Страница 405 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

341 ЕГЭ Найдите значение выражения

$5 \sin (\pi + \alpha) + \cos \left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right)$

если $\sin \alpha = 0,5$.

Для нахождения значения выражения $5 \sin(\pi + \alpha) + \cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ необходимо сначала упростить его с помощью тригонометрических формул приведения.

1. Упростим выражение $\sin(\pi + \alpha)$.

Согласно формуле приведения, если к аргументу прибавляется $\pi$, название функции не меняется, но нужно определить знак. Угол $(\pi + \alpha)$ находится в третьей координатной четверти (если считать $\alpha$ острым углом), где синус отрицателен. Поэтому:

$\sin(\pi + \alpha) = -\sin \alpha$

2. Упростим выражение $\cos(\frac{\pi}{2} + \alpha)$.

Согласно формуле приведения, если к аргументу прибавляется $\frac{\pi}{2}$, название функции меняется на кофункцию (косинус на синус). Угол $(\frac{\pi}{2} + \alpha)$ находится во второй координатной четверти, где косинус отрицателен. Поэтому:

$\cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = -\sin \alpha$

Теперь подставим полученные упрощенные выражения в исходное:

$5 \sin(\pi + \alpha) + \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha\right) = 5(-\sin \alpha) + (-\sin \alpha) = -5 \sin \alpha - \sin \alpha = -6 \sin \alpha$.

По условию задачи известно, что $\sin \alpha = 0,5$. Подставим это значение в полученное выражение:

$-6 \sin \alpha = -6 \cdot 0,5 = -3$.

Ответ: -3

342 ЕГЭ Найдите значение выражения $2^x - y$, если $(x; y)$ является решением системы уравнений $\begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 2^{x+1} - 3y = 43. \end{cases}$

Для решения задачи необходимо найти значения переменных $x$ и $y$ из предложенной системы уравнений, а затем подставить их в выражение $2^x - y$.

Дана система уравнений:

$$ \begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 2^{x+1} - 3y = 43 \end{cases} $$

Преобразуем второе уравнение системы, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$

Теперь система уравнений выглядит следующим образом:

$$ \begin{cases} 7 \cdot 2^x + 6y = 2 \\ 2 \cdot 2^x - 3y = 43 \end{cases} $$

Для упрощения решения введем замену переменной. Пусть $a = 2^x$. Тогда система примет вид:

$$ \begin{cases} 7a + 6y = 2 \\ 2a - 3y = 43 \end{cases} $$

Это система линейных уравнений. Решим ее методом сложения. Умножим второе уравнение на 2, чтобы коэффициенты при $y$ стали противоположными по знаку:

$2 \cdot (2a - 3y) = 2 \cdot 43$

$4a - 6y = 86$

Теперь сложим первое уравнение ($7a + 6y = 2$) и полученное новое уравнение ($4a - 6y = 86$):

$(7a + 6y) + (4a - 6y) = 2 + 86$

$11a = 88$

$a = \frac{88}{11} = 8$

Теперь вернемся к замене, чтобы найти $x$:

$a = 2^x$

$8 = 2^x$

Так как $8 = 2^3$, то $2^3 = 2^x$, откуда следует, что $x = 3$.

Теперь найдем $y$, подставив значение $a=8$ в любое из уравнений системы. Например, в первое:

$7a + 6y = 2$

$7(8) + 6y = 2$

$56 + 6y = 2$

$6y = 2 - 56$

$6y = -54$

$y = \frac{-54}{6} = -9$

Таким образом, решением системы является пара чисел $(x; y) = (3; -9)$.

Осталось найти значение выражения $2^x - y$:

$2^x - y = 2^3 - (-9) = 8 + 9 = 17$

Ответ: 17.

343 ЕГЭ Найдите значение выражения

$\sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}$

при $x = 1,2007$.

Для того чтобы найти значение выражения, мы сначала упростим его. Обозначим исходное выражение через $E$:

$E = \sqrt{x - 2\sqrt{x - 1}} + \sqrt{x + 2\sqrt{x - 1}}$

Заметим, что выражения под внешними корнями похожи на формулы квадрата суммы и квадрата разности: $(a \pm b)^2 = a^2 \pm 2ab + b^2$.

