Страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

273 Возраст некоего господина в 1967 г. равнялся сумме цифр года его рождения. Сколько лет было господину в 1967 г.?

Решение:

Пусть год рождения господина - это $Y$, а его возраст в 1967 году - $A$.

Возраст человека в определенном году вычисляется как разность между этим годом и годом рождения:

$A = 1967 - Y$

По условию задачи, возраст господина в 1967 году ($A$) равен сумме цифр года его рождения. Обозначим сумму цифр года $Y$ как $S(Y)$.

$A = S(Y)$

Объединив два этих равенства, получим основное уравнение:

$1967 - Y = S(Y)$

Поскольку действие происходит в 1967 году, логично предположить, что господин родился в XX веке. Тогда его год рождения можно представить в виде $19xy$, где $x$ и $y$ — это цифры десятков и единиц года (целые числа от 0 до 9).

Представим год рождения $Y$ в виде математического выражения:

$Y = 1000 \cdot 1 + 9 \cdot 100 + 10 \cdot x + 1 \cdot y = 1900 + 10x + y$

Сумма цифр года рождения $S(Y)$ будет равна:

$S(Y) = 1 + 9 + x + y = 10 + x + y$

Теперь подставим выражения для $Y$ и $S(Y)$ в наше основное уравнение:

$1967 - (1900 + 10x + y) = 10 + x + y$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$67 - 10x - y = 10 + x + y$

Соберем все слагаемые с переменными в одной части уравнения, а числовые константы — в другой:

$67 - 10 = 10x + x + y + y$

$57 = 11x + 2y$

Мы получили линейное диофантово уравнение с двумя переменными, где $x$ и $y$ могут быть только цифрами от 0 до 9. Решим его методом подбора.

Выразим $2y$ из уравнения:

$2y = 57 - 11x$

Левая часть уравнения ($2y$) — всегда четное число. Следовательно, и правая часть ($57 - 11x$) должна быть четной. Число 57 нечетное. Разность будет четной только в том случае, если вычитаемое ($11x$) тоже нечетное. Произведение $11x$ будет нечетным, только если $x$ — нечетная цифра.

Проверим все возможные нечетные значения для $x$ (1, 3, 5, 7, 9):

• Если $x = 1$, то $2y = 57 - 11 \cdot 1 = 46 \implies y = 23$. Не подходит, так как $y$ — это цифра.
• Если $x = 3$, то $2y = 57 - 11 \cdot 3 = 57 - 33 = 24 \implies y = 12$. Не подходит.
• Если $x = 5$, то $2y = 57 - 11 \cdot 5 = 57 - 55 = 2 \implies y = 1$. Подходит, так как $y=1$ — это цифра.
• Если $x = 7$, то $2y = 57 - 11 \cdot 7 = 57 - 77 = -20 \implies y = -10$. Не подходит.

Таким образом, мы нашли единственную пару цифр, удовлетворяющую условиям: $x=5$ и $y=1$.

Значит, год рождения господина — 1951.

Теперь найдем его возраст в 1967 году. Это и есть ответ на вопрос задачи. Возраст можно найти двумя способами по формулам, которые мы вывели ранее:

1. Через разность лет: $A = 1967 - 1951 = 16$ лет.

2. Через сумму цифр года рождения: $A = S(1951) = 1 + 9 + 5 + 1 = 16$ лет.

Результаты совпадают, следовательно, решение верно.

Ответ: 16 лет.

274 Определите число студентов, сдавших экзамен, если известно, что шестая часть из них получили оценку «удовлетворительно», $56\%$ получили оценку «хорошо», а 14 человек получили оценку «отлично», причём эти отличники составляют более $4\%$, но менее $5\%$ от искомого числа студентов.

Пусть $N$ — искомое число студентов, сдавших экзамен. Согласно условию задачи, $N$ является целым положительным числом.

