Страница 394 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

249 а) Проехав половину пути за 2 ч, водитель увеличил скорость движения на 20 км/ч и поэтому другую половину пути он проехал на полчаса быстрее. Какой путь прошла машина?

б) Проехав половину пути со скоростью 56 км/ч, водитель снизил скорость, и поэтому на вторую половину пути он затратил на $ \frac{1}{3} $ времени больше, чем на первую. С какой скоростью автомобиль проехал вторую половину пути?

в) Проехав $ \frac{2}{3} $ пути за 3 ч, водитель увеличил скорость на 10 км/ч и преодолел остаток пути за 1 ч 15 мин. Какова начальная скорость автомобиля?

г) Автомобилист планировал преодолеть весь путь за 2 ч. Проехав $ \frac{2}{3} $ пути, он уменьшил скорость на 10 км/ч, в результате чего на остаток пути затратил на 32 мин меньше, чем на начальную часть пути. С какой скоростью автомобилист проехал начальную часть пути?

а) Пусть $S$ – весь путь, который прошла машина. Тогда половина пути равна $S/2$.
Первую половину пути машина проехала за $t_1 = 2$ ч. Пусть ее скорость на этом участке была $v_1$.
Тогда $S/2 = v_1 \cdot t_1 = v_1 \cdot 2$. Отсюда можно выразить начальную скорость: $v_1 = S/4$.
На второй половине пути водитель увеличил скорость на 20 км/ч, то есть $v_2 = v_1 + 20$.
Вторую половину пути он проехал на полчаса (0,5 ч) быстрее, значит время в пути составило $t_2 = t_1 - 0.5 = 2 - 0.5 = 1.5$ ч.
Для второй половины пути верно уравнение: $S/2 = v_2 \cdot t_2 = (v_1 + 20) \cdot 1.5$.
Поскольку левые части уравнений для первой и второй половин пути равны ($S/2$), приравняем их правые части:
$2v_1 = 1.5(v_1 + 20)$
$2v_1 = 1.5v_1 + 30$
$2v_1 - 1.5v_1 = 30$
$0.5v_1 = 30$
$v_1 = 30 / 0.5 = 60$ км/ч.
Это начальная скорость. Теперь найдем весь путь $S$, используя формулу $S = 4v_1$.
$S = 4 \cdot 60 = 240$ км.
Ответ: 240 км.

б) Пусть $S_1$ и $S_2$ – первая и вторая половины пути. По условию, $S_1 = S_2$.
Пусть $v_1$ и $v_2$ – скорости на первой и второй половинах пути, а $t_1$ и $t_2$ – соответствующее время.
Известно, что $v_1 = 56$ км/ч. Требуется найти $v_2$.
Из формулы пути $S=vt$ имеем: $S_1 = v_1 \cdot t_1$ и $S_2 = v_2 \cdot t_2$.
Так как $S_1 = S_2$, то $v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot t_2$.
По условию, на вторую половину пути было затрачено на $\frac{1}{3}$ времени больше, чем на первую:
$t_2 = t_1 + \frac{1}{3}t_1 = \frac{4}{3}t_1$.
Подставим это выражение в наше равенство:
$v_1 \cdot t_1 = v_2 \cdot (\frac{4}{3}t_1)$.
Можно сократить обе части уравнения на $t_1$ (так как время не может быть равно нулю):
$v_1 = \frac{4}{3}v_2$.
Отсюда выразим искомую скорость $v_2$:
$v_2 = \frac{3}{4}v_1 = \frac{3}{4} \cdot 56 = 3 \cdot 14 = 42$ км/ч.
Ответ: 42 км/ч.

в) Пусть $v_1$ – первоначальная скорость автомобиля (искомая величина) и $S$ – весь путь.
Первую часть пути, равную $S_1 = \frac{2}{3}S$, автомобиль проехал за $t_1 = 3$ ч.
Следовательно, $\frac{2}{3}S = v_1 \cdot t_1 = 3v_1$. Из этого уравнения можно выразить треть пути: $\frac{1}{3}S = \frac{3}{2}v_1$.
Оставшаяся часть пути составляет $S_2 = S - \frac{2}{3}S = \frac{1}{3}S$.
На этом участке скорость была $v_2 = v_1 + 10$ км/ч.
Время движения на втором участке $t_2 = 1$ ч 15 мин. Переведем минуты в часы: $15 \text{ мин} = 15/60 \text{ ч} = 0.25$ ч. Таким образом, $t_2 = 1.25$ ч.
Для второго участка пути справедливо уравнение: $S_2 = v_2 \cdot t_2$, или $\frac{1}{3}S = (v_1 + 10) \cdot 1.25$.
Теперь у нас есть два выражения для $\frac{1}{3}S$, приравняем их правые части:
$\frac{3}{2}v_1 = (v_1 + 10) \cdot 1.25$
$1.5v_1 = 1.25v_1 + 1.25 \cdot 10$
$1.5v_1 = 1.25v_1 + 12.5$
$1.5v_1 - 1.25v_1 = 12.5$
$0.25v_1 = 12.5$
$v_1 = 12.5 / 0.25 = 50$ км/ч.
Ответ: 50 км/ч.

