Страница 403 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

324 На путь между двумя пристанями против течения реки катер тратит в $1 \frac{2}{11}$ раза больше времени, чем на тот же путь по течению. Во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения реки?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $v_к$ — собственная скорость катера (скорость в стоячей воде).
• $v_т$ — скорость течения реки.
• $S$ — расстояние между пристанями.

Когда катер движется по течению, его скорость складывается со скоростью течения, и она равна $v_{по} = v_к + v_т$.

Когда катер движется против течения, его скорость уменьшается на скорость течения, и она равна $v_{против} = v_к - v_т$.

Время, необходимое для прохождения расстояния $S$, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$. Соответственно, время движения по течению $t_{по} = \frac{S}{v_к + v_т}$, а время движения против течения $t_{против} = \frac{S}{v_к - v_т}$.

Из условия задачи известно, что на путь против течения катер тратит в $1\frac{2}{11}$ раза больше времени, чем на путь по течению. Запишем это в виде математического равенства:$t_{против} = 1\frac{2}{11} \cdot t_{по}$

Преобразуем смешанное число в неправильную дробь для удобства вычислений:$1\frac{2}{11} = \frac{1 \cdot 11 + 2}{11} = \frac{13}{11}$

Теперь подставим выражения для времени в наше равенство:$\frac{S}{v_к - v_т} = \frac{13}{11} \cdot \frac{S}{v_к + v_т}$

Расстояние $S$ одинаково в обоих случаях и не равно нулю, поэтому мы можем разделить обе части уравнения на $S$:$\frac{1}{v_к - v_т} = \frac{13}{11(v_к + v_т)}$

Воспользуемся свойством пропорции (умножим уравнение крест-накрест):$11(v_к + v_т) = 13(v_к - v_т)$

Раскроем скобки:$11v_к + 11v_т = 13v_к - 13v_т$

Сгруппируем слагаемые, содержащие $v_к$, в одной части уравнения, а слагаемые, содержащие $v_т$, — в другой:$11v_т + 13v_т = 13v_к - 11v_к$

Выполним сложение и вычитание:$24v_т = 2v_к$

Чтобы найти, во сколько раз собственная скорость катера больше скорости течения, необходимо найти отношение $\frac{v_к}{v_т}$. Для этого разделим обе части равенства на $2v_т$:$\frac{2v_к}{2v_т} = \frac{24v_т}{2v_т}$

После сокращения получаем:$\frac{v_к}{v_т} = 12$

Это означает, что собственная скорость катера в 12 раз больше скорости течения реки.

Ответ: в 12 раз.

325 ЕГЭ. Весной катер идёт против течения реки в $1 \frac{2}{3}$ раза медленнее, чем по течению. Летом течение реки становится на 1 км/ч медленнее, поэтому летом катер идёт против течения реки в $1 \frac{1}{2}$ раза медленнее, чем по течению. Найдите скорость течения весной (в км/ч).

Обозначим собственную скорость катера как $v_к$ (в км/ч), а скорость течения реки весной — как $v_{т.в}$ (в км/ч). Собственная скорость катера является постоянной величиной.

Рассмотрим движение катера весной. Скорость катера по течению равна $v_к + v_{т.в}$, а скорость против течения — $v_к - v_{т.в}$. Согласно условию, скорость по течению в $1 \frac{2}{3}$ раза больше скорости против течения (или, что то же самое, скорость против течения в $1 \frac{2}{3}$ раза меньше скорости по течению). Составим первое уравнение:
$v_к + v_{т.в} = 1 \frac{2}{3} \cdot (v_к - v_{т.в})$
Переведем смешанное число в неправильную дробь: $1 \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 1 + 2}{3} = \frac{5}{3}$.
$v_к + v_{т.в} = \frac{5}{3} (v_к - v_{т.в})$
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части уравнения на 3:
$3(v_к + v_{т.в}) = 5(v_к - v_{т.в})$
$3v_к + 3v_{т.в} = 5v_к - 5v_{т.в}$
$3v_{т.в} + 5v_{т.в} = 5v_к - 3v_к$
$8v_{т.в} = 2v_к$
Выразим собственную скорость катера:
$v_к = 4v_{т.в}$

