Страница 402 - гдз по алгебре 10 класс учебник Никольский, Потапов

311 Некоторое расстояние автомобиль преодолел в гору со скоростью 42 км/ч, а с горы со скоростью 56 км/ч. Какова средняя скорость движения автомобиля на всём участке пути?

Для нахождения средней скорости движения автомобиля необходимо разделить весь пройденный путь на все затраченное время. Формула средней скорости:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$

Обозначим расстояние, которое автомобиль проехал в гору, через $S$. Так как он ехал в гору, а затем с горы, то можно предположить, что расстояние на обоих участках одинаковое. Таким образом, весь пройденный путь составляет $S_{общ} = S + S = 2S$.

Скорость автомобиля при движении в гору составляла $v_1 = 42$ км/ч, а при движении с горы — $v_2 = 56$ км/ч.

Теперь найдем время, затраченное на каждый участок пути:

• Время движения в гору: $t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{S}{42}$ ч.
• Время движения с горы: $t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{S}{56}$ ч.

Общее время движения равно сумме времен на каждом участке:

$t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{42} + \frac{S}{56}$

Для сложения дробей найдем их наименьший общий знаменатель. Наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 42 и 56 равно 168.

$t_{общ} = \frac{4 \cdot S}{168} + \frac{3 \cdot S}{168} = \frac{4S + 3S}{168} = \frac{7S}{168}$

Теперь, зная общий путь и общее время, можем рассчитать среднюю скорость:

$v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{7S}{168}}$

Сократим $S$ в числителе и знаменателе и выполним вычисления:

$v_{ср} = \frac{2 \cdot 168}{7} = 2 \cdot 24 = 48$ км/ч.

Ответ: 48 км/ч.

312 ЕГЭ Велосипедист от дома до места работы едет со средней скоростью 10 км/ч, а обратно — со средней скоростью 15 км/ч, поскольку дорога идёт немного под уклон. Найдите среднюю скорость движения велосипедиста на всём пути от дома до места работы и обратно.

Для нахождения средней скорости движения велосипедиста на всём пути необходимо разделить весь пройденный путь на всё время, затраченное на этот путь.

Формула для средней скорости: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}}$, где $S_{общ}$ — это общий путь, а $t_{общ}$ — общее время в пути.

Пусть расстояние от дома до работы равно $S$ км. Тогда велосипедист проехал от дома до работы $S$ км и обратно столько же. Следовательно, общий путь составляет: $S_{общ} = S + S = 2S$

Время, затраченное на путь от дома до работы, можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$. Скорость на этом участке была $v_1 = 10$ км/ч, поэтому время: $t_1 = \frac{S}{10}$ часов.

Скорость на обратном пути была $v_2 = 15$ км/ч. Время, затраченное на обратный путь: $t_2 = \frac{S}{15}$ часов.

Общее время в пути равно сумме времени движения туда и обратно: $t_{общ} = t_1 + t_2 = \frac{S}{10} + \frac{S}{15}$

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 10 и 15 — это 30. $t_{общ} = \frac{3 \cdot S}{30} + \frac{2 \cdot S}{30} = \frac{3S + 2S}{30} = \frac{5S}{30} = \frac{S}{6}$ часов.

Теперь мы можем вычислить среднюю скорость на всём пути: $v_{ср} = \frac{S_{общ}}{t_{общ}} = \frac{2S}{\frac{S}{6}}$

$v_{ср} = 2S \cdot \frac{6}{S} = 2 \cdot 6 = 12$ км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

313 Зарплату сотрудника увеличили на несколько процентов. Через некоторое время новую зарплату увеличили на столько же процентов, как и в первый раз. На сколько процентов увеличили зарплату в первый раз, если за два раза она увеличилась на $44\%$ от первоначальной?

Пусть $S$ — первоначальная зарплата сотрудника, а $x$ — процент, на который увеличивали зарплату каждый раз. Для удобства вычислений представим процент в виде десятичной дроби, разделив его на 100. Обозначим эту долю как $p = \frac{x}{100}$.

Увеличение величины на $x$ процентов эквивалентно умножению этой величины на коэффициент $(1 + p)$.

После первого увеличения зарплата стала равна:

$S_1 = S \cdot (1 + p)$

Затем новую зарплату $S_1$ снова увеличили на тот же процент. Итоговая зарплата $S_2$ стала равна:

$S_2 = S_1 \cdot (1 + p) = (S \cdot (1 + p)) \cdot (1 + p) = S \cdot (1 + p)^2$

Согласно условию, за два раза зарплата увеличилась на 44% от первоначальной. Это означает, что итоговая зарплата $S_2$ составляет $100\% + 44\% = 144\%$ от $S$. В виде десятичной дроби это 1.44.

