(1 + \frac{p}{100})$ должен быть положительным. Поэтому мы рассматриваем только положительное значение корня: $1 + \frac{p}{100} = \sqrt{\frac{121}{100}}$ $1 + \frac{p}{100} = \frac{11}{10}$ $1 + \frac{p}{100} = 1,1$

Теперь найдем значение $p$: $\frac{p}{100} = 1,1 - 1$ $\frac{p}{100} = 0,1$ $p = 0,1 \cdot 100$ $p = 10$

Таким образом, завод дважды увеличивал выпуск продукции на 10%.

Ответ: 10.

Задачи на сплавы и смеси

225

a) Сплав меди с цинком массой 5 кг, содержащий 10% цинка, сплавили с 5 кг чистой меди. Определите процентное содержание цинка в полученном сплаве.

б) В 2 л 10%-ного раствора уксусной кислоты добавили 8 л чистой воды. Определите процентное содержание уксусной кислоты в полученном растворе.

в) В 1 л 10%-ного раствора поваренной соли добавили 4 л чистой воды. Определите процентное содержание соли в полученном растворе.

а)

Для решения этой задачи необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти массу цинка в первоначальном сплаве.
2. Найти массу нового сплава.
3. Рассчитать процентное содержание цинка в новом сплаве.

1. Изначально у нас есть сплав массой 5 кг, в котором 10% цинка. Найдем массу цинка:

$m_{цинк} = 5 \text{ кг} \times 10\% = 5 \times 0.1 = 0.5 \text{ кг}$

2. К первоначальному сплаву добавили 5 кг чистой меди. Масса нового сплава будет суммой масс первоначального сплава и добавленной меди:

$m_{новый\_сплав} = 5 \text{ кг} + 5 \text{ кг} = 10 \text{ кг}$

3. Масса цинка в новом сплаве не изменилась, так как добавляли только медь. Она по-прежнему составляет 0.5 кг. Теперь найдем процентное содержание цинка в новом сплаве. Для этого разделим массу цинка на общую массу нового сплава и умножим на 100%.

$C_{цинк} = \frac{m_{цинк}}{m_{новый\_сплав}} \times 100\% = \frac{0.5 \text{ кг}}{10 \text{ кг}} \times 100\% = 0.05 \times 100\% = 5\%$

Ответ: 5%.

б)

Для решения задачи предположим, что плотность раствора близка к плотности воды и объемы можно складывать. Решение состоит из следующих шагов:

1. Найти объем чистой уксусной кислоты в исходном растворе.
2. Найти общий объем нового раствора.
3. Рассчитать процентное содержание уксусной кислоты в новом растворе.

1. Изначально имеется 2 л 10%-ного раствора уксусной кислоты. Найдем объем чистой кислоты:

$V_{кислота} = 2 \text{ л} \times 10\% = 2 \times 0.1 = 0.2 \text{ л}$

2. К исходному раствору добавили 8 л чистой воды. Общий объем нового раствора:

$V_{новый\_раствор} = 2 \text{ л} + 8 \text{ л} = 10 \text{ л}$

3. Объем уксусной кислоты в новом растворе остался прежним (0.2 л), так как добавлялась только вода. Найдем процентное содержание кислоты в новом растворе:

$C_{кислота} = \frac{V_{кислота}}{V_{новый\_раствор}} \times 100\% = \frac{0.2 \text{ л}}{10 \text{ л}} \times 100\% = 0.02 \times 100\% = 2\%$

Ответ: 2%.

в)

Эта задача решается аналогично предыдущей. Будем считать, что процентное содержание указано по объему, или что плотность раствора равна 1 кг/л, и объемы аддитивны (можно складывать).

1. Найти количество поваренной соли в исходном растворе.
2. Найти общий объем нового раствора.
3. Рассчитать процентное содержание соли в новом растворе.

1. В 1 л 10%-ного раствора поваренной соли содержится следующее количество соли (в условных единицах объема):

$V_{соль} = 1 \text{ л} \times 10\% = 1 \times 0.1 = 0.1 \text{ л}$

2. К раствору добавили 4 л чистой воды. Общий объем нового раствора составит:

$V_{новый\_раствор} = 1 \text{ л} + 4 \text{ л} = 5 \text{ л}$

3. Количество соли не изменилось. Вычислим новую концентрацию:

$C_{соль} = \frac{V_{соль}}{V_{новый\_раствор}} \times 100\% = \frac{0.1 \text{ л}}{5 \text{ л}} \times 100\% = 0.02 \times 100\% = 2\%$

Ответ: 2%.