Из условия известно, что шестая часть студентов получили оценку «удовлетворительно». Число этих студентов составляет $\frac{1}{6}N$. Поскольку количество студентов не может быть дробным числом, $N$ должно делиться на 6 без остатка.

Далее, 56% студентов получили оценку «хорошо». Число этих студентов составляет $0.56N$. Переведем проценты в обыкновенную дробь: $0.56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$. Значит, число студентов, получивших «хорошо», равно $\frac{14}{25}N$. Для того чтобы это число было целым, $N$ должно делиться на 25 без остатка.

Итак, $N$ должно быть кратно одновременно 6 и 25. Так как числа 6 и 25 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), $N$ должно быть кратно их произведению:$N$ кратно $6 \times 25 = 150$.Следовательно, возможные значения для $N$ — это 150, 300, 450, 600 и так далее.

Также в задаче указано, что 14 студентов получили оценку «отлично», и это количество составляет более 4%, но менее 5% от общего числа студентов $N$. Запишем это условие в виде двойного неравенства:$4\% < \frac{14}{N} \times 100\% < 5\%$Перейдем от процентов к долям, разделив все части на 100:$0.04 < \frac{14}{N} < 0.05$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:
1) $0.04 \cdot N < 14$
2) $14 < 0.05 \cdot N$

Решим первое неравенство:$N < \frac{14}{0.04}$$N < \frac{1400}{4}$$N < 350$

Решим второе неравенство:$N > \frac{14}{0.05}$$N > \frac{1400}{5}$$N > 280$

Объединяя результаты, получаем, что искомое число студентов $N$ должно находиться в интервале $(280, 350)$, то есть $280 < N < 350$.

Теперь необходимо найти число, которое удовлетворяет обоим условиям: оно должно быть кратно 150 и лежать в интервале от 280 до 350. Единственное такое число — это 300.

Ответ: 300 студентов.

275 Определите число студентов, сдавших экзамен, если известно, что третья часть из них получили оценку «удовлетворительно», $44\%$ получили оценку «хорошо», а пять человек получили оценку «отлично», причём эти отличники составляют более $3\%$, но менее $4\%$ от искомого числа студентов.

Пусть $N$ — искомое общее число студентов, сдавших экзамен.

Исходя из условий задачи, определим свойства числа $N$:

1. Третья часть студентов получила оценку «удовлетворительно». Это означает, что их число равно $\frac{1}{3}N$. Поскольку количество студентов — это целое число, $N$ должно делиться на 3 без остатка.

2. 44% студентов получили оценку «хорошо». Их число составляет $0.44N$. Представим проценты в виде обыкновенной дроби: $0.44N = \frac{44}{100}N = \frac{11}{25}N$. Так как это число также должно быть целым, $N$ должно делиться на 25 без остатка.

Из этих двух условий следует, что общее число студентов $N$ должно быть кратно одновременно 3 и 25. Так как числа 3 и 25 взаимно простые, $N$ должно быть кратно их произведению: $3 \cdot 25 = 75$. Таким образом, возможные значения для $N$ — это 75, 150, 225 и так далее.

3. Пять человек получили оценку «отлично». По условию, это число составляет более 3%, но менее 4% от общего числа студентов $N$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$3\% \text{ от } N < 5 < 4\% \text{ от } N$
$0.03 \cdot N < 5 < 0.04 \cdot N$

Решим это неравенство относительно $N$, разбив его на две части:
- Из левой части $0.03N < 5$ следует, что $N < \frac{5}{0.03}$, то есть $N < \frac{500}{3}$ или $N < 166.66...$
- Из правой части $5 < 0.04N$ следует, что $N > \frac{5}{0.04}$, то есть $N > \frac{500}{4}$ или $N > 125$.