Теперь рассмотрим движение катера летом. Скорость течения летом на 1 км/ч меньше, чем весной, поэтому скорость течения летом $v_{т.л} = v_{т.в} - 1$.
Скорость катера по течению летом равна $v_к + v_{т.л}$, а против течения — $v_к - v_{т.л}$.
По условию, летом скорость по течению в $1 \frac{1}{2}$ раза больше скорости против течения. Составим второе уравнение:
$v_к + v_{т.л} = 1 \frac{1}{2} \cdot (v_к - v_{т.л})$
Переведем смешанное число в дробь: $1 \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 1 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
$v_к + v_{т.л} = \frac{3}{2} (v_к - v_{т.л})$
Умножим обе части уравнения на 2:
$2(v_к + v_{т.л}) = 3(v_к - v_{т.л})$
$2v_к + 2v_{т.л} = 3v_к - 3v_{т.л}$
$2v_{т.л} + 3v_{т.л} = 3v_к - 2v_к$
$5v_{т.л} = v_к$

Мы получили два выражения для собственной скорости катера $v_к$:
1) $v_к = 4v_{т.в}$
2) $v_к = 5v_{т.л}$
Приравняем их правые части, так как левые части равны:
$4v_{т.в} = 5v_{т.л}$
Теперь подставим в это равенство выражение для летней скорости течения $v_{т.л} = v_{т.в} - 1$:
$4v_{т.в} = 5(v_{т.в} - 1)$
Раскроем скобки и решим полученное уравнение относительно $v_{т.в}$:
$4v_{т.в} = 5v_{т.в} - 5$
$5 = 5v_{т.в} - 4v_{т.в}$
$v_{т.в} = 5$
Таким образом, мы нашли, что скорость течения весной равна 5 км/ч.

Ответ: 5

326 ЕГЭ Каждое из чисел 3, 4, ..., 8 умножают на каждое из чисел 9, 10, ..., 17 и перед каждым из полученных произведений ставят произвольным образом знак «плюс» или «минус», после чего все 54 полученных результата складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Наибольшая сумма

Чтобы получить наибольшую возможную сумму, необходимо, чтобы все 54 произведения были со знаком «плюс». В этом случае итоговая сумма $S_{max}$ будет равна сумме всех произведений.

Пусть $A = \{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ и $B = \{9, 10, \dots, 17\}$.

Сумма всех произведений каждого числа из множества $A$ на каждое число из множества $B$ может быть вычислена как произведение сумм элементов этих множеств:

$S_{max} = \left(\sum_{i \in A} i\right) \cdot \left(\sum_{j \in B} j\right)$

Найдем сумму чисел в первом множестве $A$:
$S_A = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 33$

Найдем сумму чисел во втором множестве $B$. Это арифметическая прогрессия. Количество членов в ней: $17 - 9 + 1 = 9$.
Сумма $S_B$ вычисляется по формуле суммы арифметической прогрессии:

$S_B = \frac{\text{первый член} + \text{последний член}}{2} \cdot \text{количество членов}$

$S_B = \frac{9 + 17}{2} \cdot 9 = \frac{26}{2} \cdot 9 = 13 \cdot 9 = 117$

Теперь вычислим наибольшую сумму:

$S_{max} = S_A \cdot S_B = 33 \cdot 117 = 3861$

Ответ: 3861

Наименьшая по модулю сумма

Итоговая сумма $S$ представляет собой алгебраическую сумму 54 произведений вида $i \cdot j$, где $i \in \{3, 4, \dots, 8\}$ и $j \in \{9, 10, \dots, 17\}$.

$S = \sum_{i=3}^{8} \sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{ij} \cdot i \cdot j$, где $\varepsilon_{ij}$ принимает значение $+1$ или $-1$.

Проанализируем четность итоговой суммы $S$. Четность слагаемого $i \cdot j$ зависит от четности сомножителей $i$ и $j$. Произведение является нечетным тогда и только тогда, когда оба сомножителя нечетны.

