Номер 273, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 273, страница 397.

273 Возраст некоего господина в 1967 г. равнялся сумме цифр года его рождения. Сколько лет было господину в 1967 г.?

Решение:

Пусть год рождения господина - это $Y$, а его возраст в 1967 году - $A$.

Возраст человека в определенном году вычисляется как разность между этим годом и годом рождения:

$A = 1967 - Y$

По условию задачи, возраст господина в 1967 году ($A$) равен сумме цифр года его рождения. Обозначим сумму цифр года $Y$ как $S(Y)$.

$A = S(Y)$

Объединив два этих равенства, получим основное уравнение:

$1967 - Y = S(Y)$

Поскольку действие происходит в 1967 году, логично предположить, что господин родился в XX веке. Тогда его год рождения можно представить в виде $19xy$, где $x$ и $y$ — это цифры десятков и единиц года (целые числа от 0 до 9).

Представим год рождения $Y$ в виде математического выражения:

$Y = 1000 \cdot 1 + 9 \cdot 100 + 10 \cdot x + 1 \cdot y = 1900 + 10x + y$

Сумма цифр года рождения $S(Y)$ будет равна:

$S(Y) = 1 + 9 + x + y = 10 + x + y$

Теперь подставим выражения для $Y$ и $S(Y)$ в наше основное уравнение:

$1967 - (1900 + 10x + y) = 10 + x + y$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$67 - 10x - y = 10 + x + y$

Соберем все слагаемые с переменными в одной части уравнения, а числовые константы — в другой:

$67 - 10 = 10x + x + y + y$

$57 = 11x + 2y$

Мы получили линейное диофантово уравнение с двумя переменными, где $x$ и $y$ могут быть только цифрами от 0 до 9. Решим его методом подбора.

Выразим $2y$ из уравнения:

$2y = 57 - 11x$

Левая часть уравнения ($2y$) — всегда четное число. Следовательно, и правая часть ($57 - 11x$) должна быть четной. Число 57 нечетное. Разность будет четной только в том случае, если вычитаемое ($11x$) тоже нечетное. Произведение $11x$ будет нечетным, только если $x$ — нечетная цифра.

Проверим все возможные нечетные значения для $x$ (1, 3, 5, 7, 9):

• Если $x = 1$, то $2y = 57 - 11 \cdot 1 = 46 \implies y = 23$. Не подходит, так как $y$ — это цифра.
• Если $x = 3$, то $2y = 57 - 11 \cdot 3 = 57 - 33 = 24 \implies y = 12$. Не подходит.
• Если $x = 5$, то $2y = 57 - 11 \cdot 5 = 57 - 55 = 2 \implies y = 1$. Подходит, так как $y=1$ — это цифра.
• Если $x = 7$, то $2y = 57 - 11 \cdot 7 = 57 - 77 = -20 \implies y = -10$. Не подходит.

Таким образом, мы нашли единственную пару цифр, удовлетворяющую условиям: $x=5$ и $y=1$.

Значит, год рождения господина — 1951.

Теперь найдем его возраст в 1967 году. Это и есть ответ на вопрос задачи. Возраст можно найти двумя способами по формулам, которые мы вывели ранее:

1. Через разность лет: $A = 1967 - 1951 = 16$ лет.

2. Через сумму цифр года рождения: $A = S(1951) = 1 + 9 + 5 + 1 = 16$ лет.

Результаты совпадают, следовательно, решение верно.

Ответ: 16 лет.