Номер 276, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 276, страница 397.

276 За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем $11\frac{1}{9}\%$, потом $7\frac{1}{7}\%$ и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада.

Пусть $S$ — первоначальная сумма вклада, а $n_1, n_2, n_3, n_4$ — количество месяцев, в течение которых действовала каждая из четырех процентных ставок соответственно. По условию, $n_1, n_2, n_3, n_4$ — целые положительные числа.

По истечении срока хранения сумма вклада увеличилась на 180%, то есть итоговая сумма составила $S + 1.8S = 2.8S$.

Рассчитаем коэффициенты, на которые ежемесячно увеличивалась сумма вклада для каждой процентной ставки:

• Первая ставка: $5\%$. Коэффициент увеличения: $k_1 = 1 + \frac{5}{100} = 1.05 = \frac{105}{100} = \frac{21}{20}$.
• Вторая ставка: $11\frac{1}{9}\% = \frac{100}{9}\%$. Коэффициент увеличения: $k_2 = 1 + \frac{100/9}{100} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$.
• Третья ставка: $7\frac{1}{7}\% = \frac{50}{7}\%$. Коэффициент увеличения: $k_3 = 1 + \frac{50/7}{100} = 1 + \frac{1}{14} = \frac{15}{14}$.
• Четвертая ставка: $12\%$. Коэффициент увеличения: $k_4 = 1 + \frac{12}{100} = 1.12 = \frac{112}{100} = \frac{28}{25}$.

Итоговая сумма вклада $S_{final}$ после последовательного начисления процентов в течение $n_1, n_2, n_3, n_4$ месяцев вычисляется по формуле сложных процентов:

$S_{final} = S \cdot (k_1)^{n_1} \cdot (k_2)^{n_2} \cdot (k_3)^{n_3} \cdot (k_4)^{n_4}$

Подставим известные значения:

$2.8S = S \cdot \left(\frac{21}{20}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{10}{9}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{15}{14}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{28}{25}\right)^{n_4}$

Разделим обе части уравнения на $S$ (при $S \neq 0$) и представим $2.8$ в виде дроби $2.8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$:

$\left(\frac{21}{20}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{10}{9}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{15}{14}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{28}{25}\right)^{n_4} = \frac{14}{5}$

Для решения этого уравнения в целых числах разложим основания дробей на простые множители:

$\frac{21}{20} = \frac{3 \cdot 7}{2^2 \cdot 5}$

$\frac{10}{9} = \frac{2 \cdot 5}{3^2}$

$\frac{15}{14} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 7}$

$\frac{28}{25} = \frac{2^2 \cdot 7}{5^2}$

$\frac{14}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5}$

Подставим разложения в уравнение:

$\left(\frac{3 \cdot 7}{2^2 \cdot 5}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{2 \cdot 5}{3^2}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 7}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{2^2 \cdot 7}{5^2}\right)^{n_4} = \frac{2^1 \cdot 7^1}{5^1}$

Сгруппируем степени по основаниям 2, 3, 5 и 7:

$\frac{3^{n_1} \cdot 7^{n_1}}{2^{2n_1} \cdot 5^{n_1}} \cdot \frac{2^{n_2} \cdot 5^{n_2}}{3^{2n_2}} \cdot \frac{3^{n_3} \cdot 5^{n_3}}{2^{n_3} \cdot 7^{n_3}} \cdot \frac{2^{2n_4} \cdot 7^{n_4}}{5^{2n_4}} = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^{-1} \cdot 7^1$

$2^{n_2+2n_4-2n_1-n_3} \cdot 3^{n_1+n_3-2n_2} \cdot 5^{n_2+n_3-n_1-2n_4} \cdot 7^{n_1+n_4-n_3} = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^{-1} \cdot 7^1$

Приравняем показатели степеней для каждого простого основания:

1. Для основания 2: $n_2 + 2n_4 - 2n_1 - n_3 = 1$
2. Для основания 3: $n_1 + n_3 - 2n_2 = 0$
3. Для основания 5: $n_2 + n_3 - n_1 - 2n_4 = -1$
4. Для основания 7: $n_1 + n_4 - n_3 = 1$

Получили систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Решим ее.

Сложим уравнение (1) и (3):

$(n_2 + 2n_4 - 2n_1 - n_3) + (n_2 + n_3 - n_1 - 2n_4) = 1 + (-1)$

$2n_2 - 3n_1 = 0 \implies 3n_1 = 2n_2$

Так как $n_1$ и $n_2$ — натуральные числа, а числа 2 и 3 взаимно простые, то $n_1$ должно быть кратно 2, а $n_2$ — кратно 3. Пусть $n_1 = 2k$ и $n_2 = 3k$ для некоторого натурального числа $k$.

Подставим эти выражения в уравнение (2):

$n_1 + n_3 - 2n_2 = 0 \implies (2k) + n_3 - 2(3k) = 0 \implies 2k + n_3 - 6k = 0 \implies n_3 = 4k$

Теперь подставим выражения для $n_1$ и $n_3$ в уравнение (4):

$n_1 + n_4 - n_3 = 1 \implies (2k) + n_4 - (4k) = 1 \implies n_4 - 2k = 1 \implies n_4 = 2k + 1$

Итак, мы получили общее решение для $n_1, n_2, n_3, n_4$ в натуральных числах:

$n_1 = 2k, \quad n_2 = 3k, \quad n_3 = 4k, \quad n_4 = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{N}$.

Поскольку в задаче требуется определить конкретный срок, найдем наименьшее возможное решение, которое соответствует $k=1$.

При $k=1$ получаем:

$n_1 = 2(1) = 2$ месяца

$n_2 = 3(1) = 3$ месяца

$n_3 = 4(1) = 4$ месяца

$n_4 = 2(1) + 1 = 3$ месяца

Общий срок хранения вклада равен сумме этих периодов:

$N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 2 + 3 + 4 + 3 = 12$ месяцев.

Ответ: 12 месяцев.