В первом множестве $\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ содержатся 3 нечетных числа: $\{3, 5, 7\}$.

Во втором множестве $\{9, 10, \dots, 17\}$ содержится 5 нечетных чисел: $\{9, 11, 13, 15, 17\}$.

Количество произведений, являющихся нечетными числами, равно произведению количеств нечетных чисел в каждом множестве: $3 \cdot 5 = 15$.

Остальные $54 - 15 = 39$ произведений являются четными числами.

Итоговая сумма $S$ состоит из 15 нечетных слагаемых и 39 четных слагаемых. Сумма любого количества четных чисел всегда четна. Сумма нечетного числа (15) нечетных чисел всегда нечетна.

Следовательно, $S = (\text{сумма 15 нечетных}) + (\text{сумма 39 четных}) = \text{нечетное} + \text{четное} = \text{нечетное}$.

Поскольку итоговая сумма $S$ всегда является нечетным числом, она не может быть равна нулю. Наименьшее по модулю ненулевое нечетное целое число — это 1. Значит, наименьшее возможное значение $|S|$ не меньше 1. Докажем, что сумму, равную 1, можно получить.

Представим сумму $S$ в виде:

$S = 3 \cdot (\sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{3j}j) + 4 \cdot (\sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{4j}j) + \dots + 8 \cdot (\sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{8j}j)$

Обозначим $C_i = \sum_{j=9}^{17} \varepsilon_{ij}j$. Тогда $S = 3C_3 + 4C_4 + 5C_5 + 6C_6 + 7C_7 + 8C_8$.

Для каждого $i$ мы можем выбрать свой набор знаков $\varepsilon_{ij}$. Покажем, что можно подобрать знаки так, чтобы $C_i$ было равно 1 (или -1). Сумма чисел в множестве $B$ равна $S_B = 117$. Чтобы получить $C_i = 1$, нужно разбить множество $B$ на две группы $P_1$ и $P_2$ так, чтобы $\sum_{p \in P_1}p - \sum_{q \in P_2}q = 1$. Это равносильно поиску подмножества $P_1$ с суммой элементов, равной $\frac{117+1}{2} = 59$. Такое подмножество существует, например, $\{11, 15, 16, 17\}$ ($11+15+16+17=59$). Таким образом, мы можем сделать любой из коэффициентов $C_i$ равным 1 (или -1, поменяв все знаки на противоположные).

Теперь нам нужно подобрать знаки $\delta_i \in \{+1, -1\}$ так, чтобы итоговая сумма была равна 1:

$3\delta_3 + 4\delta_4 + 5\delta_5 + 6\delta_6 + 7\delta_7 + 8\delta_8 = 1$

Это задача о разбиении множества $A=\{3, 4, 5, 6, 7, 8\}$ на две группы с разностью сумм 1. Сумма чисел в $A$ равна $S_A = 33$. Нам нужно найти подмножество $A_1 \subset A$, сумма элементов которого равна $\frac{33+1}{2} = 17$. Такое подмножество существует, например, $\{3, 6, 8\}$ ($3+6+8=17$).

Это означает, что мы можем выбрать $\delta_3=1, \delta_4=-1, \delta_5=-1, \delta_6=1, \delta_7=-1, \delta_8=1$.

Таким образом, мы можем выбрать знаки $\varepsilon_{ij}$ так, чтобы:

• $C_3=1, C_6=1, C_8=1$ (для этого берем знаки «+» у произведений с $j \in \{11,15,16,17\}$ и «-» для остальных).
• $C_4=-1, C_5=-1, C_7=-1$ (для этого берем знаки «-» у произведений с $j \in \{11,15,16,17\}$ и «+» для остальных).

При таком выборе знаков итоговая сумма будет равна:

$S = 3(1) + 4(-1) + 5(-1) + 6(1) + 7(-1) + 8(1) = 3-4-5+6-7+8 = 1$.

Поскольку сумма всегда нечетна и мы показали, что можно получить сумму 1, наименьшая по модулю сумма равна 1.