Преобразуем первое подкоренное выражение $x - 2\sqrt{x - 1}$. Представим $x$ как $(x-1) + 1$. Тогда:

$x - 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) - 2\sqrt{x - 1} + 1$

Если мы примем $a = \sqrt{x-1}$ и $b=1$, то получим полный квадрат разности:

$(\sqrt{x-1})^2 - 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} - 1)^2$

Аналогично преобразуем второе подкоренное выражение $x + 2\sqrt{x - 1}$:

$x + 2\sqrt{x - 1} = (x - 1) + 2\sqrt{x - 1} + 1$

При тех же $a = \sqrt{x-1}$ и $b=1$, мы получаем полный квадрат суммы:

$(\sqrt{x-1})^2 + 2 \cdot \sqrt{x-1} \cdot 1 + 1^2 = (\sqrt{x-1} + 1)^2$

Теперь подставим эти выражения обратно в исходное:

$E = \sqrt{(\sqrt{x-1} - 1)^2} + \sqrt{(\sqrt{x-1} + 1)^2}$

Воспользуемся свойством $\sqrt{a^2} = |a|$ (модуль числа $a$):

$E = |\sqrt{x-1} - 1| + |\sqrt{x-1} + 1|$

Теперь подставим заданное значение $x = 1,2007$, чтобы раскрыть модули.

Найдем значение выражения $\sqrt{x-1}$:

$\sqrt{x-1} = \sqrt{1,2007 - 1} = \sqrt{0,2007}$

Оценим значение $\sqrt{0,2007}$. Поскольку $0 < 0,2007 < 1$, то и $\sqrt{0} < \sqrt{0,2007} < \sqrt{1}$, что означает $0 < \sqrt{0,2007} < 1$.

Теперь определим знаки выражений под модулями:

1. $\sqrt{x-1} - 1 = \sqrt{0,2007} - 1$. Так как $\sqrt{0,2007} < 1$, это выражение отрицательно. Значит, $|\sqrt{x-1} - 1| = -(\sqrt{x-1} - 1) = 1 - \sqrt{x-1}$.

2. $\sqrt{x-1} + 1 = \sqrt{0,2007} + 1$. Это выражение очевидно положительно, так как является суммой двух положительных чисел. Значит, $|\sqrt{x-1} + 1| = \sqrt{x-1} + 1$.

Подставим раскрытые модули в упрощенное выражение для $E$:

$E = (1 - \sqrt{x-1}) + (\sqrt{x-1} + 1)$

Теперь выполним сложение:

$E = 1 - \sqrt{x-1} + \sqrt{x-1} + 1 = 1 + 1 = 2$

Ответ: 2

344 ЕГЭ Найдите наименьший корень уравнения

$\log_3(x+1)^2 + \log_3|x+1| = 6.$

Исходное уравнение:$$ \log_{3}{(x + 1)^2} + \log_{3}{|x + 1|} = 6 $$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Выражения под знаком логарифма должны быть строго положительными.1. Для первого слагаемого: $(x + 1)^2 > 0$. Это неравенство выполняется для всех $x$, кроме тех, где $x + 1 = 0$, то есть $x \neq -1$.2. Для второго слагаемого: $|x + 1| > 0$. Это неравенство также выполняется для всех $x$, кроме $x = -1$.Итак, ОДЗ уравнения: $x \in (-\infty; -1) \cup (-1; +\infty)$.

Теперь преобразуем уравнение. Воспользуемся свойством логарифма $\log_{a}{b^2} = 2\log_{a}{|b|}$. Применим его к первому слагаемому в уравнении:$$ \log_{3}{(x + 1)^2} = 2\log_{3}{|x + 1|} $$Подставим это выражение обратно в исходное уравнение:$$ 2\log_{3}{|x + 1|} + \log_{3}{|x + 1|} = 6 $$

Сложим подобные слагаемые в левой части уравнения:$$ 3\log_{3}{|x + 1|} = 6 $$

Разделим обе части уравнения на 3:$$ \log_{3}{|x + 1|} = 2 $$

Теперь, по определению логарифма ($b = a^c \iff \log_a b = c$), мы можем записать:$$ |x + 1| = 3^2 $$$$ |x + 1| = 9 $$

Это уравнение с модулем распадается на два случая:1. Выражение под модулем равно 9:$$ x + 1 = 9 $$$$ x = 9 - 1 $$$$ x_1 = 8 $$2. Выражение под модулем равно -9:$$ x + 1 = -9 $$$$ x = -9 - 1 $$$$ x_2 = -10 $$

Оба найденных корня, $x_1 = 8$ и $x_2 = -10$, удовлетворяют ОДЗ ($x \neq -1$).Согласно условию задачи, необходимо найти наименьший корень уравнения. Сравним полученные значения:$$ -10 < 8 $$Наименьший корень равен -10.