г) Пусть $v_1$ – скорость, с которой автомобилист проехал начальную часть пути. Это искомая величина.
Поскольку автомобилист планировал преодолеть весь путь $S$ за 2 часа, его плановая скорость равна $S/2$. Логично предположить, что начальная скорость $v_1$ и была плановой скоростью. Итак, $v_1 = S/2$, откуда $S=2v_1$.
Начальная часть пути составляет $S_1 = \frac{2}{3}S$.
Время, затраченное на эту часть: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{\frac{2}{3}S}{v_1}$.
Подставим $S = 2v_1$: $t_1 = \frac{\frac{2}{3}(2v_1)}{v_1} = \frac{\frac{4}{3}v_1}{v_1} = \frac{4}{3}$ ч.
Оставшаяся часть пути $S_2 = S - S_1 = \frac{1}{3}S$.
Скорость на этой части пути была уменьшена на 10 км/ч: $v_2 = v_1 - 10$.
На остаток пути было затрачено на 32 мин меньше, чем на начальную часть. Переведем 32 мин в часы: $32/60 = 8/15$ ч.
Время на остаток пути: $t_2 = t_1 - \frac{8}{15} = \frac{4}{3} - \frac{8}{15} = \frac{20}{15} - \frac{8}{15} = \frac{12}{15} = \frac{4}{5}$ ч.
Запишем уравнение для второго участка пути: $S_2 = v_2 \cdot t_2$.
$\frac{1}{3}S = (v_1 - 10) \cdot \frac{4}{5}$.
Подставим $S = 2v_1$ в это уравнение:
$\frac{1}{3}(2v_1) = (v_1 - 10) \cdot \frac{4}{5}$
$\frac{2}{3}v_1 = \frac{4}{5}v_1 - \frac{4}{5} \cdot 10$
$\frac{2}{3}v_1 = \frac{4}{5}v_1 - 8$
$8 = \frac{4}{5}v_1 - \frac{2}{3}v_1$
Приведем дроби к общему знаменателю 15:
$8 = (\frac{12}{15} - \frac{10}{15})v_1$
$8 = \frac{2}{15}v_1$
$v_1 = 8 \cdot \frac{15}{2} = 4 \cdot 15 = 60$ км/ч.
Ответ: 60 км/ч.

250 a) Теплоход первую половину пути шёл с постоянной скоростью 30 км/ч, а вторую половину пути — со скоростью 20 км/ч. Какова средняя скорость теплохода на всём пути?

б) Автомашина с грузом проехала расстояние $AB$ со скоростью 60 км/ч, а обратно она ехала без груза со скоростью 90 км/ч. Какова средняя скорость автомашины на всём пути?

а)

Средняя скорость — это отношение всего пройденного пути ко всему времени движения. Формула для расчета средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$.

Обозначим весь путь как $S$. Тогда первая половина пути $S_1 = \frac{S}{2}$, а вторая половина пути $S_2 = \frac{S}{2}$.

Скорость на первой половине пути $v_1 = 30$ км/ч, а на второй — $v_2 = 20$ км/ч.

Найдем время, которое теплоход затратил на каждый участок:

• Время на первой половине пути: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S/2}{30} = \frac{S}{60}$ ч.
• Время на второй половине пути: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S/2}{20} = \frac{S}{40}$ ч.

Общее время движения $t_{общ}$ равно сумме времени на обоих участках:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{60} + \frac{S}{40}$

Приведем дроби к общему знаменателю 120:

$t_{общ} = \frac{2S}{120} + \frac{3S}{120} = \frac{5S}{120} = \frac{S}{24}$ ч.

Теперь, зная весь путь ($S_{общ} = S$) и все время ($t_{общ} = \frac{S}{24}$), найдем среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{S}{S/24} = S \cdot \frac{24}{S} = 24$ км/ч.