Ответ: 1

327 ЕГЭ Перед каждым из чисел $14, 15, ..., 20$ и $4, 5, ..., 8$ произвольным образом ставят знак «плюс» или «минус», после чего от каждого из образовавшихся чисел первого набора отнимают каждое из образовавшихся чисел второго набора, а затем все 35 полученных результатов складывают. Какую наименьшую по модулю и какую наибольшую сумму можно получить в итоге?

Пусть первый набор чисел будет $A = \{14, 15, \dots, 20\}$, а второй — $B = \{4, 5, \dots, 8\}$. Количество чисел в наборе A равно $n_A = 20 - 14 + 1 = 7$. Количество чисел в наборе B равно $n_B = 8 - 4 + 1 = 5$.

Обозначим через $s_i \in \{-1, 1\}$ знак, который ставят перед числом $a_i \in A$, и через $t_j \in \{-1, 1\}$ — знак перед числом $b_j \in B$. Образовавшиеся числа будут $a'_i = s_i a_i$ и $b'_j = t_j b_j$.

По условию, из каждого из 7 чисел $a'_i$ вычитают каждое из 5 чисел $b'_j$, а затем все 35 полученных результатов складывают. Обозначим итоговую сумму через $S$.

$S = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (a'_i - b'_j) = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (s_i a_i - t_j b_j)$

Разобьем сумму на две части: $S = \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (s_i a_i) - \sum_{i=1}^{7} \sum_{j=1}^{5} (t_j b_j)$

В первой части слагаемое $s_i a_i$ для каждого $i$ суммируется $n_B = 5$ раз. Во второй части слагаемое $t_j b_j$ для каждого $j$ суммируется $n_A = 7$ раз. $S = 5 \sum_{i=1}^{7} s_i a_i - 7 \sum_{j=1}^{5} t_j b_j$

Введем обозначения для сумм чисел с учетом знаков: $A' = \sum_{i=1}^{7} s_i a_i$ $B' = \sum_{j=1}^{5} t_j b_j$ Тогда итоговое выражение для суммы примет вид: $S = 5A' - 7B'$

Чтобы получить наибольшую возможную сумму $S$, необходимо сделать значение $5A'$ максимальным, а значение $7B'$ — минимальным. Это достигается при максимизации $A'$ и минимизации $B'$.

Значение $A'$ максимально, когда все знаки $s_i$ положительны ($s_i = 1$). $A'_{max} = 14 + 15 + 16 + 17 + 18 + 19 + 20$. Это сумма арифметической прогрессии: $A'_{max} = \frac{7}{2}(14 + 20) = \frac{7}{2} \cdot 34 = 7 \cdot 17 = 119$.

Значение $B'$ минимально, когда все знаки $t_j$ отрицательны ($t_j = -1$). $B'_{min} = -(4 + 5 + 6 + 7 + 8)$. Это также сумма арифметической прогрессии: $B'_{min} = -\frac{5}{2}(4 + 8) = -\frac{5}{2} \cdot 12 = -5 \cdot 6 = -30$.

Теперь можем вычислить наибольшую сумму $S_{max}$: $S_{max} = 5 \cdot A'_{max} - 7 \cdot B'_{min} = 5 \cdot 119 - 7 \cdot (-30) = 595 + 210 = 805$.

Ответ: 805.

Требуется найти наименьшее возможное значение $|S| = |5A' - 7B'|$. Проанализируем четность величин $A'$ и $B'$.

Сумма чисел в наборе A равна $\sum a_i = 119$, что является нечетным числом. Значение $A' = \sum s_i a_i$ можно представить в виде $\sum a_i - 2 \cdot (\text{сумма чисел со знаком «минус»})$. Так как $\sum a_i$ — нечетное, а второе слагаемое — четное, то $A'$ всегда будет нечетным числом.

Сумма чисел в наборе B равна $\sum b_j = 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30$, что является четным числом. Аналогично, $B' = \sum t_j b_j = \sum b_j - 2 \cdot (\text{сумма чисел со знаком «минус»})$. Так как $\sum b_j$ — четное, и второе слагаемое — четное, то $B'$ всегда будет четным числом.