Ответ: -10

345 ЕГЭ Периодическая функция $y = f(x)$ определена для всех действительных чисел. Её период равен 2 и $f(1) = 5$. Найдите значение выражения $3f(7) - 4f(-3)$.

По определению периодической функции с периодом $T$, для любого $x$ из области определения и любого целого числа $n$ выполняется равенство $f(x + nT) = f(x)$.

В условии задачи дана функция $y = f(x)$, которая определена для всех действительных чисел. Её период $T = 2$. Также известно, что $f(1) = 5$. Требуется найти значение выражения $3f(7) - 4f(-3)$.

Для этого нам нужно найти значения $f(7)$ и $f(-3)$, используя известное значение $f(1)$ и свойство периодичности.

1. Найдём $f(7)$.

Представим число 7 в виде $1 + n \cdot 2$, где $n$ — целое число:

$7 = 1 + 6 = 1 + 3 \cdot 2$.

Отсюда видно, что $n=3$. Согласно свойству периодической функции:

$f(7) = f(1 + 3 \cdot 2) = f(1)$.

Поскольку $f(1) = 5$, то $f(7) = 5$.

2. Найдём $f(-3)$.

Аналогично представим число -3 в виде $1 + n \cdot 2$:

$-3 = 1 - 4 = 1 + (-2) \cdot 2$.

Здесь $n=-2$. Согласно свойству периодической функции:

$f(-3) = f(1 + (-2) \cdot 2) = f(1)$.

Поскольку $f(1) = 5$, то $f(-3) = 5$.

3. Вычислим значение выражения.

Теперь подставим найденные значения $f(7)=5$ и $f(-3)=5$ в исходное выражение:

$3f(7) - 4f(-3) = 3 \cdot 5 - 4 \cdot 5 = 15 - 20 = -5$.

Ответ: -5.

346 ЕГЭ Денежный вклад в банк за год увеличивается на $11\%$.

Вкладчик внёс в банк 7000 р. В конце первого года он решил увеличить сумму вклада и продлить срок действия договора ещё на год, чтобы в конце второго года иметь на счету не менее 10 000 р. Какую наименьшую сумму необходимо дополнительно положить на счёт по окончании первого года, чтобы при той же процентной ставке ($11\%$) реализовать этот план? (Ответ округлите до целых.)

Для решения задачи выполним следующие шаги:

1. Найдем сумму на вкладе через год.

Первоначальная сумма вклада составляет $S_0 = 7000$ рублей. Годовая процентная ставка равна $11\%$. Это означает, что за год сумма на счете увеличивается в $1 + \frac{11}{100} = 1.11$ раза.Сумма на счете в конце первого года ($S_1$) будет равна:

$S_1 = S_0 \cdot 1.11 = 7000 \cdot 1.11 = 7770$ рублей.

2. Составим модель для второго года.

В начале второго года вкладчик добавляет на счет некоторую сумму, обозначим ее за $x$ рублей. Новая сумма на счете, с которой будут начисляться проценты во втором году, составит:

$S_{2_{start}} = S_1 + x = 7770 + x$ рублей.

В конце второго года эта сумма также увеличится на $11\%$, то есть умножится на коэффициент $1.11$. Итоговая сумма в конце второго года ($S_2$) будет равна:

$S_2 = (7770 + x) \cdot 1.11$ рублей.

3. Составим и решим неравенство.

По условию задачи, сумма в конце второго года должна быть не менее $10000$ рублей. Это можно записать в виде неравенства:

$S_2 \ge 10000$

Подставим выражение для $S_2$:

$(7770 + x) \cdot 1.11 \ge 10000$

Чтобы найти $x$, решим это неравенство. Сначала разделим обе части на $1.11$:

$7770 + x \ge \frac{10000}{1.11}$

Выполним деление:

$7770 + x \ge 9009.0090...$

Теперь вычтем $7770$ из обеих частей неравенства:

$x \ge 9009.0090... - 7770$

$x \ge 1239.0090...$

4. Определим наименьшую целую сумму.

Нам нужно найти наименьшую сумму $x$, которую необходимо положить на счет. Поскольку $x$ должен быть не меньше, чем $1239.0090...$, наименьшее целое число, удовлетворяющее этому условию, — это $1240$. Если вкладчик добавит $1239$ рублей, итоговая сумма будет чуть меньше $10000$ рублей ($9009 \cdot 1.11 = 9999.99$), что не удовлетворяет условию. Поэтому необходимо округлить полученное значение в большую сторону до ближайшего целого.

