Страница 395 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

255. Токарь ежедневно перевыполняет норму на 20 деталей. Сколько деталей ежедневно обрабатывает токарь, если пятидневную норму он выполняет за три дня?

Решение

Давайте обозначим переменными данные из условия задачи:

• Пусть $N$ — это плановая дневная норма деталей.
• Пусть $A$ — это фактическое количество деталей, которое токарь обрабатывает за день.

Из условия известно, что токарь ежедневно перевыполняет норму на 20 деталей. Это можно записать в виде уравнения:

$A = N + 20$

Также в условии сказано, что пятидневную норму он выполняет за три дня. Это означает, что общее количество деталей, которое он должен был сделать за 5 дней по плану, он делает за 3 дня с фактической производительностью.

Общее количество деталей по плану за 5 дней равно $5 \times N$.

Общее количество деталей, фактически сделанное за 3 дня, равно $3 \times A$.

Так как эти объемы работы равны, мы можем составить второе уравнение:

$5N = 3A$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1. $A = N + 20$
2. $5N = 3A$

Подставим выражение для $A$ из первого уравнения во второе:

$5N = 3(N + 20)$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти значение $N$:

$5N = 3N + 60$

$5N - 3N = 60$

$2N = 60$

$N = \frac{60}{2}$

$N = 30$

Мы нашли, что плановая дневная норма составляет 30 деталей. Вопрос задачи — сколько деталей ежедневно обрабатывает токарь, то есть нам нужно найти $A$.

Подставим значение $N$ в первое уравнение:

$A = 30 + 20 = 50$

Таким образом, токарь ежедневно обрабатывает 50 деталей.

Проверка:

Пятидневная норма: $5 \times 30 = 150$ деталей.

Фактическая работа за три дня: $3 \times 50 = 150$ деталей.

Результаты совпадают, значит, задача решена верно.

Ответ: 50 деталей.

256 Отец сказал: «Если удвоенный теперешний возраст моего сына уменьшить на утроенный возраст, который он имел 6 лет назад, то получится его возраст в данное время». Сколько лет сыну?

Для решения этой задачи введем переменную.

Пусть $x$ — это теперешний возраст сына в годах.

Исходя из этого, возраст сына 6 лет назад составлял $(x - 6)$ лет.

Согласно условию задачи: «Если удвоенный теперешний возраст моего сына уменьшить на утроенный возраст, который он имел 6 лет назад, то получится его возраст в данное время».

Переведем это условие в математическое уравнение:

Удвоенный теперешний возраст сына — это $2x$.

Утроенный возраст, который он имел 6 лет назад — это $3(x - 6)$.

Составим уравнение, приравняв разность этих величин к теперешнему возрасту сына: $2x - 3(x - 6) = x$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

1. Раскроем скобки в левой части уравнения, умножив $-3$ на каждый член в скобках: $2x - 3 \cdot x - 3 \cdot (-6) = x$ $2x - 3x + 18 = x$

2. Упростим левую часть, приведя подобные слагаемые: $-x + 18 = x$

3. Перенесем все члены с переменной $x$ в одну сторону, а числа — в другую. Для этого прибавим $x$ к обеим частям уравнения: $18 = x + x$

4. Сложим переменные в правой части: $18 = 2x$

5. Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 2: $x = \frac{18}{2}$ $x = 9$

Следовательно, теперешний возраст сына равен 9 годам.

Проверка:

Теперешний возраст сына — 9 лет.

Удвоенный теперешний возраст: $2 \cdot 9 = 18$ лет.

Возраст сына 6 лет назад: $9 - 6 = 3$ года.

Утроенный возраст сына 6 лет назад: $3 \cdot 3 = 9$ лет.

Найдем разность по условию задачи: $18 - 9 = 9$ лет.

Полученный результат (9 лет) равен теперешнему возрасту сына. Решение верное.

Ответ: Сыну 9 лет.

257 Для экскурсии нужно собрать денег. Если каждый экскурсант внесёт по 7,5 р., то на расходы не хватит 44 р. Если каждый внесёт по 8 р., то останется 44 р. Сколько человек принимало участие в экскурсии?

Для решения задачи введём переменную. Пусть $x$ — это количество человек, принимавших участие в экскурсии.

Определим общую стоимость расходов на экскурсию ($C$) исходя из двух условий.

