Страница 396 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

264 Двое рабочих вместе выполняют некоторую работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал вдвое медленнее, то всю работу они выполнили бы за 6 дней. Сколько дней необходимо для выполнения этой работы первому рабочему?

Примем весь объем работы за единицу (1).

Пусть $p_1$ — это производительность первого рабочего (часть работы, которую он выполняет за один день), а $p_2$ — производительность второго рабочего.

Из условия известно, что двое рабочих, работая вместе, выполняют всю работу за 5 дней. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. Составим первое уравнение, используя формулу Работа = Производительность × Время:

$ (p_1 + p_2) \cdot 5 = 1 $

Из этого уравнения выразим их совместную производительность:

$ p_1 + p_2 = \frac{1}{5} $

Далее, по второму условию, если бы первый рабочий работал вдвое медленнее, его производительность была бы в два раза меньше, то есть $\frac{p_1}{2}$. Работая вместе с новой производительностью первого рабочего, они бы выполнили работу за 6 дней. Составим второе уравнение:

$ (\frac{p_1}{2} + p_2) \cdot 6 = 1 $

Отсюда их новая совместная производительность:

$ \frac{p_1}{2} + p_2 = \frac{1}{6} $

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $p_1$ и $p_2$:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{5} \\ \frac{p_1}{2} + p_2 = \frac{1}{6} \end{cases} $

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $p_2$ и найти $p_1$:

$ (p_1 + p_2) - (\frac{p_1}{2} + p_2) = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $

Раскроем скобки:

$ p_1 - \frac{p_1}{2} + p_2 - p_2 = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} $

$ \frac{p_1}{2} = \frac{1}{30} $

Теперь найдем производительность первого рабочего $p_1$:

$ p_1 = 2 \cdot \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $

Итак, производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{15}$ часть работы в день. Чтобы найти, сколько дней ему потребуется для выполнения всей работы в одиночку, нужно разделить всю работу (1) на его производительность:

Время $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ дней.

Ответ: 15 дней.

265 Числитель дроби составляет $\frac{2}{3}$ знаменателя. К числителю прибавили 5, а к знаменателю 18, дробь стала равной $\frac{1}{3}$. Найдите числитель дроби.

Для решения задачи составим систему уравнений. Пусть $n$ — это числитель исходной дроби, а $d$ — её знаменатель.

Из условия известно, что числитель составляет $\frac{2}{3}$ знаменателя. Это можно записать как первое уравнение:

$n = \frac{2}{3}d$

Далее, к числителю прибавили 5 (стало $n + 5$), а к знаменателю прибавили 18 (стало $d + 18$). Новая дробь стала равной $\frac{1}{3}$. Это даёт нам второе уравнение:

$\frac{n + 5}{d + 18} = \frac{1}{3}$

Теперь решим полученную систему уравнений. Подставим выражение для $n$ из первого уравнения во второе:

$\frac{\frac{2}{3}d + 5}{d + 18} = \frac{1}{3}$

Применим основное свойство пропорции (перекрёстное умножение):

$3 \cdot (\frac{2}{3}d + 5) = 1 \cdot (d + 18)$

Раскроем скобки в левой части уравнения:

$3 \cdot \frac{2}{3}d + 3 \cdot 5 = d + 18$

$2d + 15 = d + 18$

Теперь сгруппируем переменные с одной стороны, а числа — с другой:

$2d - d = 18 - 15$

$d = 3$

Мы нашли знаменатель исходной дроби. Теперь, зная $d$, найдём числитель $n$ из первого уравнения:

$n = \frac{2}{3}d = \frac{2}{3} \cdot 3 = 2$

Таким образом, исходная дробь была $\frac{2}{3}$. Числитель этой дроби равен 2.

Ответ: 2

266 Два экскаватора вырыли котлован за 48 дней. Первый экскаватор один мог бы выполнить эту работу в 3 раза быстрее второго. За сколько дней первый экскаватор, работая отдельно, мог бы выполнить эту работу?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть весь объем работы по рытью котлована равен 1.

Обозначим за $t_1$ время (в днях), за которое первый экскаватор выполнит всю работу самостоятельно, и за $v_1$ его производительность (часть работы, выполняемая за один день). Тогда $v_1 = \frac{1}{t_1}$.

Аналогично, пусть $t_2$ — время для второго экскаватора, а $v_2$ — его производительность. Тогда $v_2 = \frac{1}{t_2}$.