Объединив результаты, получаем, что искомое число студентов $N$ должно удовлетворять неравенству $125 < N < 166.66...$

Теперь необходимо найти целое число, которое кратно 75 и находится в полученном интервале $(125; 166.66...)$.
Рассмотрим числа, кратные 75: $75, 150, 225, ...$
Единственное число из этого ряда, которое попадает в наш интервал, — это 150.

Следовательно, общее число студентов, сдавших экзамен, равно 150.

Ответ: 150.

276 За время хранения вклада в банке проценты по нему начислялись ежемесячно сначала в размере 5% в месяц, затем $11\frac{1}{9}\%$, потом $7\frac{1}{7}\%$ и, наконец, 12% в месяц. Известно, что под действием каждой новой процентной ставки вклад находился целое число месяцев, а по истечении срока хранения первоначальная сумма вклада увеличилась на 180%. Определите срок хранения вклада.

Пусть $S$ — первоначальная сумма вклада, а $n_1, n_2, n_3, n_4$ — количество месяцев, в течение которых действовала каждая из четырех процентных ставок соответственно. По условию, $n_1, n_2, n_3, n_4$ — целые положительные числа.

По истечении срока хранения сумма вклада увеличилась на 180%, то есть итоговая сумма составила $S + 1.8S = 2.8S$.

Рассчитаем коэффициенты, на которые ежемесячно увеличивалась сумма вклада для каждой процентной ставки:

• Первая ставка: $5\%$. Коэффициент увеличения: $k_1 = 1 + \frac{5}{100} = 1.05 = \frac{105}{100} = \frac{21}{20}$.
• Вторая ставка: $11\frac{1}{9}\% = \frac{100}{9}\%$. Коэффициент увеличения: $k_2 = 1 + \frac{100/9}{100} = 1 + \frac{1}{9} = \frac{10}{9}$.
• Третья ставка: $7\frac{1}{7}\% = \frac{50}{7}\%$. Коэффициент увеличения: $k_3 = 1 + \frac{50/7}{100} = 1 + \frac{1}{14} = \frac{15}{14}$.
• Четвертая ставка: $12\%$. Коэффициент увеличения: $k_4 = 1 + \frac{12}{100} = 1.12 = \frac{112}{100} = \frac{28}{25}$.

Итоговая сумма вклада $S_{final}$ после последовательного начисления процентов в течение $n_1, n_2, n_3, n_4$ месяцев вычисляется по формуле сложных процентов:

$S_{final} = S \cdot (k_1)^{n_1} \cdot (k_2)^{n_2} \cdot (k_3)^{n_3} \cdot (k_4)^{n_4}$

Подставим известные значения:

$2.8S = S \cdot \left(\frac{21}{20}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{10}{9}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{15}{14}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{28}{25}\right)^{n_4}$

Разделим обе части уравнения на $S$ (при $S \neq 0$) и представим $2.8$ в виде дроби $2.8 = \frac{28}{10} = \frac{14}{5}$:

$\left(\frac{21}{20}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{10}{9}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{15}{14}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{28}{25}\right)^{n_4} = \frac{14}{5}$

Для решения этого уравнения в целых числах разложим основания дробей на простые множители:

$\frac{21}{20} = \frac{3 \cdot 7}{2^2 \cdot 5}$

$\frac{10}{9} = \frac{2 \cdot 5}{3^2}$

$\frac{15}{14} = \frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 7}$

$\frac{28}{25} = \frac{2^2 \cdot 7}{5^2}$

$\frac{14}{5} = \frac{2 \cdot 7}{5}$

Подставим разложения в уравнение:

$\left(\frac{3 \cdot 7}{2^2 \cdot 5}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{2 \cdot 5}{3^2}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{3 \cdot 5}{2 \cdot 7}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{2^2 \cdot 7}{5^2}\right)^{n_4} = \frac{2^1 \cdot 7^1}{5^1}$

Сгруппируем степени по основаниям 2, 3, 5 и 7:

$\frac{3^{n_1} \cdot 7^{n_1}}{2^{2n_1} \cdot 5^{n_1}} \cdot \frac{2^{n_2} \cdot 5^{n_2}}{3^{2n_2}} \cdot \frac{3^{n_3} \cdot 5^{n_3}}{2^{n_3} \cdot 7^{n_3}} \cdot \frac{2^{2n_4} \cdot 7^{n_4}}{5^{2n_4}} = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^{-1} \cdot 7^1$

$2^{n_2+2n_4-2n_1-n_3} \cdot 3^{n_1+n_3-2n_2} \cdot 5^{n_2+n_3-n_1-2n_4} \cdot 7^{n_1+n_4-n_3} = 2^1 \cdot 3^0 \cdot 5^{-1} \cdot 7^1$

Приравняем показатели степеней для каждого простого основания:

1. Для основания 2: $n_2 + 2n_4 - 2n_1 - n_3 = 1$
2. Для основания 3: $n_1 + n_3 - 2n_2 = 0$
3. Для основания 5: $n_2 + n_3 - n_1 - 2n_4 = -1$
4. Для основания 7: $n_1 + n_4 - n_3 = 1$

Получили систему из четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными. Решим ее.

Сложим уравнение (1) и (3):

$(n_2 + 2n_4 - 2n_1 - n_3) + (n_2 + n_3 - n_1 - 2n_4) = 1 + (-1)$

$2n_2 - 3n_1 = 0 \implies 3n_1 = 2n_2$

Так как $n_1$ и $n_2$ — натуральные числа, а числа 2 и 3 взаимно простые, то $n_1$ должно быть кратно 2, а $n_2$ — кратно 3. Пусть $n_1 = 2k$ и $n_2 = 3k$ для некоторого натурального числа $k$.

Подставим эти выражения в уравнение (2):

$n_1 + n_3 - 2n_2 = 0 \implies (2k) + n_3 - 2(3k) = 0 \implies 2k + n_3 - 6k = 0 \implies n_3 = 4k$

Теперь подставим выражения для $n_1$ и $n_3$ в уравнение (4):

$n_1 + n_4 - n_3 = 1 \implies (2k) + n_4 - (4k) = 1 \implies n_4 - 2k = 1 \implies n_4 = 2k + 1$

Итак, мы получили общее решение для $n_1, n_2, n_3, n_4$ в натуральных числах:

$n_1 = 2k, \quad n_2 = 3k, \quad n_3 = 4k, \quad n_4 = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{N}$.

Поскольку в задаче требуется определить конкретный срок, найдем наименьшее возможное решение, которое соответствует $k=1$.

При $k=1$ получаем:

$n_1 = 2(1) = 2$ месяца

$n_2 = 3(1) = 3$ месяца

$n_3 = 4(1) = 4$ месяца

$n_4 = 2(1) + 1 = 3$ месяца

Общий срок хранения вклада равен сумме этих периодов:

$N = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 2 + 3 + 4 + 3 = 12$ месяцев.

Ответ: 12 месяцев.

277 Техническая реконструкция предприятия была проведена в четыре этапа. Каждый из этапов продолжался целое число месяцев и сопровождался падением производства. Ежемесячное падение производства составило на первом этапе $4\%$, на втором — $6\frac{2}{3}\%$, на третьем — $6\frac{1}{4}\%$ и на четвёртом — $14\frac{2}{7}\%$ в месяц. По окончании реконструкции первоначальный объём производства на предприятии сократился на $37\%$. Определите продолжительность периода реконструкции.

Пусть $P_0$ — первоначальный объём производства. Обозначим продолжительность каждого из четырёх этапов реконструкции в месяцах как $n_1, n_2, n_3, n_4$. По условию задачи, $n_1, n_2, n_3, n_4$ являются целыми положительными числами.

Ежемесячное падение производства означает, что объём умножается на некоторый коэффициент, меньший единицы. Если падение составляет $r$ процентов, то коэффициент равен $(1 - r/100)$. За $n$ месяцев объём умножится на этот коэффициент $n$ раз, то есть на $(1 - r/100)^n$.