Рассмотрим итоговую сумму $S = 5A' - 7B'$. Поскольку $A'$ — нечетное, $5A'$ — нечетное. Поскольку $B'$ — четное, $7B'$ — четное. Разность нечетного и четного чисел всегда нечетна. Следовательно, итоговая сумма $S$ всегда является нечетным числом.

Так как $S$ никогда не может быть равно нулю, наименьшее возможное значение $|S|$ равно 1, если удастся подобрать такие знаки $s_i$ и $t_j$, что $S=1$ или $S=-1$.

Проверим, можно ли получить $S = 1$. Для этого нужно найти такие значения $A'$ и $B'$, что $5A' - 7B' = 1$. Это линейное диофантово уравнение. Мы ищем частное решение, где $A'$ — достижимое нечетное значение, а $B'$ — достижимое четное значение. Перепишем уравнение: $5A' = 7B' + 1$. Отсюда следует, что $7B' + 1$ должно делиться на 5. Проверим возможные четные значения для $B'$: При $B'=-8$, выражение $7(-8)+1=-55$ делится на 5. В этом случае $5A'=-55 \implies A'=-11$.

Мы нашли потенциальное решение: $A' = -11$ (нечетное) и $B' = -8$ (четное). Теперь нужно проверить, можно ли получить такие значения, расставляя знаки перед числами в наборах A и B.

Возможно ли получить $A' = -11$? Для этого нужно, чтобы сумма тех чисел из набора A, перед которыми ставится знак «минус», была равна $\frac{\sum a_i - A'}{2} = \frac{119 - (-11)}{2} = \frac{130}{2} = 65$. Найдем подмножество $A = \{14, 15, 16, 17, 18, 19, 20\}$, сумма элементов которого равна 65. Например, $14 + 16 + 17 + 18 = 65$. Следовательно, значение $A' = -11$ достижимо: $(15+19+20) - (14+16+17+18) = 54 - 65 = -11$.

Возможно ли получить $B' = -8$? Сумма тех чисел из набора B, перед которыми ставится знак «минус», должна быть равна $\frac{\sum b_j - B'}{2} = \frac{30 - (-8)}{2} = \frac{38}{2} = 19$. Найдем подмножество $B = \{4, 5, 6, 7, 8\}$, сумма элементов которого равна 19. Например, $4 + 7 + 8 = 19$. Следовательно, значение $B' = -8$ достижимо: $(5+6) - (4+7+8) = 11 - 19 = -8$.

Поскольку мы нашли расстановку знаков, при которой $A'=-11$ и $B'=-8$, мы можем получить сумму $S = 5(-11) - 7(-8) = -55 + 56 = 1$. Таким образом, наименьшая по модулю сумма равна 1.

Ответ: 1.

328 Дано n целых чисел, причём $27 < n < 45$. Известно, что среднее арифметическое всех n чисел равно $-5$. Также известно, что среднее арифметическое всех положительных чисел равно $9$ и среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно $-18$.

а) Чему равно n?

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

а) Чему равно n?

Пусть $n$ — общее количество чисел.
Пусть $p$ — количество положительных чисел, $m$ — количество отрицательных чисел, а $z$ — количество нулей.
Тогда общее количество чисел равно $n = p + m + z$.

Пусть $S$ — сумма всех $n$ чисел, $S_p$ — сумма положительных чисел, $S_m$ — сумма отрицательных чисел.

Из условий задачи мы можем составить следующие уравнения, основанные на определении среднего арифметического:

• Среднее арифметическое всех $n$ чисел равно -5: $\frac{S}{n} = -5 \implies S = -5n$.
• Среднее арифметическое всех положительных чисел равно 9: $\frac{S_p}{p} = 9 \implies S_p = 9p$. (Это означает, что $p > 0$).
• Среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -18: $\frac{S_m}{m} = -18 \implies S_m = -18m$. (Это означает, что $m > 0$).

Общая сумма $S$ является суммой положительных, отрицательных чисел и нулей: $S = S_p + S_m$.
Подставим известные выражения для $S$, $S_p$ и $S_m$:$-5n = 9p - 18m$.

