Страница 400 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

294 Два пешехода вышли одновременно навстречу друг другу из двух сёл и встретились через несколько минут. После встречи первый пришёл в другое село через $a$ мин, а второй — через $b$ мин. За сколько минут каждый из пешеходов прошёл свой путь? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

a) $a = 16$, $b = 25$;

б) $a = 18$, $b = 32$.

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:
Пусть $v_1$ и $v_2$ — скорости первого и второго пешеходов соответственно.
Пусть $t$ — время в минутах от начала движения до их встречи.

До момента встречи первый пешеход прошел расстояние $S_1 = v_1 \cdot t$. Это же расстояние второй пешеход прошел после встречи за $b$ минут, то есть $S_1 = v_2 \cdot b$.

Аналогично, до момента встречи второй пешеход прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t$. Это же расстояние первый пешеход прошел после встречи за $a$ минут, то есть $S_2 = v_1 \cdot a$.

Приравняем выражения для расстояний $S_1$ и $S_2$:
$v_1 \cdot t = v_2 \cdot b$
$v_2 \cdot t = v_1 \cdot a$

Из этих двух уравнений выразим отношение скоростей $\frac{v_1}{v_2}$:
Из первого уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{b}{t}$
Из второго уравнения: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{t}{a}$

Теперь приравняем правые части полученных равенств:
$\frac{b}{t} = \frac{t}{a}$

Отсюда находим время до встречи $t$:
$t^2 = a \cdot b$
$t = \sqrt{ab}$ (так как время не может быть отрицательным).

Полное время, затраченное каждым пешеходом на весь путь, равно сумме времени до встречи и времени после встречи.
Полное время первого пешехода: $T_1 = t + a = \sqrt{ab} + a$.
Полное время второго пешехода: $T_2 = t + b = \sqrt{ab} + b$.

Ответ: Время в пути для первого пешехода составляет $a + \sqrt{ab}$ минут, для второго пешехода — $b + \sqrt{ab}$ минут.

а)

Найдем время для случая, когда $a = 16$, $b = 25$.
Время в пути для первого пешехода:
$T_1 = 16 + \sqrt{16 \cdot 25} = 16 + \sqrt{400} = 16 + 20 = 36$ минут.
Время в пути для второго пешехода:
$T_2 = 25 + \sqrt{16 \cdot 25} = 25 + \sqrt{400} = 25 + 20 = 45$ минут.

Ответ: Первый пешеход прошел свой путь за 36 минут, второй — за 45 минут.

б)

Найдем время для случая, когда $a = 18$, $b = 32$.
Время в пути для первого пешехода:
$T_1 = 18 + \sqrt{18 \cdot 32} = 18 + \sqrt{576} = 18 + 24 = 42$ минуты.
Время в пути для второго пешехода:
$T_2 = 32 + \sqrt{18 \cdot 32} = 32 + \sqrt{576} = 32 + 24 = 56$ минут.

Ответ: Первый пешеход прошел свой путь за 42 минуты, второй — за 56 минут.

295 Расстояние между двумя пунктами $A$ и $B$ равно $L$ км. Одновременно из пункта $A$ по направлению к $B$ вышли два пешехода, а из пункта $B$ им навстречу — третий. Первый и третий пешеходы встретились через 3 ч после начала движения. В тот момент, когда первый пешеход оказался в пункте $B$, второй пешеход находился в 10 км от этого пункта. Определите скорость второго пешехода, если известно, что скорости пешеходов постоянны, причём скорость второго пешехода больше скорости третьего на 2 км/ч, но меньше скорости первого.

Обозначим скорости первого, второго и третьего пешеходов как $v_1$, $v_2$ и $v_3$ соответственно (в км/ч). Расстояние между пунктами А и В равно $L$ км.

Составим систему уравнений на основе условий задачи:

1. Первый и третий пешеходы движутся навстречу друг другу. Их скорость сближения равна $v_1 + v_3$. Они встретились через 3 часа, преодолев вместе расстояние $L$.
$L = 3 \cdot (v_1 + v_3)$

2. Скорость второго пешехода больше скорости третьего на 2 км/ч.
$v_2 = v_3 + 2$, откуда $v_3 = v_2 - 2$.