Ответ: 24 км/ч.

б)

Аналогично пункту а), для нахождения средней скорости нужно разделить весь путь на все время движения.

Пусть расстояние АВ равно $S$. Тогда путь "туда" $S_1 = S$, а путь "обратно" $S_2 = S$. Весь путь, пройденный автомашиной, равен $S_{общ} = S_1 + S_2 = S + S = 2S$.

Скорость по пути из А в В (с грузом) $v_1 = 60$ км/ч. Скорость на обратном пути (без груза) $v_2 = 90$ км/ч.

Рассчитаем время для каждого направления:

• Время в пути из А в В: $t_1 = \frac{S_1}{v_1} = \frac{S}{60}$ ч.
• Время на обратном пути: $t_2 = \frac{S_2}{v_2} = \frac{S}{90}$ ч.

Общее время в пути $t_{общ}$ равно сумме $t_1$ и $t_2$:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{60} + \frac{S}{90}$

Приведем дроби к общему знаменателю 180:

$t_{общ} = \frac{3S}{180} + \frac{2S}{180} = \frac{5S}{180} = \frac{S}{36}$ ч.

Теперь найдем среднюю скорость, разделив весь путь на все время:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{S/36} = 2S \cdot \frac{36}{S} = 72$ км/ч.

Ответ: 72 км/ч.

251 Расстояние в 160 км между пунктами А и В автомобиль проехал со средней скоростью 40 км/ч. Часть пути по ровной дороге он ехал со скоростью 80 км/ч, а другую часть по бездорожью — со скоростью 20 км/ч. Какое расстояние проехал автомобиль по ровной дороге?

Для решения задачи сначала найдем общее время, которое автомобиль затратил на весь путь. При общем расстоянии $S = 160$ км и средней скорости $v_{ср} = 40$ км/ч, общее время $t$ составляет: $t = \frac{S}{v_{ср}} = \frac{160 \text{ км}}{40 \text{ км/ч}} = 4$ часа.

Пусть $t_1$ — это время движения по ровной дороге со скоростью $v_1 = 80$ км/ч, а $t_2$ — время движения по бездорожью со скоростью $v_2 = 20$ км/ч. Сумма этих времен равна общему времени в пути: $t_1 + t_2 = 4$

Расстояние, пройденное по ровной дороге, равно $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 80t_1$. Расстояние, пройденное по бездорожью, равно $S_2 = v_2 \cdot t_2 = 20t_2$. Сумма этих расстояний равна общему расстоянию: $S_1 + S_2 = 160$ км, следовательно, $80t_1 + 20t_2 = 160$.

Мы получили систему из двух линейных уравнений с двумя переменными $t_1$ и $t_2$: $ \begin{cases} t_1 + t_2 = 4 \\ 80t_1 + 20t_2 = 160 \end{cases} $

Для удобства решения упростим второе уравнение, разделив обе его части на 20: $4t_1 + t_2 = 8$.

Теперь система уравнений выглядит следующим образом: $ \begin{cases} t_1 + t_2 = 4 \\ 4t_1 + t_2 = 8 \end{cases} $

Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти $t_1$: $(4t_1 + t_2) - (t_1 + t_2) = 8 - 4$ $3t_1 = 4$ $t_1 = \frac{4}{3}$ часа.

Мы нашли время движения по ровной дороге. Теперь, чтобы найти искомое расстояние, которое автомобиль проехал по ровной дороге ($S_1$), умножим это время на соответствующую скорость: $S_1 = v_1 \cdot t_1 = 80 \text{ км/ч} \cdot \frac{4}{3} \text{ ч} = \frac{320}{3}$ км.

Это расстояние можно также представить в виде смешанной дроби: $106 \frac{2}{3}$ км.

Ответ: $\frac{320}{3}$ км.

252 В течение двух часов пароход двигался по реке в тумане. После того как туман рассеялся, пароход вдвое увеличил свою скорость и плыл еще 6 ч. Какой длины путь проделал пароход в тумане, если его средняя скорость за 8 ч плавания составила 14 $км/ч$?

1. Введение переменных и составление выражений для участков пути

Пусть $v$ (км/ч) — скорость парохода в тумане. Двигаясь с этой скоростью 2 часа, пароход прошел путь:
$s_1 = v \cdot 2 = 2v$ км.

После того как туман рассеялся, скорость парохода увеличилась вдвое и стала $2v$ км/ч. За следующие 6 часов он прошел путь:
$s_2 = (2v) \cdot 6 = 12v$ км.

