Номер 266, страница 396 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 266, страница 396.

266 Два экскаватора вырыли котлован за 48 дней. Первый экскаватор один мог бы выполнить эту работу в 3 раза быстрее второго. За сколько дней первый экскаватор, работая отдельно, мог бы выполнить эту работу?

Для решения этой задачи введем переменные и составим уравнение. Пусть весь объем работы по рытью котлована равен 1.

Обозначим за $t_1$ время (в днях), за которое первый экскаватор выполнит всю работу самостоятельно, и за $v_1$ его производительность (часть работы, выполняемая за один день). Тогда $v_1 = \frac{1}{t_1}$.

Аналогично, пусть $t_2$ — время для второго экскаватора, а $v_2$ — его производительность. Тогда $v_2 = \frac{1}{t_2}$.

Из условия задачи известно, что первый экскаватор может выполнить работу в 3 раза быстрее второго. Это значит, что ему потребуется в 3 раза меньше времени:

$t_1 = \frac{t_2}{3}$, или, что то же самое, $t_2 = 3t_1$.

Свяжем их производительности. Если время работы первого экскаватора в 3 раза меньше, то его производительность в 3 раза больше:

$v_1 = 3v_2$.

Когда два экскаватора работают вместе, их производительности складываются. Совместная производительность $v_{общ}$ равна:

$v_{общ} = v_1 + v_2$.

По условию, вместе они выполняют всю работу за 48 дней. Это значит, что их совместная производительность равна $\frac{1}{48}$ часть работы в день.

$v_1 + v_2 = \frac{1}{48}$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

1) $v_1 + v_2 = \frac{1}{48}$

2) $v_1 = 3v_2$

Подставим второе уравнение в первое, чтобы выразить все через производительность второго экскаватора $v_2$:

$3v_2 + v_2 = \frac{1}{48}$

$4v_2 = \frac{1}{48}$

$v_2 = \frac{1}{48 \cdot 4} = \frac{1}{192}$.

Это производительность второго экскаватора. Теперь найдем производительность первого экскаватора, используя соотношение $v_1 = 3v_2$:

$v_1 = 3 \cdot \frac{1}{192} = \frac{3}{192}$.

Сократим эту дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$v_1 = \frac{1}{64}$.

Мы нашли, что производительность первого экскаватора составляет $\frac{1}{64}$ часть работы в день. Чтобы найти время $t_1$, за которое он выполнит всю работу (1) в одиночку, нужно разделить объем работы на его производительность:

$t_1 = \frac{1}{v_1} = \frac{1}{\frac{1}{64}} = 64$ дня.

Ответ: первому экскаватору, работая отдельно, потребуется 64 дня для выполнения этой работы.