Таким образом, наименьшая сумма, которую необходимо дополнительно положить на счет, составляет $1240$ рублей.

Ответ: 1240

347 ЕГЭ

Найдите все значения $x$, которые удовлетворяют неравенству $(2a - 1)x^2 < (a + 1)x + 3a$ при любом значении параметра $a$, принадлежащем промежутку $(1; 2)$.

Перепишем исходное неравенство $(2a - 1)x^2 < (a + 1)x + 3a$ так, чтобы сгруппировать члены с параметром $a$ в одной части:

$(2a - 1)x^2 - (a + 1)x - 3a < 0$

Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые относительно $a$:

$2ax^2 - x^2 - ax - x - 3a < 0$

$a(2x^2 - x - 3) - (x^2 + x) < 0$

Рассмотрим левую часть этого неравенства как функцию от параметра $a$: $f(a) = a(2x^2 - x - 3) - (x^2 + x)$. Для каждого фиксированного значения $x$ эта функция является линейной относительно переменной $a$. По условию, неравенство $f(a) < 0$ должно выполняться для любого значения $a$ из промежутка $(1; 2)$.

График линейной функции $f(a)$ на отрезке $[1; 2]$ — это отрезок прямой. Для того чтобы значения функции были строго отрицательны на всем интервале $(1; 2)$, необходимо и достаточно, чтобы значения на концах этого промежутка были неположительны, то есть $f(1) \le 0$ и $f(2) \le 0$. При этом необходимо исключить случай, когда $f(1) = 0$ и $f(2) = 0$ одновременно, так как в этом случае $f(a) = 0$ для всех $a \in [1; 2]$, что не удовлетворяет строгому неравенству $f(a) < 0$.

Составим систему из двух неравенств:

$\begin{cases} f(1) \le 0 \\ f(2) \le 0 \end{cases}$

Найдем выражения для $f(1)$ и $f(2)$:

$f(1) = 1 \cdot (2x^2 - x - 3) - (x^2 + x) = 2x^2 - x - 3 - x^2 - x = x^2 - 2x - 3$

$f(2) = 2 \cdot (2x^2 - x - 3) - (x^2 + x) = 4x^2 - 2x - 6 - x^2 - x = 3x^2 - 3x - 6$

Теперь решим систему неравенств относительно $x$:

$\begin{cases} x^2 - 2x - 3 \le 0 \\ 3x^2 - 3x - 6 \le 0 \end{cases}$

Решим первое неравенство: $x^2 - 2x - 3 \le 0$. Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 - 2x - 3 = 0$. По теореме Виета (или через дискриминант), корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 3$. Ветви параболы $y = x^2 - 2x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 3]$.

Решим второе неравенство: $3x^2 - 3x - 6 \le 0$. Разделим обе части на 3 (знак неравенства не меняется): $x^2 - x - 2 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - x - 2 = 0$. Корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы $y = x^2 - x - 2$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется на отрезке между корнями: $x \in [-1; 2]$.

Найдем пересечение решений двух неравенств: $[-1; 3] \cap [-1; 2] = [-1; 2]$. Это множество значений $x$, для которых $f(1) \le 0$ и $f(2) \le 0$.

Теперь, как было отмечено ранее, необходимо исключить случай, когда $f(a)$ тождественно равна нулю на интервале $(1; 2)$. Это произойдет, если $f(1)=0$ и $f(2)=0$ одновременно.

$f(1) = x^2 - 2x - 3 = 0$ при $x = -1$ или $x = 3$.

$f(2) = 3(x^2 - x - 2) = 0$ при $x = -1$ или $x = 2$.

Оба равенства выполняются одновременно только при $x = -1$. Проверим это значение. Если $x = -1$, исходное неравенство принимает вид $(2a - 1)(-1)^2 < (a + 1)(-1) + 3a$, что равносильно $2a - 1 < -a - 1 + 3a$, или $2a - 1 < 2a - 1$. Это неравенство ложно при любом значении $a$. Следовательно, значение $x=-1$ не является решением и должно быть исключено.

Таким образом, из найденного промежутка $x \in [-1; 2]$ нужно исключить точку $x=-1$. В результате получаем искомое множество значений $x: (-1; 2]$.

Ответ: $x \in (-1; 2]$.