Из условия задачи известно, что первый экскаватор может выполнить работу в 3 раза быстрее второго. Это значит, что ему потребуется в 3 раза меньше времени:

$t_1 = \frac{t_2}{3}$, или, что то же самое, $t_2 = 3t_1$.

Свяжем их производительности. Если время работы первого экскаватора в 3 раза меньше, то его производительность в 3 раза больше:

$v_1 = 3v_2$.

Когда два экскаватора работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность $v_{общ}$ равна:

$v_{общ} = v_1 + v_2$.

По условию, вместе они выполняют всю работу за 48 дней. Это значит, что их совместная производительность равна $\frac{1}{48}$ часть работы в день.

$v_1 + v_2 = \frac{1}{48}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $v_1 + v_2 = \frac{1}{48}$

2) $v_1 = 3v_2$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы выразить все через производительность второго экскаватора $v_2$:

$3v_2 + v_2 = \frac{1}{48}$

$4v_2 = \frac{1}{48}$

$v_2 = \frac{1}{48 \cdot 4} = \frac{1}{192}$.

Это производительность второго экскаватора. Теперь найдем производительность первого экскаватора, используя соотношение $v_1 = 3v_2$:

$v_1 = 3 \cdot \frac{1}{192} = \frac{3}{192}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$v_1 = \frac{1}{64}$.

Мы нашли, что производительность первого экскаватора составляет $\frac{1}{64}$ часть работы в день. Чтобы найти время $t_1$, за которое он выполнит всю работу (1) в одиночку, нужно разделить объем работы на его производительность:

$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$ дня.

Ответ: первому экскаватору, работая отдельно, потребуется 64 дня для выполнения этой работы.

267 Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 ч. Работая отдельно, первый из них может выполнить эту работу на 12 ч быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий один может выполнить ту же работу?

Пусть $t$ — время в часах, за которое второй рабочий может выполнить всю работу, работая один.

Согласно условию, первый рабочий может выполнить эту же работу на 12 часов быстрее, следовательно, время первого рабочего составляет $t - 12$ часов. Важно отметить, что время работы должно быть положительной величиной, поэтому $t > 12$.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за 1 час) для второго рабочего равна $\frac{1}{t}$, а для первого — $\frac{1}{t - 12}$.

Когда рабочие трудятся вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 12}$.

Из условия известно, что вместе они выполняют работу за 8 часов. Это означает, что их совместная производительность также равна $\frac{1}{8}$ часть работы в час.

Составим уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 12} = \frac{1}{8}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{t - 12 + t}{t(t - 12)} = \frac{1}{8}$

$\frac{2t - 12}{t^2 - 12t} = \frac{1}{8}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$8(2t - 12) = 1(t^2 - 12t)$

$16t - 96 = t^2 - 12t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 12t - 16t + 96 = 0$

$t^2 - 28t + 96 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 28, а произведение равно 96. Эти числа — 4 и 24.

Таким образом, получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 4$ и $t_2 = 24$.

Проверим оба корня. Вспомним наше ограничение $t > 12$.

1. Если $t = 4$, то время первого рабочего будет $4 - 12 = -8$ часов, что физически невозможно. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

2. Если $t = 24$, то время первого рабочего будет $24 - 12 = 12$ часов. Это значение является допустимым.

Таким образом, единственное подходящее решение — $t = 24$ часа.

Ответ: 24 часа.

268 Расстояние между двумя станциями железной дороги 96 км. Первый поезд проходит это расстояние на 40 мин быстрее, чем второй. Скорость первого поезда больше скорости второго на 12 км/ч. Определите скорость первого поезда.

Пусть $v_1$ км/ч — искомая скорость первого поезда, тогда скорость второго поезда равна $(v_1 - 12)$ км/ч.

Расстояние между станциями составляет $S = 96$ км.

Время, которое тратит первый поезд на этот путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{96}{v_1}$ ч.

Время, которое тратит второй поезд, равно $t_2 = \frac{S}{v_1 - 12} = \frac{96}{v_1 - 12}$ ч.

