Номер 277, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 277, страница 397.

277 Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе $4\%$, на втором — $6\frac{2}{3}\%$, на третьем — $6\frac{1}{4}\%$ и на четвёртом — $14\frac{2}{7}\%$ в месяц. По окончании реконструкции первоначальный объём производства на предприятии сократился на $37\%$. Определите продолжительность периода реконструкции.

Пусть $P_0$ — первоначальный объём производства. Обозначим продолжительность каждого из четырёх этапов реконструкции в месяцах как $n_1, n_2, n_3, n_4$. По условию задачи, $n_1, n_2, n_3, n_4$ являются целыми положительными числами.

Ежемесячное падение производства означает, что объём умножается на некоторый коэффициент, меньший единицы. Если падение составляет $r$ процентов, то коэффициент равен $(1 - r/100)$. За $n$ месяцев объём умножится на этот коэффициент $n$ раз, то есть на $(1 - r/100)^n$.

Определим коэффициенты сохранения объёма производства для каждого этапа:
1. Первый этап: падение 4%. Коэффициент за месяц: $k_1 = 1 - 0,04 = 0,96 = \frac{96}{100} = \frac{24}{25}$.
2. Второй этап: падение $6\frac{2}{3}\% = \frac{20}{3}\%$. Коэффициент за месяц: $k_2 = 1 - \frac{20}{3 \cdot 100} = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$.
3. Третий этап: падение $6\frac{1}{4}\% = \frac{25}{4}\%$. Коэффициент за месяц: $k_3 = 1 - \frac{25}{4 \cdot 100} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
4. Четвёртый этап: падение $14\frac{2}{7}\% = \frac{100}{7}\%$. Коэффициент за месяц: $k_4 = 1 - \frac{100}{7 \cdot 100} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$.

По окончании реконструкции объём производства сократился на 37%, то есть итоговый объём $P_{final}$ составил $1 - 0,37 = 0,63$ от первоначального $P_0$. Связь между начальным и конечным объёмами производства выражается формулой:
$P_{final} = P_0 \cdot k_1^{n_1} \cdot k_2^{n_2} \cdot k_3^{n_3} \cdot k_4^{n_4}$

Подставляя значения и сокращая на $P_0$, получаем:
$0,63 = \left(\frac{24}{25}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{14}{15}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{15}{16}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{n_4}$

Представим 0,63 в виде дроби $\frac{63}{100}$ и разложим все числа в уравнении на простые множители:
$\frac{3^2 \cdot 7}{2^2 \cdot 5^2} = \left(\frac{2^3 \cdot 3}{5^2}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{3 \cdot 5}{2^4}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{2 \cdot 3}{7}\right)^{n_4}$

Сгруппируем степени одинаковых простых множителей в правой части уравнения:
Правая часть = $2^{3n_1+n_2+n_4-4n_3} \cdot 3^{n_1+n_3+n_4-n_2} \cdot 5^{n_3-2n_1-n_2} \cdot 7^{n_2-n_4}$
Левая часть = $2^{-2} \cdot 3^2 \cdot 5^{-2} \cdot 7^1$.

Приравнивая показатели степеней для каждого простого множителя, получаем систему линейных уравнений:
1) $3n_1 + n_2 - 4n_3 + n_4 = -2$ (для основания 2)
2) $n_1 + n_3 + n_4 - n_2 = 2$ (для основания 3)
3) $n_3 - 2n_1 - n_2 = -2$ (для основания 5)
4) $n_2 - n_4 = 1$ (для основания 7)

Решим эту систему. Из четвёртого уравнения имеем $n_2 = n_4 + 1$. Поскольку $n_4$ — целое положительное число ($n_4 \ge 1$), то $n_2 \ge 2$. Подставим $n_2$ в остальные уравнения:
1) $3n_1 + (n_4+1) - 4n_3 + n_4 = -2 \implies 3n_1 - 4n_3 + 2n_4 = -3$
2) $n_1 - (n_4+1) + n_3 + n_4 = 2 \implies n_1 + n_3 - 1 = 2 \implies n_1 + n_3 = 3$
3) $-2n_1 - (n_4+1) + n_3 = -2 \implies -2n_1 + n_3 - n_4 = -1$

Из уравнения $n_1 + n_3 = 3$ и условия, что $n_1, n_3$ — целые положительные числа, следуют два возможных случая:
Случай 1: $n_1 = 1, n_3 = 2$.
Подставим эти значения в остальные два уравнения:
$3(1) - 4(2) + 2n_4 = -3 \implies -5 + 2n_4 = -3 \implies 2n_4 = 2 \implies n_4 = 1$.
$-2(1) + 2 - n_4 = -1 \implies -n_4 = -1 \implies n_4 = 1$.
Оба уравнения дают $n_4 = 1$. Это целое положительное число, так что решение найдено. Теперь находим $n_2 = n_4 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Итак, $n_1=1, n_2=2, n_3=2, n_4=1$.
Случай 2: $n_1 = 2, n_3 = 1$.
Подставим в первое уравнение: $3(2) - 4(1) + 2n_4 = -3 \implies 2 + 2n_4 = -3 \implies 2n_4 = -5 \implies n_4 = -2,5$.
Это значение не является целым положительным, поэтому данный случай не подходит.

Единственное возможное решение: $n_1 = 1$ месяц, $n_2 = 2$ месяца, $n_3 = 2$ месяца и $n_4 = 1$ месяц.

Общая продолжительность периода реконструкции равна сумме продолжительностей всех этапов:
$T = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$ месяцев.

Ответ: 6 месяцев.