Номер 275, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 275, страница 397.

275 Определите число студентов, сдавших экзамен, если известно, что третья часть из них получили оценку «удовлетворительно», $44\%$ получили оценку «хорошо», а пять человек получили оценку «отлично», причём эти отличники составляют более $3\%$, но менее $4\%$ от искомого числа студентов.

Пусть $N$ — искомое общее число студентов, сдавших экзамен.

Исходя из условий задачи, определим свойства числа $N$:

1. Третья часть студентов получила оценку «удовлетворительно». Это означает, что их число равно $\frac{1}{3}N$. Поскольку количество студентов — это целое число, $N$ должно делиться на 3 без остатка.

2. 44% студентов получили оценку «хорошо». Их число составляет $0.44N$. Представим проценты в виде обыкновенной дроби: $0.44N = \frac{44}{100}N = \frac{11}{25}N$. Так как это число также должно быть целым, $N$ должно делиться на 25 без остатка.

Из этих двух условий следует, что общее число студентов $N$ должно быть кратно одновременно 3 и 25. Так как числа 3 и 25 взаимно простые, $N$ должно быть кратно их произведению: $3 \cdot 25 = 75$. Таким образом, возможные значения для $N$ — это 75, 150, 225 и так далее.

3. Пять человек получили оценку «отлично». По условию, это число составляет более 3%, но менее 4% от общего числа студентов $N$. Запишем это в виде двойного неравенства:
$3\% \text{ от } N < 5 < 4\% \text{ от } N$
$0.03 \cdot N < 5 < 0.04 \cdot N$

Решим это неравенство относительно $N$, разбив его на две части:
- Из левой части $0.03N < 5$ следует, что $N < \frac{5}{0.03}$, то есть $N < \frac{500}{3}$ или $N < 166.66...$
- Из правой части $5 < 0.04N$ следует, что $N > \frac{5}{0.04}$, то есть $N > \frac{500}{4}$ или $N > 125$.

Объединив результаты, получаем, что искомое число студентов $N$ должно удовлетворять неравенству $125 < N < 166.66...$

Теперь необходимо найти целое число, которое кратно 75 и находится в полученном интервале $(125; 166.66...)$.
Рассмотрим числа, кратные 75: $75, 150, 225, ...$
Единственное число из этого ряда, которое попадает в наш интервал, — это 150.

Следовательно, общее число студентов, сдавших экзамен, равно 150.

Ответ: 150.