2. Использование формулы средней скорости для составления уравнения

Общий путь, пройденный пароходом, является суммой путей на двух участках:
$s_{общ} = s_1 + s_2 = 2v + 12v = 14v$ км.

Общее время движения составляет:
$t_{общ} = 2 \text{ ч} + 6 \text{ ч} = 8$ часов.

Средняя скорость вычисляется по формуле $v_{ср} = \frac{s_{общ}}{t_{общ}}$. По условию задачи, средняя скорость $v_{ср} = 14$ км/ч. Подставим все известные значения в формулу и составим уравнение:
$14 = \frac{14v}{8}$

3. Решение уравнения и нахождение искомой величины

Решим полученное уравнение относительно $v$:
$14 \cdot 8 = 14v$
$112 = 14v$
$v = \frac{112}{14}$
$v = 8$ км/ч.

Таким образом, скорость парохода в тумане составляла 8 км/ч. Теперь можем найти путь, который он проделал в тумане ($s_1$):
$s_1 = 2v = 2 \cdot 8 = 16$ км.

Ответ: 16 км.

253 По реке из пункта A в пункт B вышел катер. Одновременно из пункта B в пункт A вышла моторная лодка. Пройдя четверть пути от B к A, лодка встретилась с катером. Катер, достигнув пункта B, повернул обратно и прибыл в пункт A одновременно с лодкой. Во сколько раз скорость катера больше скорости лодки?

Обозначим расстояние между пунктами A и B как $S$. Пусть собственная скорость катера (в стоячей воде) равна $v_к$, собственная скорость моторной лодки — $v_л$, а скорость течения реки — $v_р$.

Катер и лодка движутся навстречу друг другу. По условию, они встречаются в тот момент, когда лодка прошла четверть пути от B к A, то есть расстояние $S/4$. За это же время катер, двигаясь из пункта A, прошел оставшуюся часть пути, то есть $S - S/4 = 3S/4$.

Поскольку время до встречи $t_1$ для них одинаково, мы можем составить соотношение их скоростей относительно берега. Пусть $v_{катер, A \to B}$ — скорость катера из A в B, а $v_{лодка, B \to A}$ — скорость лодки из B в A.
$t_1 = \frac{3S/4}{v_{катер, A \to B}} = \frac{S/4}{v_{лодка, B \to A}}$
Из этого равенства следует:
$3 \cdot v_{лодка, B \to A} = v_{катер, A \to B}$

Далее, по условию, катер дошел до пункта B, развернулся и прибыл в пункт A одновременно с лодкой. Это означает, что общее время их движения одинаково.
Общее время движения лодки: $T = \frac{S}{v_{лодка, B \to A}}$.
Общее время движения катера складывается из времени пути из A в B и времени пути из B в A. Пусть скорость катера на обратном пути (из B в A) будет $v_{катер, B \to A}$.
$T = \frac{S}{v_{катер, A \to B}} + \frac{S}{v_{катер, B \to A}}$.

Приравняем общее время и сократим на $S$:
$\frac{1}{v_{лодка, B \to A}} = \frac{1}{v_{катер, A \to B}} + \frac{1}{v_{катер, B \to A}}$
Подставим в это уравнение найденное ранее соотношение $v_{катер, A \to B} = 3 \cdot v_{лодка, B \to A}$:
$\frac{1}{v_{лодка, B \to A}} = \frac{1}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}} + \frac{1}{v_{катер, B \to A}}$
$\frac{1}{v_{катер, B \to A}} = \frac{1}{v_{лодка, B \to A}} - \frac{1}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}} = \frac{3-1}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}} = \frac{2}{3 \cdot v_{лодка, B \to A}}$
Отсюда получаем соотношение для скорости катера на обратном пути:
$v_{катер, B \to A} = \frac{3}{2} v_{лодка, B \to A}$