226 Сплав массой 2 кг состоит из серебра и меди, причём масса серебра составляет $14 \frac{2}{7}\%$ от массы меди.

а) Сколько килограммов серебра в данном сплаве?

б) Сколько килограммов меди в данном сплаве?

Для решения задачи введем переменные:

• Пусть $m_{м}$ — масса меди в сплаве (в кг).
• Пусть $m_{с}$ — масса серебра в сплаве (в кг).

Согласно условию, общая масса сплава равна 2 кг, следовательно, мы можем составить первое уравнение:

$m_{с} + m_{м} = 2$

Также по условию масса серебра составляет $14\frac{2}{7}\%$ от массы меди. Преобразуем это процентное соотношение в обыкновенную дробь.

Сначала переведем смешанную дробь в неправильную:

$14\frac{2}{7} = \frac{14 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{98 + 2}{7} = \frac{100}{7}$

Теперь переведем проценты в дробь, разделив значение на 100:

$14\frac{2}{7}\% = \frac{100}{7}\% = \frac{100}{7} \div 100 = \frac{100}{7 \cdot 100} = \frac{1}{7}$

Это означает, что масса серебра равна $\frac{1}{7}$ от массы меди. Составим второе уравнение:

$m_{с} = \frac{1}{7} m_{м}$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

$m_{с} + m_{м} = 2$

$m_{с} = \frac{1}{7} m_{м}$

Подставим выражение для $m_{с}$ из второго уравнения в первое, чтобы найти массу меди:

$\frac{1}{7} m_{м} + m_{м} = 2$

Вынесем $m_{м}$ за скобки:

$(\frac{1}{7} + 1) m_{м} = 2$

$\frac{8}{7} m_{м} = 2$

Отсюда находим массу меди:

$m_{м} = 2 \div \frac{8}{7} = 2 \cdot \frac{7}{8} = \frac{14}{8} = \frac{7}{4} = 1.75$ кг.

Зная массу меди, найдем массу серебра из первого уравнения:

$m_{с} = 2 - m_{м} = 2 - 1.75 = 0.25$ кг.

Теперь мы можем ответить на поставленные вопросы.

а) Сколько килограммов серебра в данном сплаве?

Масса серебра в сплаве составляет 0,25 кг.

Ответ: 0,25 кг.

б) Сколько килограммов меди в данном сплаве?

Масса меди в сплаве составляет 1,75 кг.

Ответ: 1,75 кг.

227 а) Сколько граммов чистого спирта надо прибавить к 735 г $16\%$-ного раствора йода в спирте, чтобы получить $10\%$-ный раствор?

б) Сколько литров воды нужно выпарить из 20 л раствора, содержащего $80\%$ воды, чтобы получить раствор с содержанием воды $75\%$?

а)

В этой задаче мы добавляем чистый спирт (растворитель) в раствор йода. Это означает, что масса йода (растворенного вещества) в растворе не меняется. Меняется только общая масса раствора и, следовательно, концентрация йода.

1. Сначала найдем массу чистого йода в исходном 16%-ном растворе.
Масса раствора $m_{раствора1} = 735$ г.
Концентрация йода $C_1 = 16\% = 0.16$.
Масса йода $m_{йода}$ вычисляется по формуле: $m_{йода} = m_{раствора1} \times C_1$.
$m_{йода} = 735 \text{ г} \times 0.16 = 117.6 \text{ г}$.

2. Теперь составим уравнение для нового раствора. Пусть $x$ — это масса добавленного чистого спирта в граммах.
Новая масса раствора будет $m_{раствора2} = m_{раствора1} + x = 735 + x$ г.
Масса йода остается прежней: $m_{йода} = 117.6$ г.
Новая концентрация йода по условию $C_2 = 10\% = 0.10$.
Формула для новой концентрации: $C_2 = \frac{m_{йода}}{m_{раствора2}}$.
Подставим известные значения:
$0.10 = \frac{117.6}{735 + x}$.

