Номер 267, страница 396 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 267, страница 396.

267 Двое рабочих, работая вместе, выполняют некоторую работу за 8 ч. Работая отдельно, первый из них может выполнить эту работу на 12 ч быстрее, чем второй. За сколько часов второй рабочий один может выполнить ту же работу?

Пусть $t$ — время в часах, за которое второй рабочий может выполнить всю работу, работая один.

Согласно условию, первый рабочий может выполнить эту же работу на 12 часов быстрее, следовательно, время первого рабочего составляет $t - 12$ часов. Важно отметить, что время работы должно быть положительной величиной, поэтому $t > 12$.

Производительность труда (часть работы, выполняемая за 1 час) для второго рабочего равна $\frac{1}{t}$, а для первого — $\frac{1}{t - 12}$.

Когда рабочие трудятся вместе, их производительности складываются. Совместная производительность равна $\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 12}$.

Из условия известно, что вместе они выполняют работу за 8 часов. Это означает, что их совместная производительность также равна $\frac{1}{8}$ часть работы в час.

Составим уравнение, приравняв два выражения для совместной производительности:

$\frac{1}{t} + \frac{1}{t - 12} = \frac{1}{8}$

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{t - 12 + t}{t(t - 12)} = \frac{1}{8}$

$\frac{2t - 12}{t^2 - 12t} = \frac{1}{8}$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение):

$8(2t - 12) = 1(t^2 - 12t)$

$16t - 96 = t^2 - 12t$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$t^2 - 12t - 16t + 96 = 0$

$t^2 - 28t + 96 = 0$

Решим это квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета или формулу для корней квадратного уравнения. По теореме Виета, ищем два числа, сумма которых равна 28, а произведение равно 96. Эти числа — 4 и 24.

Таким образом, получаем два возможных значения для $t$: $t_1 = 4$ и $t_2 = 24$.

Проверим оба корня. Вспомним наше ограничение $t > 12$.

1. Если $t = 4$, то время первого рабочего будет $4 - 12 = -8$ часов, что физически невозможно. Следовательно, этот корень не является решением задачи.

2. Если $t = 24$, то время первого рабочего будет $24 - 12 = 12$ часов. Это значение является допустимым.

Таким образом, единственное подходящее решение — $t = 24$ часа.

Ответ: 24 часа.