Подставим второе уравнение в первое:
$L = 3 \cdot (v_1 + v_2 - 2)$

3. Время, за которое первый пешеход дошел до пункта В, составляет $t_1 = \frac{L}{v_1}$. За это же время второй пешеход прошел расстояние $S_2 = v_2 \cdot t_1 = v_2 \cdot \frac{L}{v_1}$. По условию, в этот момент второй пешеход находился в 10 км от пункта В, значит, он прошел расстояние $L - 10$ км.
$v_2 \cdot \frac{L}{v_1} = L - 10$

Также в задаче указано, что скорость второго пешехода меньше скорости первого ($v_2 < v_1$) и скорости являются положительными величинами ($v_3 = v_2 - 2 > 0 \Rightarrow v_2 > 2$ км/ч).

Теперь у нас есть система из двух уравнений с тремя неизвестными ($v_1, v_2, L$):
(1) $L = 3(v_1 + v_2 - 2)$
(2) $v_2 \cdot \frac{L}{v_1} = L - 10$

Из уравнения (2) выразим $L$:
$v_2 \cdot L = v_1(L - 10)$
$v_2 L = v_1 L - 10v_1$
$10v_1 = v_1 L - v_2 L$
$10v_1 = L(v_1 - v_2)$
$L = \frac{10v_1}{v_1 - v_2}$

Приравняем два выражения для $L$:
$3(v_1 + v_2 - 2) = \frac{10v_1}{v_1 - v_2}$
$3(v_1 + v_2 - 2)(v_1 - v_2) = 10v_1$
Раскроем скобки, используя формулу разности квадратов $(v_1 - v_2)(v_1 + v_2) = v_1^2 - v_2^2$:
$3( (v_1-v_2)(v_1+v_2) - 2(v_1-v_2) ) = 10v_1$
$3(v_1^2 - v_2^2 - 2v_1 + 2v_2) = 10v_1$
$3v_1^2 - 3v_2^2 - 6v_1 + 6v_2 = 10v_1$
$3v_1^2 - 16v_1 - 3v_2^2 + 6v_2 = 0$

Перегруппируем члены уравнения:
$3v_1^2 - 16v_1 = 3v_2^2 - 6v_2$

Это уравнение связывает $v_1$ и $v_2$. Поскольку задача должна иметь единственное численное решение, а все исходные данные (время, разница скоростей, расстояние) — целые числа, можно предположить, что скорости пешеходов также являются целыми числами.

Рассмотрим уравнение как квадратное относительно $v_1$: $3v_1^2 - 16v_1 - (3v_2^2 - 6v_2) = 0$.Для того чтобы $v_1$ было целым числом, дискриминант этого уравнения должен быть полным квадратом.
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-(3v_2^2 - 6v_2)) = 256 + 12(3v_2^2 - 6v_2) = 256 + 36v_2^2 - 72v_2$
$D = 36v_2^2 - 72v_2 + 256 = 4(9v_2^2 - 18v_2 + 64)$
Чтобы $D$ был полным квадратом, выражение $9v_2^2 - 18v_2 + 64$ должно быть полным квадратом. Пусть $9v_2^2 - 18v_2 + 64 = k^2$ для некоторого целого $k$.
Выделим полный квадрат для $v_2$:
$9(v_2^2 - 2v_2) + 64 = k^2$
$9((v_2 - 1)^2 - 1) + 64 = k^2$
$9(v_2 - 1)^2 - 9 + 64 = k^2$
$9(v_2 - 1)^2 + 55 = k^2$
$k^2 - 9(v_2 - 1)^2 = 55$
$k^2 - (3(v_2 - 1))^2 = 55$
$(k - 3(v_2 - 1))(k + 3(v_2 - 1)) = 55$

Так как $v_2$ и $k$ — целые числа, то выражения в скобках также являются целыми числами — делителями числа 55. Пары делителей 55: (1, 55), (5, 11). Так как $v_2 > 2$, то $v_2-1 > 1$, и $k + 3(v_2-1) > k - 3(v_2-1)$.