Определим коэффициенты сохранения объёма производства для каждого этапа:
1. Первый этап: падение 4%. Коэффициент за месяц: $k_1 = 1 - 0,04 = 0,96 = \frac{96}{100} = \frac{24}{25}$.
2. Второй этап: падение $6\frac{2}{3}\% = \frac{20}{3}\%$. Коэффициент за месяц: $k_2 = 1 - \frac{20}{3 \cdot 100} = 1 - \frac{1}{15} = \frac{14}{15}$.
3. Третий этап: падение $6\frac{1}{4}\% = \frac{25}{4}\%$. Коэффициент за месяц: $k_3 = 1 - \frac{25}{4 \cdot 100} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$.
4. Четвёртый этап: падение $14\frac{2}{7}\% = \frac{100}{7}\%$. Коэффициент за месяц: $k_4 = 1 - \frac{100}{7 \cdot 100} = 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7}$.

По окончании реконструкции объём производства сократился на 37%, то есть итоговый объём $P_{final}$ составил $1 - 0,37 = 0,63$ от первоначального $P_0$. Связь между начальным и конечным объёмами производства выражается формулой:
$P_{final} = P_0 \cdot k_1^{n_1} \cdot k_2^{n_2} \cdot k_3^{n_3} \cdot k_4^{n_4}$

Подставляя значения и сокращая на $P_0$, получаем:
$0,63 = \left(\frac{24}{25}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{14}{15}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{15}{16}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{6}{7}\right)^{n_4}$

Представим 0,63 в виде дроби $\frac{63}{100}$ и разложим все числа в уравнении на простые множители:
$\frac{3^2 \cdot 7}{2^2 \cdot 5^2} = \left(\frac{2^3 \cdot 3}{5^2}\right)^{n_1} \cdot \left(\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5}\right)^{n_2} \cdot \left(\frac{3 \cdot 5}{2^4}\right)^{n_3} \cdot \left(\frac{2 \cdot 3}{7}\right)^{n_4}$

Сгруппируем степени одинаковых простых множителей в правой части уравнения:
Правая часть = $2^{3n_1+n_2+n_4-4n_3} \cdot 3^{n_1+n_3+n_4-n_2} \cdot 5^{n_3-2n_1-n_2} \cdot 7^{n_2-n_4}$
Левая часть = $2^{-2} \cdot 3^2 \cdot 5^{-2} \cdot 7^1$.

Приравнивая показатели степеней для каждого простого множителя, получаем систему линейных уравнений:
1) $3n_1 + n_2 - 4n_3 + n_4 = -2$ (для основания 2)
2) $n_1 + n_3 + n_4 - n_2 = 2$ (для основания 3)
3) $n_3 - 2n_1 - n_2 = -2$ (для основания 5)
4) $n_2 - n_4 = 1$ (для основания 7)

Решим эту систему. Из четвёртого уравнения имеем $n_2 = n_4 + 1$. Поскольку $n_4$ — целое положительное число ($n_4 \ge 1$), то $n_2 \ge 2$. Подставим $n_2$ в остальные уравнения:
1) $3n_1 + (n_4+1) - 4n_3 + n_4 = -2 \implies 3n_1 - 4n_3 + 2n_4 = -3$
2) $n_1 - (n_4+1) + n_3 + n_4 = 2 \implies n_1 + n_3 - 1 = 2 \implies n_1 + n_3 = 3$
3) $-2n_1 - (n_4+1) + n_3 = -2 \implies -2n_1 + n_3 - n_4 = -1$