Теперь введем скорость течения реки $v_р$. Скорости катера при движении в разных направлениях — это $v_к + v_р$ (по течению) и $v_к - v_р$ (против течения). Направление течения неизвестно, поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Течение реки направлено из A в B.
В этом случае катер из A в B движется по течению, а лодка из B в A — против течения.
$v_{катер, A \to B} = v_к + v_р$
$v_{лодка, B \to A} = v_л - v_р$
Катер на обратном пути из B в A движется против течения: $v_{катер, B \to A} = v_к - v_р$.
Подставим эти выражения в полученные ранее соотношения скоростей:
1) $v_к + v_р = 3(v_л - v_р)$
2) $v_к - v_р = \frac{3}{2}(v_л - v_р)$
Разделим первое уравнение на второе:
$\frac{v_к + v_р}{v_к - v_р} = \frac{3(v_л - v_р)}{\frac{3}{2}(v_л - v_р)} = 2$
$v_к + v_р = 2(v_к - v_р)$
$v_к + v_р = 2v_к - 2v_р$
$v_к = 3v_р$
Подставим $v_к = 3v_р$ во второе уравнение:
$3v_р - v_р = \frac{3}{2}(v_л - v_р)$
$2v_р = \frac{3}{2}(v_л - v_р)$
$4v_р = 3v_л - 3v_р$
$7v_р = 3v_л \implies v_л = \frac{7}{3}v_р$
Теперь найдем искомое отношение скоростей:
$\frac{v_к}{v_л} = \frac{3v_р}{\frac{7}{3}v_р} = \frac{3 \cdot 3}{7} = \frac{9}{7}$

Случай 2: Течение реки направлено из B в A.
В этом случае катер из A в B движется против течения, а лодка из B в A — по течению.
$v_{катер, A \to B} = v_к - v_р$
$v_{лодка, B \to A} = v_л + v_р$
Катер на обратном пути из B в A движется по течению: $v_{катер, B \to A} = v_к + v_р$.
Из наших соотношений мы имеем $v_{катер, A \to B} = 3 v_{лодка, B \to A}$ и $v_{катер, B \to A} = \frac{3}{2} v_{лодка, B \to A}$.
Отсюда следует, что $v_{катер, A \to B} > v_{катер, B \to A}$.
Однако, $v_к - v_р < v_к + v_р$, так как скорость против течения всегда меньше скорости по течению. Получаем противоречие. Следовательно, этот случай невозможен.

Таким образом, единственно возможный результат — это отношение, полученное в первом случае. Скорость катера больше скорости лодки в $\frac{9}{7}$ раз.

Ответ: Скорость катера больше скорости лодки в $\frac{9}{7}$ раза.

254 Моторная лодка проплыла по озеру, а потом поднялась вверх по реке, впадающей в озеро. Путь по озеру на 30% больше, чем путь по реке, а скорость движения лодки против течения на 10% меньше, чем по озеру. На сколько процентов время движения по озеру больше времени движения по реке?

Для решения задачи введем следующие обозначения:
$S_о$ и $t_о$ — путь и время движения по озеру;
$S_р$ и $t_р$ — путь и время движения по реке;
$v_о$ — скорость лодки по озеру (в стоячей воде);
$v_р$ — скорость лодки по реке (против течения).

Исходя из условий задачи, запишем математические соотношения:
1. Путь по озеру на 30% больше, чем путь по реке.
$S_о = S_р + 0.3 \cdot S_р = 1.3 \cdot S_р$
2. Скорость движения лодки против течения на 10% меньше, чем по озеру.
$v_р = v_о - 0.1 \cdot v_о = 0.9 \cdot v_о$

Время движения находится по формуле $t = \frac{S}{v}$. Выразим время для каждого участка пути:
Время по озеру: $t_о = \frac{S_о}{v_о}$
Время по реке: $t_р = \frac{S_р}{v_р}$

Чтобы сравнить время движения, найдем их отношение $\frac{t_о}{t_р}$. Для этого подставим в формулу ранее полученные выражения для пути и скорости:
$\frac{t_о}{t_р} = \frac{S_о / v_о}{S_р / v_р}$
Подставляем $S_о = 1.3 \cdot S_р$ и $v_р = 0.9 \cdot v_о$:
$\frac{t_о}{t_р} = \frac{(1.3 \cdot S_р) / v_о}{S_р / (0.9 \cdot v_о)}$

Теперь упростим полученное выражение. Для этого "перевернем" знаменатель и умножим:
$\frac{t_о}{t_р} = \frac{1.3 \cdot S_р}{v_о} \cdot \frac{0.9 \cdot v_о}{S_р}$
Сокращаем одинаковые переменные ($S_р$ и $v_о$):
$\frac{t_о}{t_р} = 1.3 \cdot 0.9 = 1.17$

Мы получили, что $t_о = 1.17 \cdot t_р$. Это означает, что время движения по озеру составляет 117% от времени движения по реке.
Чтобы найти, на сколько процентов время движения по озеру больше, нужно из 117% вычесть 100%:
$117\% - 100\% = 17\%$

Ответ: время движения по озеру на 17% больше времени движения по реке.