Случай 1:
$\begin{cases} k - 3(v_2 - 1) = 1 \\ k + 3(v_2 - 1) = 55 \end{cases}$
Сложив два уравнения, получим: $2k = 56 \Rightarrow k=28$.Вычтя из второго первое, получим: $2 \cdot 3(v_2 - 1) = 54 \Rightarrow 6(v_2-1)=54 \Rightarrow v_2-1=9 \Rightarrow v_2=10$.Проверим условие $v_2 > 2$. $10 > 2$, условие выполняется.

Случай 2:
$\begin{cases} k - 3(v_2 - 1) = 5 \\ k + 3(v_2 - 1) = 11 \end{cases}$
Сложив уравнения: $2k = 16 \Rightarrow k=8$.Вычтя из второго первое: $2 \cdot 3(v_2 - 1) = 6 \Rightarrow 6(v_2-1)=6 \Rightarrow v_2-1=1 \Rightarrow v_2=2$.Это решение не удовлетворяет условию $v_2 > 2$ (так как при $v_2=2$ скорость третьего пешехода $v_3=0$, что противоречит смыслу задачи).

Таким образом, единственное подходящее значение для скорости второго пешехода — 10 км/ч.Давайте проверим это решение.Если $v_2 = 10$ км/ч, то $v_3 = v_2 - 2 = 8$ км/ч.Найдем $v_1$ из уравнения $3v_1^2 - 16v_1 = 3v_2^2 - 6v_2$:
$3v_1^2 - 16v_1 = 3(10^2) - 6(10) = 300 - 60 = 240$
$3v_1^2 - 16v_1 - 240 = 0$
$D = (-16)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-240) = 256 + 2880 = 3136 = 56^2$
$v_1 = \frac{16 \pm 56}{6}$. Так как скорость положительна, $v_1 = \frac{16 + 56}{6} = \frac{72}{6} = 12$ км/ч.
Проверяем условие $v_2 < v_1$: $10 < 12$. Верно.
Теперь найдем $L$: $L = 3(v_1 + v_3) = 3(12 + 8) = 3 \cdot 20 = 60$ км.Проверим второе основное условие: $v_2 \frac{L}{v_1} = L - 10$.
$10 \cdot \frac{60}{12} = 60 - 10$
$10 \cdot 5 = 50$
$50=50$. Верно.

Все условия задачи выполнены.
Ответ: Скорость второго пешехода равна 10 км/ч.

296 Из сборника задач П. А. Ларичева. Двое рабочих, работая вместе, могут выполнить работу за $t$ часов, причём один первый, работая отдельно, может выполнить её на 4 ч скорее второго. За сколько времени может выполнить эту работу каждый из них, работая отдельно?

Обозначим за $t_1$ и $t_2$ время в часах, за которое первый и второй рабочий соответственно выполняют всю работу, работая по отдельности. Тогда их производительность (часть работы, выполняемая за час) составляет $p_1 = 1/t_1$ и $p_2 = 1/t_2$.

Согласно условию, работая вместе, они выполняют всю работу (примем ее за 1) за $t$ часов. Совместная производительность равна сумме их индивидуальных производительностей, то есть $p_1 + p_2$. Таким образом, мы можем составить уравнение: $(p_1 + p_2) \cdot t = 1$, что эквивалентно $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t}$.

Также по условию задачи известно, что первый рабочий выполняет работу на 4 часа быстрее второго. Это можно записать в виде соотношения: $t_1 = t_2 - 4$.

Для решения системы уравнений введем переменную. Пусть $x$ — это время, за которое второй рабочий выполняет работу, то есть $t_2 = x$. Тогда время первого рабочего будет $t_1 = x - 4$. Заметим, что для физического смысла задачи необходимо, чтобы время было положительным, то есть $x > 0$ и $x-4 > 0$, откуда $x > 4$.

