Номер 274, страница 397 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 274, страница 397.

274 Определите число студентов, сдавших экзамен, если известно, что шестая часть из них получили оценку «удовлетворительно», $56\%$ получили оценку «хорошо», а 14 человек получили оценку «отлично», причём эти отличники составляют более $4\%$, но менее $5\%$ от искомого числа студентов.

Пусть $N$ — искомое число студентов, сдавших экзамен. Согласно условию задачи, $N$ является целым положительным числом.

Из условия известно, что шестая часть студентов получили оценку «удовлетворительно». Число этих студентов составляет $\frac{1}{6}N$. Поскольку количество студентов не может быть дробным числом, $N$ должно делиться на 6 без остатка.

Далее, 56% студентов получили оценку «хорошо». Число этих студентов составляет $0.56N$. Переведем проценты в обыкновенную дробь: $0.56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$. Значит, число студентов, получивших «хорошо», равно $\frac{14}{25}N$. Для того чтобы это число было целым, $N$ должно делиться на 25 без остатка.

Итак, $N$ должно быть кратно одновременно 6 и 25. Так как числа 6 и 25 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), $N$ должно быть кратно их произведению:$N$ кратно $6 \times 25 = 150$.Следовательно, возможные значения для $N$ — это 150, 300, 450, 600 и так далее.

Также в задаче указано, что 14 студентов получили оценку «отлично», и это количество составляет более 4%, но менее 5% от общего числа студентов $N$. Запишем это условие в виде двойного неравенства:$4\% < \frac{14}{N} \times 100\% < 5\%$Перейдем от процентов к долям, разделив все части на 100:$0.04 < \frac{14}{N} < 0.05$

Это двойное неравенство можно представить в виде системы двух неравенств:
1) $0.04 \cdot N < 14$
2) $14 < 0.05 \cdot N$

Решим первое неравенство:$N < \frac{14}{0.04}$$N < \frac{1400}{4}$$N < 350$

Решим второе неравенство:$N > \frac{14}{0.05}$$N > \frac{1400}{5}$$N > 280$

Объединяя результаты, получаем, что искомое число студентов $N$ должно находиться в интервале $(280, 350)$, то есть $280 < N < 350$.

Теперь необходимо найти число, которое удовлетворяет обоим условиям: оно должно быть кратно 150 и лежать в интервале от 280 до 350. Единственное такое число — это 300.

Ответ: 300 студентов.