Номер 263, страница 395 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 263, страница 395.

263 Бассейн наполняется водой двумя трубами, работающими одновременно, за 12 ч. Если производительность первой трубы увеличить втрое, а производительность второй трубы уменьшить вдвое, то наполнение бассейна двумя одновременно работающими трубами произойдёт за 8 ч. За сколько часов наполняет бассейн каждая труба, работая с первоначальной производительностью?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть весь объем бассейна равен 1.

Пусть $p_1$ — производительность первой трубы (часть бассейна, которую она наполняет за 1 час), а $p_2$ — производительность второй трубы. Тогда время, за которое первая труба наполнит бассейн в одиночку, равно $t_1 = \frac{1}{p_1}$, а время для второй трубы — $t_2 = \frac{1}{p_2}$.

Согласно первому условию, две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 12 часов. Их совместная производительность составляет $p_1 + p_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:
$12 \cdot (p_1 + p_2) = 1$
$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, если производительность первой трубы увеличить втрое (новая производительность станет $3p_1$), а производительность второй уменьшить вдвое (новая производительность станет $\frac{p_2}{2}$), то бассейн наполнится за 8 часов. Составим второе уравнение:
$8 \cdot (3p_1 + \frac{p_2}{2}) = 1$
$3p_1 + \frac{p_2}{2} = \frac{1}{8}$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{12} \\ 3p_1 + \frac{p_2}{2} = \frac{1}{8} \end{cases}$

Выразим $p_2$ из первого уравнения:
$p_2 = \frac{1}{12} - p_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$3p_1 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{12} - p_1\right) = \frac{1}{8}$
$3p_1 + \frac{1}{24} - \frac{p_1}{2} = \frac{1}{8}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $p_1$:
$3p_1 - \frac{p_1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24}$
$\frac{6p_1 - p_1}{2} = \frac{3 - 1}{24}$
$\frac{5p_1}{2} = \frac{2}{24}$
$\frac{5p_1}{2} = \frac{1}{12}$
$5p_1 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$p_1 = \frac{1}{30}$

Итак, производительность первой трубы составляет $\frac{1}{30}$ бассейна в час. Теперь найдем производительность второй трубы:
$p_2 = \frac{1}{12} - p_1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{5}{60} - \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
Производительность второй трубы составляет $\frac{1}{20}$ бассейна в час.

Теперь мы можем найти время, за которое каждая труба наполнит бассейн, работая отдельно с первоначальной производительностью:
Время для первой трубы: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/30} = 30$ часов.
Время для второй трубы: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/20} = 20$ часов.

Ответ: первая труба, работая с первоначальной производительностью, наполнит бассейн за 30 часов, а вторая труба — за 20 часов.