3. Решим это уравнение относительно $x$:
$0.10 \times (735 + x) = 117.6$
$73.5 + 0.10x = 117.6$
$0.10x = 117.6 - 73.5$
$0.10x = 44.1$
$x = \frac{44.1}{0.10} = 441$.

Таким образом, нужно прибавить 441 грамм чистого спирта.
Ответ: 441 г.

б)

В этой задаче из раствора выпаривают воду. Это означает, что объем растворенного вещества (назовем его "сухое вещество") остается неизменным. Изменяется объем воды и общий объем раствора, что приводит к изменению концентрации.

1. Найдем объем "сухого вещества" в исходном растворе.
Общий объем раствора $V_{раствора1} = 20$ л.
Содержание воды $C_{воды1} = 80\%$.
Следовательно, содержание "сухого вещества" $C_{сух.вещ.1} = 100\% - 80\% = 20\% = 0.20$.
Объем "сухого вещества" $V_{сух.вещ.}$ вычисляется как: $V_{сух.вещ.} = V_{раствора1} \times C_{сух.вещ.1}$.
$V_{сух.вещ.} = 20 \text{ л} \times 0.20 = 4 \text{ л}$.

2. Этот объем "сухого вещества" (4 л) остается постоянным. В новом растворе содержание воды должно стать $C_{воды2} = 75\%$.
Значит, содержание "сухого вещества" в новом растворе будет $C_{сух.вещ.2} = 100\% - 75\% = 25\% = 0.25$.
Теперь мы можем найти новый общий объем раствора $V_{раствора2}$, зная объем и концентрацию "сухого вещества":
$C_{сух.вещ.2} = \frac{V_{сух.вещ.}}{V_{раствора2}}$.
$0.25 = \frac{4 \text{ л}}{V_{раствора2}}$.

3. Выразим отсюда $V_{раствора2}$:
$V_{раствора2} = \frac{4 \text{ л}}{0.25} = 16 \text{ л}$.

4. Объем воды, который нужно выпарить, равен разнице между начальным и конечным объемом раствора.
Пусть $V_{выпар}$ — объем выпаренной воды.
$V_{выпар} = V_{раствора1} - V_{раствора2}$
$V_{выпар} = 20 \text{ л} - 16 \text{ л} = 4 \text{ л}$.

Таким образом, нужно выпарить 4 литра воды.
Ответ: 4 л.

228 a) Сплав золота и серебра, имеющий массу 40 кг и содержащий золота на 20 кг меньше, чем серебра, сплавили с 60 кг чистого серебра. Определите процентное содержание золота в полученном сплаве.

б) Сплав меди с оловом массой 10 кг, содержащий меди на 2 кг больше, чем олова, сплавили с 10 кг чистой меди. Определите процентное содержание меди в полученном сплаве.

а) Сначала определим массу золота и серебра в исходном сплаве. Пусть $m_{з}$ — масса золота, а $m_{с}$ — масса серебра. Из условия задачи можно составить систему уравнений:

1. Общая масса сплава: $m_{з} + m_{с} = 40$ кг.

2. Соотношение масс: $m_{з} = m_{с} - 20$ кг (масса золота на 20 кг меньше массы серебра).

Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти массу серебра:

$(m_{с} - 20) + m_{с} = 40$

$2m_{с} - 20 = 40$

$2m_{с} = 60$

$m_{с} = 30$ кг.

Теперь, зная массу серебра, найдем массу золота:

$m_{з} = 30 - 20 = 10$ кг.

Таким образом, в первоначальном 40-килограммовом сплаве было 10 кг золота и 30 кг серебра.

Далее, к этому сплаву добавили 60 кг чистого серебра. Рассчитаем состав нового сплава:

• Масса золота в новом сплаве не изменилась: $m'_{з} = 10$ кг.
• Масса серебра в новом сплаве стала: $m'_{с} = 30 \text{ кг} + 60 \text{ кг} = 90$ кг.
• Общая масса нового сплава: $M_{нов} = 40 \text{ кг} + 60 \text{ кг} = 100$ кг.

Наконец, определим процентное содержание золота в полученном сплаве. Оно вычисляется как отношение массы золота к общей массе нового сплава, умноженное на 100%:

Процент золота $= \frac{m'_{з}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{10}{100} \times 100\% = 10\%$.

