Номер 268, страница 396 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 268, страница 396.

268 Расстояние между двумя станциями железной дороги 96 км. Первый поезд проходит это расстояние на 40 мин быстрее, чем второй. Скорость первого поезда больше скорости второго на 12 км/ч. Определите скорость первого поезда.

Пусть $v_1$ км/ч — искомая скорость первого поезда, тогда скорость второго поезда равна $(v_1 - 12)$ км/ч.

Расстояние между станциями составляет $S = 96$ км.

Время, которое тратит первый поезд на этот путь, равно $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{96}{v_1}$ ч.

Время, которое тратит второй поезд, равно $t_2 = \frac{S}{v_1 - 12} = \frac{96}{v_1 - 12}$ ч.

Известно, что первый поезд проходит это расстояние на 40 минут быстрее, чем второй. Переведем разницу во времени в часы: $40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

Составим уравнение, исходя из того, что разница во времени движения поездов составляет $\frac{2}{3}$ часа: $t_2 - t_1 = \frac{2}{3}$ $\frac{96}{v_1 - 12} - \frac{96}{v_1} = \frac{2}{3}$

Для решения уравнения сначала разделим обе его части на 2: $\frac{48}{v_1 - 12} - \frac{48}{v_1} = \frac{1}{3}$

Приведем левую часть к общему знаменателю $v_1(v_1 - 12)$: $\frac{48v_1 - 48(v_1 - 12)}{v_1(v_1 - 12)} = \frac{1}{3}$ $\frac{48v_1 - 48v_1 + 576}{v_1^2 - 12v_1} = \frac{1}{3}$ $\frac{576}{v_1^2 - 12v_1} = \frac{1}{3}$

Используя свойство пропорции, получаем: $v_1^2 - 12v_1 = 576 \cdot 3$ $v_1^2 - 12v_1 = 1728$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v_1^2 - 12v_1 - 1728 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $D = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1728) = 144 + 6912 = 7056$ $\sqrt{D} = \sqrt{7056} = 84$

Найдем корни уравнения: $(v_1)_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 + 84}{2} = \frac{96}{2} = 48$ $(v_1)_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{12 - 84}{2} = \frac{-72}{2} = -36$

Поскольку скорость поезда не может быть отрицательной величиной, корень $(v_1)_2 = -36$ не подходит по смыслу задачи. Следовательно, скорость первого поезда равна 48 км/ч.

Ответ: 48 км/ч.