Известно, что первый поезд проходит это расстояние на 40 минут быстрее, чем второй. Переведем разницу во времени в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Составим уравнение, исходя из того, что разница во времени движения поездов составляет $\frac{2}{3}$ часа: $t_2 - t_1 = \frac{2}{3}$ $\frac{96}{v_1 - 12} - \frac{96}{v_1} = \frac{2}{3}$

Для решения уравнения сначала разделим обе его части на 2: $\frac{48}{v_1 - 12} - \frac{48}{v_1} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(v_1 - 12)$: $\frac{48v_1 - 48(v_1 - 12)}{v_1(v_1 - 12)} = \frac{1}{3}$ $\frac{48v_1 - 48v_1 + 576}{v_1^2 - 12v_1} = \frac{1}{3}$ $\frac{576}{v_1^2 - 12v_1} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции, получаем: $v_1^2 - 12v_1 = 576 \cdot 3$ $v_1^2 - 12v_1 = 1728$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_1^2 - 12v_1 - 1728 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 144 + 6912 = 7056$ $\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$

Найдем корни уравнения: $(v_1)_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 84}{2} = \frac{96}{2} = 48$ $(v_1)_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 84}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $(v_1)_2 = -36$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого поезда равна 48 км/ч.

Ответ: 48 км/ч.

269 Два велосипедиста выезжают одновременно из городов A и B навстречу друг другу. Первый проезжает в час на 2 км больше второго и приезжает в B на 1 ч раньше, чем второй в A. Расстояние между A и B равно 24 км. Определите скорость первого велосипедиста.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч. Согласно условию, он проезжает в час на 2 км больше второго, значит, скорость второго велосипедиста равна $(x - 2)$ км/ч.

Расстояние между городами А и В равно 24 км.

Время, которое затратил первый велосипедист на путь из А в В, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время первого велосипедиста: $t_1 = \frac{24}{x}$ часов.

Время второго велосипедиста на путь из В в А: $t_2 = \frac{24}{x - 2}$ часов.

По условию, первый велосипедист приезжает в В на 1 час раньше, чем второй в А. Это значит, что время второго велосипедиста на 1 час больше времени первого. Составим уравнение:
$t_2 - t_1 = 1$
$\frac{24}{x - 2} - \frac{24}{x} = 1$

Решим полученное уравнение. Область допустимых значений для $x$: так как скорость второго велосипедиста $x-2$ должна быть положительной, то $x > 2$.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
$\frac{24x - 24(x - 2)}{x(x - 2)} = 1$
$\frac{24x - 24x + 48}{x^2 - 2x} = 1$
$\frac{48}{x^2 - 2x} = 1$

Избавимся от дроби, умножив обе части на знаменатель:
$48 = x^2 - 2x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Также корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 8 км/ч.

Проверка:
Скорость первого велосипедиста: 8 км/ч.
Скорость второго велосипедиста: $8 - 2 = 6$ км/ч.
Время первого: $\frac{24}{8} = 3$ часа.
Время второго: $\frac{24}{6} = 4$ часа.
Разница во времени: $4 - 3 = 1$ час. Условие выполняется.

Ответ: 8 км/ч.

270 Из пункта $A$ в пункт $B$ выехал автобус. Чтобы прибыть в $B$ по расписанию, он должен был ехать с постоянной скоростью $60$ км/ч. Проехав половину пути со скоростью $60$ км/ч, автобус сделал остановку на $30$ мин для замены колеса, поэтому, чтобы прибыть в пункт $B$ по расписанию, оставшуюся часть пути он ехал со скоростью $90$ км/ч. Определите расстояние между пунктами $A$ и $B$.

Для решения задачи обозначим искомое расстояние между пунктами А и В как $S$ км.

1. Найдем плановое время в пути.
По расписанию автобус должен был ехать со скоростью $v_{план} = 60$ км/ч.Время, которое он должен был затратить на весь путь, вычисляется по формуле $t = \frac{S}{v}$.Следовательно, плановое время в пути:$t_{план} = \frac{S}{60}$ часов.

2. Найдем фактическое время в пути.
Фактический путь состоял из трех частей:

• Первая половина пути: расстояние $\frac{S}{2}$ км, скорость $v_1 = 60$ км/ч.
  Время, затраченное на первую половину пути: $t_1 = \frac{S/2}{60} = \frac{S}{120}$ часов.
• Остановка: время остановки $t_{ост} = 30$ минут. Переведем минуты в часы: $30 \text{ мин} = 0.5$ часа.
• Вторая половина пути: расстояние $\frac{S}{2}$ км, скорость $v_2 = 90$ км/ч.
  Время, затраченное на вторую половину пути: $t_2 = \frac{S/2}{90} = \frac{S}{180}$ часов.

Общее фактическое время в пути равно сумме времени на каждом этапе:$t_{факт} = t_1 + t_{ост} + t_2 = \frac{S}{120} + 0.5 + \frac{S}{180}$ часов.