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$ в первое уравнение: $\frac{1}{x-4} + \frac{1}{x} = \frac{1}{t}$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-4)$: $\frac{x + (x-4)}{x(x-4)} = \frac{1}{t}$

$\frac{2x-4}{x^2-4x} = \frac{1}{t}$

Преобразуем это уравнение, используя свойство пропорции: $t(2x-4) = x^2-4x$

$2tx - 4t = x^2 - 4x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$: $x^2 - 4x - 2tx + 4t = 0$

$x^2 - (4+2t)x + 4t = 0$

Решим это квадратное уравнение относительно $x$, используя формулу корней. Сначала найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = (-(4+2t))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4t) = (4+2t)^2 - 16t$

$D = 16 + 16t + 4t^2 - 16t = 16 + 4t^2 = 4(4+t^2)$

Теперь найдем корни уравнения: $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{4+2t \pm \sqrt{4(4+t^2)}}{2} = \frac{4+2t \pm 2\sqrt{4+t^2}}{2} = 2+t \pm \sqrt{4+t^2}$

Получаем два возможных решения для времени $x$ (время второго рабочего): $x_1 = 2+t + \sqrt{4+t^2}$ $x_2 = 2+t - \sqrt{4+t^2}$

Теперь нужно проверить, какой из корней имеет физический смысл. Найдем соответствующее время для первого рабочего $t_1 = x-4$:

1. Для корня $x_1$: $t_1 = (2+t + \sqrt{4+t^2}) - 4 = t - 2 + \sqrt{4+t^2}$.

2. Для корня $x_2$: $t_1 = (2+t - \sqrt{4+t^2}) - 4 = t - 2 - \sqrt{4+t^2}$.

Рассмотрим второй случай. Так как по условию $t>0$, то $\sqrt{4+t^2} > \sqrt{t^2} = t$. Следовательно, разность $t - \sqrt{4+t^2}$ отрицательна. Тогда и все выражение $t - 2 - \sqrt{4+t^2}$ тем более отрицательно. Время не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2$ является посторонним и не подходит по смыслу задачи.

Таким образом, остается единственное решение: Время второго рабочего: $t_2 = x = 2+t + \sqrt{4+t^2}$ часов. Время первого рабочего: $t_1 = x - 4 = t - 2 + \sqrt{4+t^2}$ часов.

Проверим выполнение условия $x > 4$. Неравенство $2+t + \sqrt{4+t^2} > 4$ сводится к $t + \sqrt{4+t^2} > 2$. Это неравенство верно для любого положительного $t$, так как $\sqrt{4+t^2} > \sqrt{t^2} = t$, и значит $t+\sqrt{4+t^2} > 2t$. Если $t \ge 1$, то $2t \ge 2$. Если $0 < t < 1$, то $\sqrt{4+t^2} > \sqrt{4} = 2$, и $t+\sqrt{4+t^2} > 2$. Решение корректно.

Ответ: первый рабочий может выполнить работу за $t - 2 + \sqrt{t^2+4}$ часов, а второй рабочий — за $t + 2 + \sqrt{t^2+4}$ часов.

297 Теплоход длины $l$ м движется по реке с постоянной скоростью. Катер, имеющий скорость $v$ м/с, проходит расстояние от кормы движущегося теплохода до его носа и обратно за $t$ с. Найдите скорость теплохода.

Для решения задачи введем следующие обозначения: $u$ — искомая скорость теплохода, $v$ — скорость катера, $l$ — длина теплохода, $t$ — общее время движения катера. Все скорости измеряются относительно воды. Этот выбор системы отсчета (связанной с водой) является наиболее удобным, так как он исключает из рассмотрения скорость течения реки.

Рассмотрим движение катера в системе отсчета, связанной с движущимся теплоходом. В этой системе отсчета теплоход покоится, а расстояние, которое катеру необходимо преодолеть в одну сторону, равно длине теплохода $l$.