1. Если каждый экскурсант внесёт по 7,5 р., то на расходы не хватит 44 р. Это означает, что общая собранная сумма ($7.5 \cdot x$) на 44 р. меньше, чем полная стоимость экскурсии. Это можно выразить уравнением:
$C = 7.5x + 44$

2. Если каждый внесёт по 8 р., то останется 44 р. Это означает, что общая собранная сумма ($8 \cdot x$) на 44 р. больше, чем полная стоимость экскурсии. Это можно выразить вторым уравнением:
$C = 8x - 44$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (это одна и та же стоимость экскурсии $C$), мы можем приравнять их правые части:
$7.5x + 44 = 8x - 44$

Теперь решим полученное уравнение, чтобы найти $x$. Перенесём слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а числовые значения — в другую:
$44 + 44 = 8x - 7.5x$
$88 = 0.5x$

Чтобы найти $x$, разделим обе части уравнения на 0,5:
$x = \frac{88}{0.5}$
$x = 176$

Таким образом, в экскурсии принимало участие 176 человек.

Ответ: 176 человек.

258 На трёх складах находится $420 \text{ м}^3$ дров. На первом складе $110 \text{ м}^3$, на втором складе на несколько кубометров больше, чем на первом, а на третьем — на столько же кубометров больше, чем на втором. Сколько кубометров дров на втором складе?

Для решения задачи введем переменные. Пусть объем дров на первом складе равен $V_1$, на втором — $V_2$, а на третьем — $V_3$. Общий объем дров на трех складах составляет $V_{общий} = 420$ м³.

Согласно условию, на первом складе находится 110 м³ дров:

$V_1 = 110$ м³

На втором складе на несколько кубометров больше, чем на первом. Обозначим эту неизвестную разницу в объеме через $x$. Тогда объем дров на втором складе можно выразить как:

$V_2 = V_1 + x = 110 + x$

На третьем складе дров на столько же кубометров больше, чем на втором. Это означает, что разница в объеме между третьим и вторым складами также равна $x$. Таким образом, объем дров на третьем складе:

$V_3 = V_2 + x = (110 + x) + x = 110 + 2x$

Сумма объемов на всех трех складах равна общему объему. Составим уравнение, используя полученные выражения:

$V_1 + V_2 + V_3 = 420$

$110 + (110 + x) + (110 + 2x) = 420$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

$(110 + 110 + 110) + (x + 2x) = 420$

$330 + 3x = 420$

Вычтем 330 из обеих частей уравнения:

$3x = 420 - 330$

$3x = 90$

Разделим обе части на 3:

$x = \frac{90}{3}$

$x = 30$

Мы выяснили, что разница в объеме составляет 30 м³. Теперь мы можем найти количество дров на втором складе, подставив значение $x$ в формулу для $V_2$:

$V_2 = 110 + x = 110 + 30 = 140$ м³

Ответ: на втором складе находится 140 м³ дров.

259 Ученики собрали 3,2 кг семян белой акации, жёлтой акации, клёна и липы. Сколько килограммов семян жёлтой акации собрали ученики, если семян белой акации они собрали в 3 раза больше, чем семян липы, семян клёна собрано в 2 раза больше, чем семян белой акации и липы вместе, а семян жёлтой акации на 1,2 кг больше, чем семян клёна?

Для решения этой задачи введем переменную. Пусть $x$ кг — это масса семян липы, которую собрали ученики.

Исходя из условий задачи, выразим массу семян остальных растений через $x$:

• Масса семян белой акации в 3 раза больше массы семян липы, следовательно, она равна $3x$ кг.
• Масса семян клёна в 2 раза больше, чем масса семян белой акации и липы вместе. Суммарная масса семян белой акации и липы составляет $3x + x = 4x$ кг. Значит, масса семян клёна равна $2 \cdot (4x) = 8x$ кг.
• Масса семян жёлтой акации на 1,2 кг больше массы семян клёна, то есть она равна $(8x + 1,2)$ кг.

Общая масса всех собранных семян составляет 3,2 кг. Составим уравнение, сложив массы семян всех четырех видов растений:

(масса семян липы) + (масса семян белой акации) + (масса семян клёна) + (масса семян жёлтой акации) = 3,2 кг

$x + 3x + 8x + (8x + 1,2) = 3,2$

Теперь решим это уравнение, чтобы найти значение $x$:

1. Сложим все слагаемые, содержащие $x$:

$x + 3x + 8x + 8x = 20x$

2. Уравнение примет вид:

$20x + 1,2 = 3,2$

3. Перенесем 1,2 в правую часть уравнения со знаком минус:

$20x = 3,2 - 1,2$

$20x = 2$

4. Найдем $x$:

$x = \frac{2}{20} = \frac{1}{10} = 0,1$

Мы нашли, что масса семян липы составляет 0,1 кг.

Вопрос задачи — найти массу семян жёлтой акации. Мы выразили ее как $8x + 1,2$. Подставим найденное значение $x=0,1$ в это выражение:

Масса семян жёлтой акации = $8 \cdot 0,1 + 1,2 = 0,8 + 1,2 = 2,0$ кг.