$S_2 = S \cdot 1.44$

Теперь мы можем приравнять два выражения для $S_2$:

$S \cdot (1 + p)^2 = S \cdot 1.44$

Разделим обе части уравнения на $S$ (поскольку первоначальная зарплата не равна нулю):

$(1 + p)^2 = 1.44$

Извлечем квадратный корень из обеих частей. Так как зарплата увеличивалась, коэффициент $(1+p)$ должен быть положительным.

$1 + p = \sqrt{1.44}$

$1 + p = 1.2$

Теперь найдем $p$:

$p = 1.2 - 1 = 0.2$

Мы нашли долю, на которую увеличивалась зарплата. Чтобы перевести ее обратно в проценты, нужно умножить на 100:

$x = p \cdot 100 = 0.2 \cdot 100 = 20\%$

Таким образом, каждый раз зарплату увеличивали на 20%.

Ответ: на 20%.

314 У Вовы пятёрок на 60% меньше, чем троек. На сколько процентов у Вовы троек больше, чем пятёрок?

Для решения этой задачи давайте обозначим количество троек у Вовы как $Т$, а количество пятёрок как $П$.

Из условия задачи известно, что количество пятёрок на 60% меньше, чем количество троек. Это означает, что количество пятёрок составляет $100\% - 60\% = 40\%$ от количества троек. Запишем это в виде математического соотношения:
$П = Т - 0.6 \cdot Т = (1 - 0.6) \cdot Т = 0.4 \cdot Т$

Теперь нам нужно найти, на сколько процентов количество троек ($Т$) больше, чем количество пятёрок ($П$). В этом случае за 100% (базу для сравнения) мы принимаем количество пятёрок.

Сначала выразим количество троек ($Т$) через количество пятёрок ($П$), используя полученную ранее формулу:
$П = 0.4 \cdot Т$
Чтобы найти $Т$, разделим обе части уравнения на 0.4:
$Т = \frac{П}{0.4} = \frac{П}{4/10} = \frac{10}{4} \cdot П = 2.5 \cdot П$

Это соотношение показывает, что количество троек в 2.5 раза больше, чем количество пятёрок. Чтобы выразить это в процентах по отношению к количеству пятёрок, можно рассуждать так:
Количество пятёрок ($П$) — это 100%.
Количество троек ($Т$) — это $2.5 \cdot П$, что соответствует $2.5 \cdot 100\% = 250\%$ от количества пятёрок.
Чтобы найти, на сколько процентов троек больше, чем пятёрок, вычтем из процентного значения троек процентное значение пятёрок:
$250\% - 100\% = 150\%$

Другой способ — использовать формулу для нахождения процентного увеличения:
Процентное увеличение $= \frac{\text{Разница}}{\text{Базовое значение}} \cdot 100\%$
Здесь разница — это $Т - П$, а базовое значение — $П$.
Процентное увеличение $= \frac{Т - П}{П} \cdot 100\%$
Подставим в формулу выражение $Т = 2.5 \cdot П$:
Процентное увеличение $= \frac{2.5 \cdot П - П}{П} \cdot 100\% = \frac{1.5 \cdot П}{П} \cdot 100\% = 1.5 \cdot 100\% = 150\%$

Ответ: на 150%.

315 У Лены пятёрок на 25% больше, чем троек. На сколько процентов у Лены троек меньше, чем пятёрок?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть $Т$ — это количество троек, а $П$ — это количество пятёрок у Лены.

Согласно условию, количество пятёрок на 25% больше, чем количество троек. Это означает, что количество пятёрок составляет 100% + 25% = 125% от количества троек. Выразим это математически:
$П = Т \times (1 + \frac{25}{100}) = Т \times 1.25$

Теперь нам нужно найти, на сколько процентов количество троек меньше, чем количество пятёрок. В этом случае за 100% мы принимаем количество пятёрок ($П$). Формула для вычисления процентного соотношения будет выглядеть так:
$ \frac{П - Т}{П} \times 100\% $

Чтобы решить это уравнение, мы можем выразить $Т$ через $П$ из первой формулы:
$Т = \frac{П}{1.25}$
Поскольку $1.25 = \frac{5}{4}$, то $Т = \frac{П}{5/4} = П \times \frac{4}{5} = 0.8 \times П$.