3. Составим и решим уравнение.
По условию, автобус прибыл в пункт В по расписанию. Это значит, что фактическое время в пути равно плановому:$t_{план} = t_{факт}$
$\frac{S}{60} = \frac{S}{120} + 0.5 + \frac{S}{180}$
Для решения уравнения перенесем все слагаемые с переменной $S$ в левую часть:
$\frac{S}{60} - \frac{S}{120} - \frac{S}{180} = 0.5$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 60, 120 и 180 равен 360.
$\frac{6S}{360} - \frac{3S}{360} - \frac{2S}{360} = 0.5$
$\frac{6S - 3S - 2S}{360} = 0.5$
$\frac{S}{360} = 0.5$
Теперь найдем $S$:
$S = 360 \cdot 0.5$
$S = 180$

Таким образом, расстояние между пунктами А и В составляет 180 км.

Ответ: 180 км.

271 По норме токарь должен был выполнить заказ за 29 дней. Проработав 5 дней по норме, он начал работать на новом станке и досрочно закончил выполнение заказа. За сколько дней он выполнил заказ, если его производительность труда на новом станке в 4 раза выше?

Для решения этой задачи давайте представим весь объем работы в условных единицах. Пусть производительность токаря по норме (на старом станке) составляет $x$ единиц работы в день.

1. Найдем общий объем заказа.

По норме токарь должен был выполнить заказ за 29 дней. Значит, общий объем заказа составляет:

$V_{общ} = 29 \times x$

2. Найдем объем работы, выполненный за первые 5 дней.

Токарь работал 5 дней по норме, то есть с производительностью $x$. Объем выполненной работы за это время:

$V_1 = 5 \times x$

3. Найдем оставшийся объем работы.

Чтобы найти, сколько работы осталось сделать, вычтем из общего объема выполненный:

$V_{ост} = V_{общ} - V_1 = 29x - 5x = 24x$

4. Найдем новую производительность труда.

На новом станке производительность токаря стала в 4 раза выше. Новая производительность $x_{новая}$ равна:

$x_{новая} = 4 \times x = 4x$

5. Найдем, за сколько дней была выполнена оставшаяся работа.

Разделим оставшийся объем работы на новую производительность, чтобы найти количество дней $t_{ост}$:

$t_{ост} = \frac{V_{ост}}{x_{новая}} = \frac{24x}{4x} = 6$ дней.

6. Найдем общее время выполнения заказа.

Сложим время работы на старом станке и время работы на новом станке:

$T_{общ} = 5 \text{ дней} + 6 \text{ дней} = 11 \text{ дней}.$

Ответ: 11 дней.

272 Два автобуса отправились одновременно из пункта А в пункт В. Расстояние между пунктами 36 км. Первый автобус прибыл в пункт В на 15 мин раньше второго, скорость которого была на 12 км/ч меньше скорости первого автобуса. Определите скорость второго автобуса.

Пусть $x$ км/ч — скорость второго автобуса. Поскольку скорость второго автобуса на 12 км/ч меньше скорости первого, то скорость первого автобуса равна $(x + 12)$ км/ч.

Оба автобуса проехали расстояние $S = 36$ км.

Время, которое затратил на путь первый автобус, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{36}{x+12}$ часов.

Время, которое затратил на путь второй автобус, составляет $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{36}{x}$ часов.

По условию задачи, первый автобус прибыл в пункт B на 15 минут раньше второго. Переведем разницу во времени в часы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4}$ ч.

Это означает, что время второго автобуса было на $\frac{1}{4}$ часа больше, чем время первого. Составим уравнение на основе этой разницы:

$t_2 - t_1 = \frac{1}{4}$

$\frac{36}{x} - \frac{36}{x+12} = \frac{1}{4}$

Для решения уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+12)$:

$\frac{36(x+12) - 36x}{x(x+12)} = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки в числителе левой части:

$\frac{36x + 36 \cdot 12 - 36x}{x^2 + 12x} = \frac{1}{4}$

$\frac{432}{x^2 + 12x} = \frac{1}{4}$

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$1 \cdot (x^2 + 12x) = 432 \cdot 4$

$x^2 + 12x = 1728$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 1728 = 0$

Найдем корни этого уравнения, используя формулу для корней квадратного уравнения через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 144 + 6912 = 7056$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$.

$x_1 = \frac{-12 + 84}{2 \cdot 1} = \frac{72}{2} = 36$

$x_2 = \frac{-12 - 84}{2 \cdot 1} = \frac{-96}{2} = -48$

Скорость не может быть отрицательной величиной, поэтому корень $x_2 = -48$ не является решением задачи. Следовательно, скорость второго автобуса составляет 36 км/ч.

Ответ: 36 км/ч.