Для проверки можно найти массу всех семян:

• Липа: $x = 0,1$ кг
• Белая акация: $3x = 3 \cdot 0,1 = 0,3$ кг
• Клён: $8x = 8 \cdot 0,1 = 0,8$ кг
• Жёлтая акация: $2,0$ кг

Общая масса: $0,1 + 0,3 + 0,8 + 2,0 = 3,2$ кг. Результат совпадает с условием задачи, следовательно, расчеты верны.

Ответ: ученики собрали 2,0 кг семян жёлтой акации.

260 Из города A в город B выезжает велосипедист, а через 3 ч из города B навстречу ему выезжает мотоциклист, скорость которого в 3 раза больше скорости велосипедиста. Они встретились посередине между городами A и B. Сколько часов был в пути велосипедист?

Для решения этой задачи давайте обозначим скорость велосипедиста как $v$, а время, которое он был в пути до встречи, как $t$. Тогда расстояние, которое проехал велосипедист до встречи, равно $d_в = v \cdot t$.

По условию, скорость мотоциклиста в 3 раза больше скорости велосипедиста, то есть она равна $3v$.

Мотоциклист выехал на 3 часа позже велосипедиста. Значит, к моменту встречи он был в пути на 3 часа меньше, то есть его время в пути составляет $t - 3$ часа.

Расстояние, которое проехал мотоциклист до встречи, равно $d_м = (3v) \cdot (t - 3)$.

Известно, что они встретились посередине между городами А и В. Это означает, что они проехали одинаковое расстояние. Следовательно, мы можем приравнять выражения для пройденных ими путей:

$d_в = d_м$

$v \cdot t = 3v \cdot (t - 3)$

Поскольку скорость велосипедиста $v$ не может быть равна нулю, мы можем разделить обе части уравнения на $v$:

$t = 3 \cdot (t - 3)$

Теперь решим полученное линейное уравнение относительно $t$:

$t = 3t - 9$

$9 = 3t - t$

$9 = 2t$

$t = \frac{9}{2}$

$t = 4.5$

Таким образом, велосипедист был в пути 4,5 часа.

Ответ: 4,5 часа.

261 Из пункта A в пункт B вышел товарный поезд. Через $1.5 \text{ ч}$ вслед за ним вышел пассажирский поезд, скорость которого на $5 \text{ км/ч}$ больше скорости товарного поезда. Через $15 \text{ ч}$ после своего выхода пассажирский поезд обогнал товарный поезд на $21 \text{ км}$. Определите скорость товарного поезда.

Для решения задачи введем переменную. Пусть $v_т$ км/ч — скорость товарного поезда.

Согласно условию, скорость пассажирского поезда на 5 км/ч больше, следовательно, она составляет $(v_т + 5)$ км/ч.

Пассажирский поезд вышел из пункта А через 1,5 часа после товарного. В условии сказано, что через 15 часов после своего отправления он обогнал товарный поезд на 21 км.

Найдем время, которое каждый поезд был в пути к этому моменту:

Время в пути пассажирского поезда: $t_п = 15$ ч.

Товарный поезд был в пути на 1,5 часа дольше, поэтому его время в пути: $t_т = 15 + 1,5 = 16,5$ ч.

Теперь найдем расстояние, которое проехал каждый поезд, используя формулу $S = v \cdot t$:

Расстояние, пройденное товарным поездом: $S_т = v_т \cdot 16,5 = 16,5v_т$ км.

Расстояние, пройденное пассажирским поездом: $S_п = (v_т + 5) \cdot 15$ км.

По условию, расстояние, которое проехал пассажирский поезд, на 21 км больше расстояния, которое проехал товарный поезд. На основе этого можно составить уравнение:

$S_п - S_т = 21$

Подставим в уравнение выражения для расстояний:

$(v_т + 5) \cdot 15 - 16,5v_т = 21$

Решим полученное уравнение:

$15v_т + 75 - 16,5v_т = 21$

Приведем подобные слагаемые:

$75 - 1,5v_т = 21$

Перенесем свободные члены в одну сторону, а слагаемые с переменной — в другую:

$75 - 21 = 1,5v_т$

$54 = 1,5v_т$

Теперь найдем $v_т$:

$v_т = \frac{54}{1,5}$

$v_т = \frac{540}{15}$

$v_т = 36$

Таким образом, скорость товарного поезда равна 36 км/ч.

Проверка:
Скорость товарного поезда: 36 км/ч.
Скорость пассажирского поезда: $36 + 5 = 41$ км/ч.
Время в пути товарного поезда: $15 + 1,5 = 16,5$ ч.
Расстояние, пройденное товарным поездом: $36 \cdot 16,5 = 594$ км.
Время в пути пассажирского поезда: 15 ч.
Расстояние, пройденное пассажирским поездом: $41 \cdot 15 = 615$ км.
Разница в расстояниях: $615 - 594 = 21$ км.
Результат проверки подтверждает правильность решения.