Это означает, что количество троек составляет 80% от количества пятёрок. Следовательно, количество троек меньше количества пятёрок на:
$100\% - 80\% = 20\%$

Также можно подставить выражение для разницы $П - Т$ напрямую в формулу:
$П - Т = П - 0.8 \times П = 0.2 \times П$
$ \frac{0.2 \times П}{П} \times 100\% = 0.2 \times 100\% = 20\% $

Таким образом, количество троек у Лены на 20% меньше, чем количество пятёрок.
Ответ: на 20%.

316 В понедельник цена акции увеличилась на 20%, во вторник она увеличилась ещё на 30%. На сколько процентов за эти два дня увеличилась цена акции?

Для решения этой задачи важно учесть, что второе повышение цены на 30% рассчитывается от новой, уже увеличенной в понедельник, цены. Простое сложение процентов ($20\% + 30\% = 50\%$) приведёт к неверному результату.

Пусть первоначальная цена акции составляет $x$.

1. Повышение в понедельник.
Цена увеличилась на 20%. Это означает, что новая цена стала равна первоначальной цене плюс 20% от неё. В виде коэффициента это можно записать как умножение на $1 + 0.20 = 1.2$.
Цена после понедельника: $P_1 = x \times 1.2 = 1.2x$.

2. Повышение во вторник.
Во вторник цена увеличилась ещё на 30%, но уже от новой цены $P_1 = 1.2x$. Повышение на 30% эквивалентно умножению на коэффициент $1 + 0.30 = 1.3$.
Итоговая цена после вторника: $P_2 = P_1 \times 1.3 = (1.2x) \times 1.3 = 1.56x$.

3. Расчёт общего процентного изменения.
Первоначальная цена была $x$, а итоговая стала $1.56x$. Чтобы найти общее процентное изменение, нужно сравнить итоговую цену с первоначальной.
Итоговый коэффициент изменения цены равен 1,56. Это означает, что конечная цена составляет 156% от первоначальной.
Общее увеличение в процентах составляет: $156\% - 100\% = 56\%$.
Также можно рассчитать через разницу:
$\frac{P_2 - x}{x} \times 100\% = \frac{1.56x - x}{x} \times 100\% = \frac{0.56x}{x} \times 100\% = 0.56 \times 100\% = 56\%$.

Ответ: на 56%.

317 Во вторник цена акции увеличилась на 30%, в среду она уменьшилась на 30%. Как изменилась цена акции за эти два дня и на сколько процентов?

Для решения этой задачи необходимо последовательно рассчитать изменение цены акции. Примем первоначальную цену акции за $x$. Эта цена соответствует 100%.

1. Изменение цены во вторник.
Цена увеличилась на 30%. Это значит, что новая цена составила $100\% + 30\% = 130\%$ от первоначальной. Чтобы найти новую цену, нужно умножить исходную цену на коэффициент, соответствующий 130%, то есть на $1.3$.
Цена после вторника: $x \times 1.3 = 1.3x$.

2. Изменение цены в среду.
Цена уменьшилась на 30%, но теперь уже от новой цены ($1.3x$), которая была установлена во вторник. Уменьшение на 30% означает, что от цены вторника осталось $100\% - 30\% = 70\%$. Чтобы найти итоговую цену, нужно цену вторника умножить на коэффициент, соответствующий 70%, то есть на $0.7$.
Итоговая цена после среды: $(1.3x) \times 0.7 = 0.91x$.

3. Общее изменение цены.
Первоначальная цена была $x$ (то есть $1x$), а итоговая цена стала $0.91x$. Это означает, что итоговая цена составляет 91% от первоначальной.
Чтобы найти, на сколько процентов изменилась цена, сравним начальное и конечное значения в процентах:
$100\% - 91\% = 9\%$.
Поскольку итоговая цена ($0.91x$) меньше первоначальной ($x$), цена акции уменьшилась.

Ответ: За эти два дня цена акции уменьшилась на 9%.

318 Второе число на 50% больше первого и на 50% меньше третьего. На сколько процентов третье число больше, чем первое?

Для решения этой задачи введем переменные. Пусть первое число будет $x$, второе число — $y$, а третье — $z$.