Из уравнения $n_1 + n_3 = 3$ и условия, что $n_1, n_3$ — целые положительные числа, следуют два возможных случая:
Случай 1: $n_1 = 1, n_3 = 2$.
Подставим эти значения в остальные два уравнения:
$3(1) - 4(2) + 2n_4 = -3 \implies -5 + 2n_4 = -3 \implies 2n_4 = 2 \implies n_4 = 1$.
$-2(1) + 2 - n_4 = -1 \implies -n_4 = -1 \implies n_4 = 1$.
Оба уравнения дают $n_4 = 1$. Это целое положительное число, так что решение найдено. Теперь находим $n_2 = n_4 + 1 = 1 + 1 = 2$.
Итак, $n_1=1, n_2=2, n_3=2, n_4=1$.
Случай 2: $n_1 = 2, n_3 = 1$.
Подставим в первое уравнение: $3(2) - 4(1) + 2n_4 = -3 \implies 2 + 2n_4 = -3 \implies 2n_4 = -5 \implies n_4 = -2,5$.
Это значение не является целым положительным, поэтому данный случай не подходит.

Единственное возможное решение: $n_1 = 1$ месяц, $n_2 = 2$ месяца, $n_3 = 2$ месяца и $n_4 = 1$ месяц.

Общая продолжительность периода реконструкции равна сумме продолжительностей всех этапов:
$T = n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 1 + 2 + 2 + 1 = 6$ месяцев.

Ответ: 6 месяцев.

278 Среди абитуриентов, выдержавших приёмные экзамены в вуз, оценку «отлично» получили: по математике — 48 абитуриентов, по физике — 37, по русскому языку — 42, по математике или физике — 75, по математике или русскому языку — 76, по физике или русскому языку — 66, по всем трём предметам — 4. Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку? Сколько среди них получивших только одну пятёрку?

Для решения этой задачи используется принцип включений-исключений из теории множеств. Давайте введем обозначения для множеств абитуриентов, получивших оценку «отлично»:

М - множество абитуриентов, получивших «отлично» по математике.

Ф - множество абитуриентов, получивших «отлично» по физике.

Р - множество абитуриентов, получивших «отлично» по русскому языку.

Исходя из условия, мы имеем следующие данные о мощностях (количестве элементов) этих множеств и их объединений/пересечений:

$|М| = 48$

$|Ф| = 37$

$|Р| = 42$

$|М \cup Ф| = 75$

$|М \cup Р| = 76$

$|Ф \cup Р| = 66$

$|М \cap Ф \cap Р| = 4$

Сколько абитуриентов получили хотя бы одну пятёрку?

Этот вопрос требует найти общее число абитуриентов, которые получили хотя бы одну оценку «отлично». Это соответствует нахождению мощности объединения трех множеств: $|М \cup Ф \cup Р|$.

Воспользуемся формулой включений-исключений для трех множеств:

$|М \cup Ф \cup Р| = |М| + |Ф| + |Р| - (|М \cap Ф| + |М \cap Р| + |Ф \cap Р|) + |М \cap Ф \cap Р|$

Прежде чем применить эту формулу, нам нужно найти мощности попарных пересечений ($|М \cap Ф|$, $|М \cap Р|$, $|Ф \cap Р|$). Их можно вычислить из формулы для объединения двух множеств: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$, откуда $|A \cap B| = |A| + |B| - |A \cup B|$.

Вычислим пересечения:

Количество получивших пятерки по математике и физике:
$|М \cap Ф| = |М| + |Ф| - |М \cup Ф| = 48 + 37 - 75 = 85 - 75 = 10$

Количество получивших пятерки по математике и русскому языку:
$|М \cap Р| = |М| + |Р| - |М \cup Р| = 48 + 42 - 76 = 90 - 76 = 14$

Количество получивших пятерки по физике и русскому языку:
$|Ф \cap Р| = |Ф| + |Р| - |Ф \cup Р| = 37 + 42 - 66 = 79 - 66 = 13$

Теперь подставим все найденные и данные значения в основную формулу:

$|М \cup Ф \cup Р| = (48 + 37 + 42) - (10 + 14 + 13) + 4$

$|М \cup Ф \cup Р| = 127 - 37 + 4 = 94$

Следовательно, 94 абитуриента получили хотя бы одну пятерку.