Теперь выразим $p$ через $n, m, z$ из уравнения $n = p + m + z$, получим $p = n - m - z$. Подставим это в предыдущее уравнение:
$-5n = 9(n - m - z) - 18m$
$-5n = 9n - 9m - 9z - 18m$
$-5n = 9n - 27m - 9z$
$27m + 9z = 9n + 5n$
$9(3m + z) = 14n$

Из этого уравнения следует, что $14n$ должно быть кратно 9. Так как числа 14 и 9 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), то $n$ должно быть кратно 9.

По условию, $27 < n < 45$. Единственное целое число в этом промежутке, которое делится на 9, — это 36.

Следовательно, $n = 36$.

Ответ: $n=36$.

б) Каких чисел больше: положительных или отрицательных?

Из пункта (а) мы знаем, что $n=36$ и имеем два уравнения, связывающих $p$, $m$ и $z$:

1. $p + m + z = 36$ (общее количество чисел)
2. $9(3m + z) = 14n \implies 9(3m + z) = 14 \cdot 36 \implies 3m + z = 14 \cdot 4 \implies 3m + z = 56$

Рассмотрим эти два уравнения как систему:
1) $p + m + z = 36$
2) $3m + z = 56$

Выразим $z$ из второго уравнения: $z = 56 - 3m$.
Подставим это выражение для $z$ в первое уравнение:
$p + m + (56 - 3m) = 36$
$p - 2m + 56 = 36$
$p = 2m - 20$

Теперь нам нужно сравнить количество положительных чисел $p$ и отрицательных чисел $m$. Сравним выражение $2m - 20$ с $m$.
Разность $p - m = (2m - 20) - m = m - 20$.

Определим возможные значения для $m$. Так как $p$ и $z$ — это количества чисел, они должны быть неотрицательными целыми числами.
Из условия $p > 0$ следует:
$2m - 20 > 0 \implies 2m > 20 \implies m > 10$.

Из условия $z \ge 0$ следует:
$56 - 3m \ge 0 \implies 56 \ge 3m \implies m \le \frac{56}{3} \implies m \le 18.66...$

Таким образом, $m$ — это целое число в диапазоне $11 \le m \le 18$. Для любого значения $m$ из этого диапазона, разность $m - 20$ будет отрицательной (например, при $m=11$, $11-20 = -9$; при $m=18$, $18-20 = -2$).

Так как $p - m < 0$, то $p < m$. Это означает, что отрицательных чисел всегда больше, чем положительных.

Ответ: отрицательных чисел больше.

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Из пункта (б) мы получили зависимость количества положительных чисел $p$ от количества отрицательных чисел $m$:
$p = 2m - 20$.

Чтобы найти максимальное значение $p$, нам нужно найти максимальное возможное значение $m$. Из анализа в пункте (б) мы знаем, что возможные целые значения для $m$ лежат в диапазоне $11 \le m \le 18$.

Максимальное значение для $m$ равно 18. Подставим это значение в формулу для $p$:
$p_{max} = 2 \cdot 18 - 20 = 36 - 20 = 16$.

Проверим, что такое распределение возможно.
Если $p = 16$ и $m = 18$:
$n = 36$.
$z = 56 - 3m = 56 - 3 \cdot 18 = 56 - 54 = 2$.
Проверяем общее количество: $p + m + z = 16 + 18 + 2 = 36$. Все сходится.

Таким образом, максимальное количество положительных чисел, которое может быть, составляет 16.

Ответ: 16.

329 На доске написано более 36, но менее 48 целых чисел. Их среднее арифметическое равно -5, среднее арифметическое всех положительных чисел равно 6, а среднее арифметическое всех отрицательных чисел равно -12.

а) Сколько чисел написано на доске?

б) Каких чисел больше: отрицательных или положительных?

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Для решения задачи введем следующие обозначения:

• $N$ — общее количество чисел на доске.
• $p$ — количество положительных чисел.
• $n$ — количество отрицательных чисел.
• $z$ — количество нулей.

