Номер 269, страница 396 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 269, страница 396.

269 Два велосипедиста выезжают одновременно из городов A и B навстречу друг другу. Первый проезжает в час на 2 км больше второго и приезжает в B на 1 ч раньше, чем второй в A. Расстояние между A и B равно 24 км. Определите скорость первого велосипедиста.

Пусть скорость первого велосипедиста равна $x$ км/ч. Согласно условию, он проезжает в час на 2 км больше второго, значит, скорость второго велосипедиста равна $(x - 2)$ км/ч.

Расстояние между городами А и В равно 24 км.

Время, которое затратил первый велосипедист на путь из А в В, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.
Время первого велосипедиста: $t_1 = \frac{24}{x}$ часов.

Время второго велосипедиста на путь из В в А: $t_2 = \frac{24}{x - 2}$ часов.

По условию, первый велосипедист приезжает в В на 1 час раньше, чем второй в А. Это значит, что время второго велосипедиста на 1 час больше времени первого. Составим уравнение:
$t_2 - t_1 = 1$
$\frac{24}{x - 2} - \frac{24}{x} = 1$

Решим полученное уравнение. Область допустимых значений для $x$: так как скорость второго велосипедиста $x-2$ должна быть положительной, то $x > 2$.
Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:
$\frac{24x - 24(x - 2)}{x(x - 2)} = 1$
$\frac{24x - 24x + 48}{x^2 - 2x} = 1$
$\frac{48}{x^2 - 2x} = 1$

Избавимся от дроби, умножив обе части на знаменатель:
$48 = x^2 - 2x$
Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$x^2 - 2x - 48 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196$
$\sqrt{D} = \sqrt{196} = 14$
Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Корень $x_2 = -6$ не удовлетворяет условию задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Также корень $x_1 = 8$ удовлетворяет условию $x > 2$.
Следовательно, скорость первого велосипедиста равна 8 км/ч.

Проверка:
Скорость первого велосипедиста: 8 км/ч.
Скорость второго велосипедиста: $8 - 2 = 6$ км/ч.
Время первого: $\frac{24}{8} = 3$ часа.
Время второго: $\frac{24}{6} = 4$ часа.
Разница во времени: $4 - 3 = 1$ час. Условие выполняется.

Ответ: 8 км/ч.