Номер 262, страница 395 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 262, страница 395.

262 Бассейн наполняется водой двумя трубами, работающими одновременно, за 6 ч. Одна первая труба заполняет его на 5 ч быстрее, чем одна вторая. За сколько часов можно наполнить бассейн через одну вторую трубу?

Это задача на совместную работу. Примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $t_2$ часов — время, за которое вторая труба наполняет бассейн, работая отдельно. Тогда ее производительность (скорость наполнения) равна $P_2 = \frac{1}{t_2}$ бассейна в час.

По условию, первая труба наполняет бассейн на 5 часов быстрее, чем вторая. Значит, время, которое требуется первой трубе, составляет $t_1 = t_2 - 5$ часов. Ее производительность равна $P_1 = \frac{1}{t_1} = \frac{1}{t_2 - 5}$ бассейна в час.

Когда обе трубы работают одновременно, их общая производительность равна сумме их индивидуальных производительностей: $P_{общ} = P_1 + P_2$.

Известно, что вместе они наполняют бассейн за 6 часов. Отсюда их общая производительность равна $\frac{1}{6}$ бассейна в час.

Составим уравнение, приравняв два выражения для общей производительности. Для удобства заменим $t_2$ на $x$:

$\frac{1}{x - 5} + \frac{1}{x} = \frac{1}{6}$

Для решения уравнения необходимо, чтобы знаменатели были не равны нулю, то есть $x \neq 0$ и $x \neq 5$. Так как $x$ — это время, оно должно быть положительным, а время работы первой трубы $(x-5)$ также должно быть положительным, что означает $x > 5$.

Приведем левую часть уравнения к общему знаменателю:

$\frac{x + (x - 5)}{x(x - 5)} = \frac{1}{6}$

$\frac{2x - 5}{x^2 - 5x} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получим:

$6(2x - 5) = 1 \cdot (x^2 - 5x)$

$12x - 30 = x^2 - 5x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 5x - 12x + 30 = 0$

$x^2 - 17x + 30 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант.

Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 30 = 289 - 120 = 169$

$\sqrt{D} = \sqrt{169} = 13$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 + 13}{2} = \frac{30}{2} = 15$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{17 - 13}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Проверим корни на соответствие условию задачи $x > 5$.

Корень $x_1 = 15$ удовлетворяет условию $15 > 5$.

Корень $x_2 = 2$ не удовлетворяет условию $2 > 5$, так как в этом случае время работы первой трубы было бы $2 - 5 = -3$ часа, что не имеет физического смысла. Этот корень является посторонним.

Следовательно, время, за которое вторая труба может наполнить бассейн, равно 15 часам.

Ответ: 15 часов.