Когда катер движется от кормы к носу, он движется в том же направлении, что и теплоход. Его скорость относительно теплохода (скорость обгона) равна разности их скоростей относительно воды: $v_{отн1} = v - u$. Время, затраченное на этот этап, составляет:$t_1 = \frac{l}{v - u}$

Когда катер движется в обратном направлении, от носа к корме, он движется навстречу направлению движения теплохода. Его скорость относительно теплохода равна сумме скоростей: $v_{отн2} = v + u$. Время, затраченное на обратный путь, равно:$t_2 = \frac{l}{v + u}$

По условию задачи, общее время движения катера $t$ равно сумме времен $t_1$ и $t_2$:$t = t_1 + t_2 = \frac{l}{v - u} + \frac{l}{v + u}$

Теперь необходимо решить это уравнение относительно $u$. Для этого приведем дроби в правой части к общему знаменателю:$t = l \left( \frac{1}{v - u} + \frac{1}{v + u} \right) = l \left( \frac{(v + u) + (v - u)}{(v - u)(v + u)} \right)$

Упростим полученное выражение. В числителе скобки $(v + u) + (v - u) = 2v$. Знаменатель представляет собой формулу разности квадратов $(v - u)(v + u) = v^2 - u^2$. Подставим эти выражения в уравнение для времени:$t = l \frac{2v}{v^2 - u^2}$

Из этого соотношения выразим $v^2 - u^2$:$v^2 - u^2 = \frac{2vl}{t}$

Далее выразим $u^2$:$u^2 = v^2 - \frac{2vl}{t}$

Скорость $u$ не может быть отрицательной, поэтому извлекаем арифметический квадратный корень, чтобы найти искомую скорость теплохода:$u = \sqrt{v^2 - \frac{2vl}{t}}$

Ответ: $\sqrt{v^2 - \frac{2vl}{t}}$

298 Торговец продаёт купленный товар в розницу с наценкой $p\%$. С какой наибольшей скидкой в целое число процентов ($q\%$) от розничной цены он может продать остатки этого товара, чтобы на этой продаже не иметь убытка? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

а) $p = 30$;

б) $p = 25$.

Пусть $C$ — это закупочная (первоначальная) цена товара.

Торговец продает товар с наценкой $p\%$. Это означает, что розничная цена $R$ товара вычисляется как: $R = C + C \cdot \frac{p}{100} = C \left(1 + \frac{p}{100}\right)$.

Далее, на остатки товара делается скидка $q\%$ от розничной цены $R$. Цена продажи со скидкой $S$ будет равна: $S = R - R \cdot \frac{q}{100} = R \left(1 - \frac{q}{100}\right)$.

Условие "не иметь убытка" означает, что итоговая цена продажи $S$ должна быть не меньше закупочной цены $C$. Математически это выражается неравенством: $S \ge C$.

Теперь подставим в это неравенство выражения для $S$ и $R$: $C \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right) \ge C$.

Поскольку закупочная цена $C$ — это положительная величина ($C > 0$), мы можем разделить обе части неравенства на $C$, не меняя знака неравенства: $\left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right) \ge 1$.

Решим это неравенство относительно $q$, чтобы найти максимально допустимую скидку. $1 - \frac{q}{100} \ge \frac{1}{1 + \frac{p}{100}}$ $1 - \frac{q}{100} \ge \frac{1}{\frac{100+p}{100}}$ $1 - \frac{q}{100} \ge \frac{100}{100+p}$

Перенесем единицу и сменим знаки: $-\frac{q}{100} \ge \frac{100}{100+p} - 1$ $-\frac{q}{100} \ge \frac{100 - (100+p)}{100+p}$ $-\frac{q}{100} \ge \frac{-p}{100+p}$

Умножим обе части на $-100$. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный: $q \le \frac{100p}{100+p}$.

В задаче требуется найти наибольшую скидку в целое число процентов. Это означает, что нам нужно найти наибольшее целое число $q$, удовлетворяющее этому неравенству. Для этого нужно взять целую часть от правой части выражения (округлить вниз до ближайшего целого).

Решение в общем виде:

Наибольшая возможная целая скидка $q$ определяется формулой: $q = \left\lfloor \frac{100p}{100+p} \right\rfloor$, где $\lfloor x \rfloor$ — функция взятия целой части числа.

Ответ: $q = \left\lfloor \frac{100p}{100+p} \right\rfloor$.

Теперь найдем ответы для конкретных случаев.