Из условия задачи нам известно:

• $36 < N < 48$, то есть $N$ — целое число от 37 до 47.
• Среднее арифметическое всех чисел равно $-5$. Сумма всех чисел $S_{общ} = -5N$.
• Среднее арифметическое положительных чисел равно $6$. Сумма положительных чисел $S_{пол} = 6p$. Так как среднее определено, $p \ge 1$.
• Среднее арифметическое отрицательных чисел равно $-12$. Сумма отрицательных чисел $S_{отр} = -12n$. Так как среднее определено, $n \ge 1$.

Общая сумма чисел складывается из суммы положительных, отрицательных и нулей: $S_{общ} = S_{пол} + S_{отр} + 0$.

Подставив выражения для сумм, получаем основное уравнение:

$-5N = 6p - 12n$

Также общее количество чисел равно $N = p + n + z$.

а) Сколько чисел написано на доске?

Рассмотрим уравнение $-5N = 6p - 12n$. Умножим обе части на $-1$:

$5N = 12n - 6p$

В правой части можно вынести за скобки множитель 6:

$5N = 6(2n - p)$

Из этого равенства следует, что произведение $5N$ делится на 6. Поскольку числа 5 и 6 взаимно простые (не имеют общих делителей, кроме 1), то само число $N$ должно быть кратно 6.

По условию $36 < N < 48$. Единственное целое число в этом интервале, которое делится на 6, это 42.

Таким образом, на доске написано 42 числа.

Ответ: 42.

б) Каких чисел больше: отрицательных или положительных?

Мы установили, что $N=42$. Подставим это значение в уравнение $5N = 6(2n - p)$:

$5 \cdot 42 = 6(2n - p)$

$210 = 6(2n - p)$

Разделим обе части на 6:

$35 = 2n - p$

Выразим количество положительных чисел $p$ через количество отрицательных $n$:

$p = 2n - 35$

Чтобы сравнить $p$ и $n$, найдем их разность:

$p - n = (2n - 35) - n = n - 35$

Теперь нам нужно найти диапазон возможных значений для $n$. Так как $p, n, z$ — это количества чисел, они должны быть целыми неотрицательными числами.

Из условия $p \ge 1$ следует: $2n - 35 \ge 1 \implies 2n \ge 36 \implies n \ge 18$.

Количество нулей $z = N - p - n$. Подставим $N=42$ и $p=2n-35$:

$z = 42 - (2n - 35) - n = 42 - 2n + 35 - n = 77 - 3n$

Из условия $z \ge 0$ следует: $77 - 3n \ge 0 \implies 77 \ge 3n \implies n \le \frac{77}{3} \approx 25.67$.

Поскольку $n$ — целое число, то $n \le 25$.

Итак, $18 \le n \le 25$. Для любого целого $n$ из этого диапазона разность $n - 35$ будет отрицательной (например, при $n=18$ она равна $18-35=-17$; при $n=25$ она равна $25-35=-10$).

Следовательно, $p - n < 0$, что означает $p < n$.

Ответ: отрицательных.

в) Какое максимальное количество положительных чисел может быть?

Из предыдущего пункта мы знаем, что количество положительных чисел $p$ связано с количеством отрицательных чисел $n$ формулой $p = 2n - 35$.

Чтобы найти максимальное значение $p$, нужно взять максимально возможное значение для $n$. Как мы установили в пункте б), диапазон для $n$ это $18 \le n \le 25$.

Максимальное целое значение для $n$ равно 25.

Подставим это значение в формулу для $p$:

$p_{max} = 2 \cdot 25 - 35 = 50 - 35 = 15$

Этот случай возможен: если $p=15$ и $n=25$, то количество нулей $z = 42 - 15 - 25 = 2$. Все эти значения являются допустимыми. Можно, например, взять 15 чисел, равных 6 (сумма 90), 25 чисел, равных -12 (сумма -300), и 2 нуля. Общая сумма будет $90 - 300 = -210$, а среднее арифметическое $-210 / 42 = -5$, что соответствует условию.

Таким образом, максимальное количество положительных чисел — 15.

Ответ: 15.