Ответ: 36 км/ч.

262 Бассейн наполняется водой двумя трубами, работающими одновременно, за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За сколько часов можно наполнить бассейн через одну вторую трубу?

Это задача на совместную работу. Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $t_2$ часов — время, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая отдельно. Тогда ее производительность (скорость наполнения) равна $P_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

По условию, первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее, чем вторая. Значит, время, которое требуется первой трубе, составляет $t_1 = t_2 - 5$ часов. Ее производительность равна $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_2 - 5}$ бассейна в час.

Когда обе трубы работают одновременно, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2$.

Известно, что вместе они наполняют бассейн за 6 часов. Отсюда их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час.

Составим уравнение, приравняв два выражения для общей производительности. Для удобства заменим $t_2$ на $x$:

$\frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы знаменатели были не равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Так как $x$ — это время, оно должно быть положительным, а время работы первой трубы $(x-5)$ также должно быть положительным, что означает $x > 5$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{x + (x - 5)}{x(x - 5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x - 5}{x^2 - 5x} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получим:

$6(2x - 5) = 1 \cdot (x^2 - 5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим корни на соответствие условию задачи $x > 5$.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $15 > 5$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 5$, так как в этом случае время работы первой трубы было бы $2 - 5 = -3$ часа, что не имеет физического смысла. Этот корень является посторонним.

Следовательно, время, за которое вторая труба может наполнить бассейн, равно 15 часам.

Ответ: 15 часов.

263 Бассейн наполняется водой двумя трубами, работающими одновременно, за 12 ч. Если производительность первой трубы увеличить втрое, а производительность второй трубы уменьшить вдвое, то наполнение бассейна двумя одновременно работающими трубами произойдёт за 8 ч. За сколько часов наполняет бассейн каждая труба, работая с первоначальной производительностью?

Для решения задачи введем переменные и составим систему уравнений. Пусть весь объем бассейна равен 1.

Пусть $p_1$ — производительность первой трубы (часть бассейна, которую она наполняет за 1 час), а $p_2$ — производительность второй трубы. Тогда время, за которое первая труба наполнит бассейн в одиночку, равно $t_1 = \frac{1}{p_1}$, а время для второй трубы — $t_2 = \frac{1}{p_2}$.

Согласно первому условию, две трубы, работая вместе, наполняют бассейн за 12 часов. Их совместная производительность составляет $p_1 + p_2$. Таким образом, мы можем составить первое уравнение:
$12 \cdot (p_1 + p_2) = 1$
$p_1 + p_2 = \frac{1}{12}$

Согласно второму условию, если производительность первой трубы увеличить втрое (новая производительность станет $3p_1$), а производительность второй уменьшить вдвое (новая производительность станет $\frac{p_2}{2}$), то бассейн наполнится за 8 часов. Составим второе уравнение:
$8 \cdot (3p_1 + \frac{p_2}{2}) = 1$
$3p_1 + \frac{p_2}{2} = \frac{1}{8}$

Получили систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными:
$\begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{12} \\ 3p_1 + \frac{p_2}{2} = \frac{1}{8} \end{cases}$

Выразим $p_2$ из первого уравнения:
$p_2 = \frac{1}{12} - p_1$

Подставим это выражение во второе уравнение:
$3p_1 + \frac{1}{2} \left(\frac{1}{12} - p_1\right) = \frac{1}{8}$
$3p_1 + \frac{1}{24} - \frac{p_1}{2} = \frac{1}{8}$

Теперь решим полученное уравнение относительно $p_1$:
$3p_1 - \frac{p_1}{2} = \frac{1}{8} - \frac{1}{24}$
$\frac{6p_1 - p_1}{2} = \frac{3 - 1}{24}$
$\frac{5p_1}{2} = \frac{2}{24}$
$\frac{5p_1}{2} = \frac{1}{12}$
$5p_1 = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$
$p_1 = \frac{1}{30}$

Итак, производительность первой трубы составляет $\frac{1}{30}$ бассейна в час. Теперь найдем производительность второй трубы:
$p_2 = \frac{1}{12} - p_1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{30} = \frac{5}{60} - \frac{2}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$
Производительность второй трубы составляет $\frac{1}{20}$ бассейна в час.

Теперь мы можем найти время, за которое каждая труба наполнит бассейн, работая отдельно с первоначальной производительностью:
Время для первой трубы: $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{1/30} = 30$ часов.
Время для второй трубы: $t_2 = \frac{1}{p_2} = \frac{1}{1/20} = 20$ часов.

Ответ: первая труба, работая с первоначальной производительностью, наполнит бассейн за 30 часов, а вторая труба — за 20 часов.