а) p = 30

Подставляем значение $p = 30$ в полученное неравенство для $q$: $q \le \frac{100 \cdot 30}{100 + 30} = \frac{3000}{130} = \frac{300}{13}$.

Преобразуем дробь в десятичное число: $\frac{300}{13} \approx 23.0769...$

Неравенство имеет вид $q \le 23.0769...$. Поскольку $q$ должно быть целым числом, наибольшее значение, которое оно может принять, — это 23.

Ответ: 23%.

б) p = 25

Подставляем значение $p = 25$ в неравенство: $q \le \frac{100 \cdot 25}{100 + 25} = \frac{2500}{125}$.

Вычислим значение дроби: $\frac{2500}{125} = 20$.

Неравенство имеет вид $q \le 20$. Наибольшим целым числом, удовлетворяющим этому условию, является 20.

Ответ: 20%.

299 Торговец продаёт купленный товар в розницу с наценкой $p\%$. С какой наибольшей скидкой в целое число процентов ($q\%$) от розничной цены он может продавать товар, чтобы иметь доход не менее $d\%$? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

a) $p = 30, d = 10$;

б) $p = 25, d = 10$.

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:

• $C$ — закупочная цена товара (себестоимость).
• $p$ — торговая наценка в процентах.
• $R$ — розничная цена товара.
• $q$ — скидка в процентах от розничной цены.
• $S$ — итоговая цена продажи после скидки.
• $d$ — минимально допустимый доход (прибыль) в процентах от закупочной цены.

Розничная цена $R$ формируется путем добавления наценки $p\%$ к закупочной цене $C$:

$R = C + C \cdot \frac{p}{100} = C \left(1 + \frac{p}{100}\right)$

Итоговая цена продажи $S$ получается после предоставления скидки $q\%$ от розничной цены $R$:

$S = R - R \cdot \frac{q}{100} = R \left(1 - \frac{q}{100}\right)$

Подставим выражение для $R$ в формулу для $S$:

$S = C \left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right)$

Доход (прибыль) от продажи — это разница между итоговой ценой продажи и закупочной ценой, то есть $S - C$. По условию, этот доход должен быть не менее $d\%$ от закупочной цены. Составим неравенство:

$S - C \ge C \cdot \frac{d}{100}$

Разделим обе части неравенства на $C$ (так как закупочная цена — положительная величина):

$\frac{S}{C} - 1 \ge \frac{d}{100} \implies \frac{S}{C} \ge 1 + \frac{d}{100}$

Теперь подставим в это неравенство выражение для $S/C$:

$\left(1 + \frac{p}{100}\right) \left(1 - \frac{q}{100}\right) \ge 1 + \frac{d}{100}$

Наша цель — найти максимальное целое значение $q$. Выразим $q$ из неравенства:

$1 - \frac{q}{100} \ge \frac{1 + d/100}{1 + p/100}$

Преобразуем дроби:

$1 - \frac{q}{100} \ge \frac{\frac{100+d}{100}}{\frac{100+p}{100}} = \frac{100+d}{100+p}$

Теперь изолируем $q$:

$-\frac{q}{100} \ge \frac{100+d}{100+p} - 1$

$-\frac{q}{100} \ge \frac{100+d - (100+p)}{100+p}$

$-\frac{q}{100} \ge \frac{d-p}{100+p}$

Умножим обе части на -100. При умножении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$q \le -100 \cdot \frac{d-p}{100+p}$

$q \le 100 \cdot \frac{p-d}{100+p}$

Так как по условию $q$ — это наибольшее целое число процентов, то мы должны найти наибольшее целое число, не превышающее значение выражения в правой части. Это математическая операция взятия целой части (пол). Таким образом, формула для нахождения $q$ в общем виде:

$q = \lfloor 100 \cdot \frac{p-d}{100+p} \rfloor$

Теперь применим эту формулу для конкретных случаев.

a) p = 30, d = 10

Подставляем значения в выведенную формулу:

$q \le 100 \cdot \frac{30 - 10}{100 + 30} = 100 \cdot \frac{20}{130} = \frac{2000}{130} = \frac{200}{13}$

Вычисляем значение дроби:

$\frac{200}{13} \approx 15.38$

Таким образом, $q \le 15.38$. Наибольшее целое число, удовлетворяющее этому условию, равно 15.

