Номер 264, страница 396 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

Разные задачи. Задания для повторения - номер 264, страница 396.

264 Двое рабочих вместе выполняют некоторую работу за 5 дней. Если бы первый рабочий работал вдвое медленнее, то всю работу они выполнили бы за 6 дней. Сколько дней необходимо для выполнения этой работы первому рабочему?

Примем весь объем работы за единицу (1).

Пусть $p_1$ — это производительность первого рабочего (часть работы, которую он выполняет за один день), а $p_2$ — производительность второго рабочего.

Из условия известно, что двое рабочих, работая вместе, выполняют всю работу за 5 дней. Их совместная производительность равна $p_1 + p_2$. Составим первое уравнение, используя формулу Работа = Производительность × Время:

$ (p_1 + p_2) \cdot 5 = 1 $

Из этого уравнения выразим их совместную производительность:

$ p_1 + p_2 = \frac{1}{5} $

Далее, по второму условию, если бы первый рабочий работал вдвое медленнее, его производительность была бы в два раза меньше, то есть $\frac{p_1}{2}$. Работая вместе с новой производительностью первого рабочего, они бы выполнили работу за 6 дней. Составим второе уравнение:

$ (\frac{p_1}{2} + p_2) \cdot 6 = 1 $

Отсюда их новая совместная производительность:

$ \frac{p_1}{2} + p_2 = \frac{1}{6} $

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $p_1$ и $p_2$:

$ \begin{cases} p_1 + p_2 = \frac{1}{5} \\ \frac{p_1}{2} + p_2 = \frac{1}{6} \end{cases} $

Для решения системы вычтем второе уравнение из первого. Это позволит нам исключить переменную $p_2$ и найти $p_1$:

$ (p_1 + p_2) - (\frac{p_1}{2} + p_2) = \frac{1}{5} - \frac{1}{6} $

Раскроем скобки:

$ p_1 - \frac{p_1}{2} + p_2 - p_2 = \frac{6}{30} - \frac{5}{30} $

$ \frac{p_1}{2} = \frac{1}{30} $

Теперь найдем производительность первого рабочего $p_1$:

$ p_1 = 2 \cdot \frac{1}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15} $

Итак, производительность первого рабочего составляет $\frac{1}{15}$ часть работы в день. Чтобы найти, сколько дней ему потребуется для выполнения всей работы в одиночку, нужно разделить всю работу (1) на его производительность:

Время $t_1 = \frac{1}{p_1} = \frac{1}{\frac{1}{15}} = 15$ дней.

Ответ: 15 дней.