Ответ: 10%.

б) Аналогично решим вторую задачу. Найдем массу меди и олова в исходном сплаве. Пусть $m_{м}$ — масса меди, а $m_{о}$ — масса олова. Составим систему уравнений по условию:

1. Общая масса сплава: $m_{м} + m_{о} = 10$ кг.

2. Соотношение масс: $m_{м} = m_{о} + 2$ кг (масса меди на 2 кг больше массы олова).

Подставим второе уравнение в первое:

$(m_{о} + 2) + m_{о} = 10$

$2m_{о} + 2 = 10$

$2m_{о} = 8$

$m_{о} = 4$ кг.

Теперь найдем массу меди:

$m_{м} = 4 + 2 = 6$ кг.

Итак, в первоначальном 10-килограммовом сплаве было 6 кг меди и 4 кг олова.

К этому сплаву добавили 10 кг чистой меди. Рассчитаем состав нового сплава:

• Масса меди в новом сплаве стала: $m'_{м} = 6 \text{ кг} + 10 \text{ кг} = 16$ кг.
• Масса олова в новом сплаве не изменилась: $m'_{о} = 4$ кг.
• Общая масса нового сплава: $M_{нов} = 10 \text{ кг} + 10 \text{ кг} = 20$ кг.

Определим процентное содержание меди в полученном сплаве:

Процент меди $= \frac{m'_{м}}{M_{нов}} \times 100\% = \frac{16}{20} \times 100\% = 0.8 \times 100\% = 80\%$.

Ответ: 80%.

229 а) Из 38 т сырья второго сорта, содержащего 25% примесей, после переработки получено 30 т сырья первого сорта. Сколько процентов примесей содержит сырье первого сорта?

б) Из 40 т руды выплавляется 20 т металла, содержащего 6% примесей. Сколько процентов примесей содержится в руде?

а)

1. Сначала найдем абсолютную массу примесей в 38 тоннах сырья второго сорта. Поскольку примеси составляют 25%, их масса равна:
$m_{\text{примесей, исх.}} = 38 \text{ т} \cdot 0.25 = 9.5 \text{ т}$

2. Далее определим массу чистого вещества в исходном сырье. Она равна общей массе за вычетом массы примесей:
$m_{\text{чист.}} = 38 \text{ т} - 9.5 \text{ т} = 28.5 \text{ т}$

3. В процессе переработки удаляется только часть примесей, а масса чистого вещества остается неизменной. Таким образом, в 30 тоннах сырья первого сорта по-прежнему содержится 28.5 тонн чистого вещества. Найдем массу примесей в сырье первого сорта:
$m_{\text{примесей, кон.}} = 30 \text{ т} - 28.5 \text{ т} = 1.5 \text{ т}$

4. Теперь вычислим процентное содержание примесей в сырье первого сорта. Для этого разделим массу примесей на общую массу сырья первого сорта и умножим на 100%:
$\text{Процент примесей} = \frac{1.5 \text{ т}}{30 \text{ т}} \cdot 100\% = 0.05 \cdot 100\% = 5\%$

Ответ: сырье первого сорта содержит 5% примесей.

б)

1. Сначала найдем массу чистого металла в 20 тоннах выплавленного продукта. Если содержание примесей составляет 6%, то содержание чистого металла равно $100\% - 6\% = 94\%$. Масса чистого металла:
$m_{\text{чист. металла}} = 20 \text{ т} \cdot 0.94 = 18.8 \text{ т}$

2. Весь чистый металл был извлечен из исходной руды. Это означает, что в 40 тоннах руды содержалось 18.8 тонн чистого металла. Остальная часть массы руды — это примеси. Найдем массу примесей в руде:
$m_{\text{примесей в руде}} = 40 \text{ т} - 18.8 \text{ т} = 21.2 \text{ т}$

3. Теперь определим процентное содержание примесей в руде. Для этого разделим массу примесей на общую массу руды и умножим на 100%:
$\text{Процент примесей} = \frac{21.2 \text{ т}}{40 \text{ т}} \cdot 100\% = 0.53 \cdot 100\% = 53\%$

Ответ: в руде содержится 53% примесей.