Ответ: 94

Сколько среди них получивших только одну пятёрку?

Чтобы найти количество абитуриентов, получивших ровно одну пятерку, обозначим через $N_1$ число абитуриентов с одной пятеркой, через $N_2$ — с двумя, и через $N_3$ — с тремя.

Из условия задачи нам известно, что $N_3 = |М \cap Ф \cap Р| = 4$.

Сумма мощностей попарных пересечений связана с $N_2$ и $N_3$ следующим образом (абитуриенты с тремя пятерками входят в каждое из трех попарных пересечений):

$|М \cap Ф| + |М \cap Р| + |Ф \cap Р| = N_2 + 3 \cdot N_3$

Подставим известные нам значения:

$10 + 14 + 13 = N_2 + 3 \cdot 4$

$37 = N_2 + 12$

$N_2 = 37 - 12 = 25$

Таким образом, 25 абитуриентов получили ровно две пятерки.

Сумма мощностей всех трех множеств связана с $N_1$, $N_2$ и $N_3$ так (абитуриенты с двумя пятерками учтены в двух множествах, с тремя — в трех):

$|М| + |Ф| + |Р| = N_1 + 2 \cdot N_2 + 3 \cdot N_3$

Подставим известные значения:

$48 + 37 + 42 = N_1 + 2 \cdot 25 + 3 \cdot 4$

$127 = N_1 + 50 + 12$

$127 = N_1 + 62$

$N_1 = 127 - 62 = 65$

Следовательно, 65 абитуриентов получили только одну пятерку.

Ответ: 65

279 За неделю до получения стипендии у четырёх студентов осталось 45 р. Если бы деньги первого студента увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвёртого уменьшить вдвое, то у всех четверых денег было бы поровну. Сколько денег было у каждого студента?

Обозначим первоначальное количество денег у каждого из четырех студентов как $s_1$, $s_2$, $s_3$ и $s_4$ соответственно.

По условию задачи, общая сумма денег у них составляет 45 рублей. Это дает нам первое уравнение:

$s_1 + s_2 + s_3 + s_4 = 45$

Также известно, что если бы деньги первого студента увеличить на 2 р., деньги второго уменьшить на 2 р., деньги третьего увеличить вдвое, а деньги четвёртого уменьшить вдвое, то у всех денег стало бы поровну. Обозначим эту новую, одинаковую для всех сумму денег как $x$. Тогда можно составить систему уравнений:

• $s_1 + 2 = x$
• $s_2 - 2 = x$
• $s_3 \cdot 2 = x$
• $s_4 / 2 = x$

Из этих соотношений выразим первоначальные суммы денег каждого студента через $x$:

• $s_1 = x - 2$
• $s_2 = x + 2$
• $s_3 = x / 2$
• $s_4 = 2x$

Теперь подставим полученные выражения в первое уравнение, описывающее общую сумму денег, чтобы найти $x$:

$(x - 2) + (x + 2) + (x / 2) + (2x) = 45$

Упростим и решим уравнение:

$x + x + 0.5x + 2x = 45$

$4.5x = 45$

$x = \frac{45}{4.5} = 10$

Теперь, зная, что $x=10$, можем найти первоначальное количество денег у каждого студента:

• У первого студента было: $s_1 = 10 - 2 = 8$ рублей.
• У второго студента было: $s_2 = 10 + 2 = 12$ рублей.
• У третьего студента было: $s_3 = 10 / 2 = 5$ рублей.
• У четвертого студента было: $s_4 = 2 \cdot 10 = 20$ рублей.

Ответ: у первого студента было 8 рублей, у второго – 12 рублей, у третьего – 5 рублей, а у четвертого – 20 рублей.