Ответ: 15%.

б) p = 25, d = 10

Подставляем значения в формулу:

$q \le 100 \cdot \frac{25 - 10}{100 + 25} = 100 \cdot \frac{15}{125} = \frac{1500}{125}$

Сократим и вычислим дробь:

$\frac{1500}{125} = \frac{12 \cdot 125}{125} = 12$

Получаем, что $q \le 12$. Так как 12 — целое число, это и есть максимальная возможная скидка.

Ответ: 12%.

300 Яблоки содержали $a$% воды. На какое наименьшее число процентов ($b$%) надо уменьшить массу яблок при сушке, чтобы сушёные яблоки содержали не более $c$% воды? Решите задачу в общем виде. Получите ответ для случая, когда:

a) $a = 80$, $c = 50$;

б) $a = 75$, $c = 40$.

Для решения задачи в общем виде введем следующие обозначения:
$M_1$ — начальная масса яблок.
$M_2$ — конечная масса яблок после сушки.
$a\%$ — начальное содержание воды в яблоках.
$c\%$ — конечное содержание воды в сушеных яблоках.
$b\%$ — искомое наименьшее число процентов, на которое нужно уменьшить массу яблок.

Ключевым моментом в задачах на сушку является то, что масса сухого вещества (не воды) остается неизменной.

Масса сухого вещества в начальной массе яблок $M_1$ составляет $(100 - a)\%$. Таким образом, масса сухого вещества равна:
$M_{сух} = M_1 \cdot \frac{100 - a}{100}$

После сушки масса яблок становится $M_2$, а содержание воды должно быть не более $c\%$. Чтобы найти наименьшее уменьшение массы, мы должны получить наибольшую возможную конечную массу, что соответствует максимальному содержанию воды, то есть ровно $c\%$.

Масса того же сухого вещества в конечной массе яблок $M_2$ составляет $(100 - c)\%$. Таким образом:
$M_{сух} = M_2 \cdot \frac{100 - c}{100}$

Приравнивая два выражения для массы сухого вещества, получаем:
$M_1 \cdot \frac{100 - a}{100} = M_2 \cdot \frac{100 - c}{100}$

Отсюда можно выразить отношение конечной массы к начальной:
$\frac{M_2}{M_1} = \frac{100 - a}{100 - c}$

Уменьшение массы в процентах ($b\%$) вычисляется как отношение потерянной массы ($M_1 - M_2$) к начальной массе ($M_1$):
$b = \frac{M_1 - M_2}{M_1} \cdot 100 = \left(1 - \frac{M_2}{M_1}\right) \cdot 100$

Подставим найденное отношение масс в эту формулу:
$b = \left(1 - \frac{100 - a}{100 - c}\right) \cdot 100$

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$b = \left(\frac{(100 - c) - (100 - a)}{100 - c}\right) \cdot 100 = \frac{100 - c - 100 + a}{100 - c} \cdot 100$

Таким образом, общая формула для нахождения $b$ имеет вид:
$b = \frac{a - c}{100 - c} \cdot 100$

Теперь применим эту формулу для конкретных случаев.

а) Дано: $a = 80$, $c = 50$.
Подставляем значения в общую формулу:
$b = \frac{80 - 50}{100 - 50} \cdot 100 = \frac{30}{50} \cdot 100 = 0.6 \cdot 100 = 60$.
Следовательно, массу яблок надо уменьшить на 60%.

Ответ: $60\%$.

б) Дано: $a = 75$, $c = 40$.
Подставляем значения в общую формулу:
$b = \frac{75 - 40}{100 - 40} \cdot 100 = \frac{35}{60} \cdot 100 = \frac{7}{12} \cdot 100 = \frac{700}{12} = \frac{175}{3} = 58\frac{1}{3}$.
Следовательно, массу яблок надо уменьшить на $58\frac{1}{3}\%$.

Ответ: $58\frac{1}{3}\%$.