Номер 262, страница 395 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Задания для повторения. Разные задачи - номер 262, страница 395.

Условие.

262 Бассейн наполняется водой двумя трубами, работающими одновременно, за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За сколько часов можно наполнить бассейн через одну вторую трубу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 5.

Это задача на совместную работу. Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $t_2$ часов — время, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая отдельно. Тогда ее производительность (скорость наполнения) равна $P_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

По условию, первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее, чем вторая. Значит, время, которое требуется первой трубе, составляет $t_1 = t_2 - 5$ часов. Ее производительность равна $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_2 - 5}$ бассейна в час.

Когда обе трубы работают одновременно, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2$.

Известно, что вместе они наполняют бассейн за 6 часов. Отсюда их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час.

Составим уравнение, приравняв два выражения для общей производительности. Для удобства заменим $t_2$ на $x$:

$\frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы знаменатели были не равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Так как $x$ — это время, оно должно быть положительным, а время работы первой трубы $(x-5)$ также должно быть положительным, что означает $x > 5$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{x + (x - 5)}{x(x - 5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x - 5}{x^2 - 5x} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получим:

$6(2x - 5) = 1 \cdot (x^2 - 5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим корни на соответствие условию задачи $x > 5$.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $15 > 5$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 5$, так как в этом случае время работы первой трубы было бы $2 - 5 = -3$ часа, что не имеет физического смысла. Этот корень является посторонним.

Следовательно, время, за которое вторая труба может наполнить бассейн, равно 15 часам.

Ответ: 15 часов.