Из условия задачи известно, что второе число на 50% больше первого. Это означает, что второе число равно первому плюс 50% от первого. Выразим это математически:
$y = x + 0.5 \cdot x = 1.5x$

Также известно, что второе число на 50% меньше третьего. Это означает, что второе число составляет $100\% - 50\% = 50\%$ от третьего числа. Выразим это математически:
$y = z - 0.5 \cdot z = 0.5z$

Теперь у нас есть два уравнения для $y$. Мы можем их приравнять, чтобы найти соотношение между первым ($x$) и третьим ($z$) числами:
$1.5x = 0.5z$

Теперь выразим третье число ($z$) через первое ($x$):
$z = \frac{1.5x}{0.5}$
$z = 3x$

Нам нужно найти, на сколько процентов третье число больше первого. Для этого используем формулу процентного различия: $\frac{\text{разница}}{\text{исходное значение}} \times 100\%$. В нашем случае исходное значение — это первое число ($x$), а разница — это $(z - x)$.
$\frac{z - x}{x} \times 100\%$

Подставим в эту формулу найденное нами соотношение $z = 3x$:
$\frac{3x - x}{x} \times 100\% = \frac{2x}{x} \times 100\% = 2 \times 100\% = 200\%$

Ответ: третье число больше первого на 200%.

319 На помидоры мама потратила денег на 25% меньше, чем на огурцы, и на 200% больше, чем на картофель. На сколько процентов меньше она потратила денег на картофель, чем на огурцы?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие суммы денег, потраченные на каждый вид овощей: $П$ — на помидоры, $О$ — на огурцы, $К$ — на картофель.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.
1. На помидоры мама потратила на 25% меньше денег, чем на огурцы. Это означает, что стоимость помидоров составляет $100\% - 25\% = 75\%$ от стоимости огурцов. Запишем это в виде формулы:
$П = (1 - 0.25) \cdot О = 0.75 \cdot О$

2. Также на помидоры было потрачено на 200% больше, чем на картофель. Это означает, что стоимость помидоров составляет $100\% + 200\% = 300\%$ от стоимости картофеля, то есть в 3 раза больше. Запишем это в виде формулы:
$П = (1 + 2.00) \cdot К = 3 \cdot К$

Поскольку левые части обоих уравнений равны ($П$), мы можем приравнять их правые части, чтобы установить связь между расходами на огурцы ($О$) и картофель ($К$):
$0.75 \cdot О = 3 \cdot К$

Вопрос задачи: "На сколько процентов меньше она потратила денег на картофель, чем на огурцы?". Для ответа на этот вопрос нужно вычислить процентное соотношение разницы их стоимостей к стоимости огурцов (которая принимается за базу, т.е. 100%). Искомая величина вычисляется по формуле:
$\frac{О - К}{О} \cdot 100\%$

Из уравнения $0.75 \cdot О = 3 \cdot К$ выразим стоимость картофеля $К$ через стоимость огурцов $О$:
$К = \frac{0.75 \cdot О}{3} = 0.25 \cdot О$

Теперь подставим это выражение для $К$ в формулу для расчета процентной разницы:
$\frac{О - 0.25 \cdot О}{О} \cdot 100\% = \frac{0.75 \cdot О}{О} \cdot 100\% = 0.75 \cdot 100\% = 75\%$

Таким образом, на картофель было потрачено на 75% меньше денег, чем на огурцы.

Ответ: на 75%.

320 ЕГЭ Брюки дороже рубашки на 20% и дешевле пиджака на 46%. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цены каждого предмета одежды. Пусть $Р$ – цена рубашки, $Б$ – цена брюк, а $П$ – цена пиджака.

Согласно первому условию, брюки дороже рубашки на 20%. Это означает, что цена брюк составляет 100% + 20% = 120% от цены рубашки. Выразим это математически:
$Б = Р \cdot (1 + \frac{20}{100}) = 1.2 \cdot Р$

Согласно второму условию, брюки дешевле пиджака на 46%. Это означает, что цена брюк составляет 100% - 46% = 54% от цены пиджака. Выразим это математически:
$Б = П \cdot (1 - \frac{46}{100}) = 0.54 \cdot П$

Теперь у нас есть два выражения для цены брюк ($Б$), которые мы можем приравнять друг другу, чтобы установить связь между ценой рубашки ($Р$) и ценой пиджака ($П$):
$1.2 \cdot Р = 0.54 \cdot П$

Вопрос задачи — «На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?». Для ответа нам нужно найти процентное отношение разницы их цен к цене пиджака. Сначала выразим цену рубашки ($Р$) через цену пиджака ($П$) из полученного выше равенства:
$Р = \frac{0.54 \cdot П}{1.2}$
Для упрощения дроби можно умножить числитель и знаменатель на 100: $\frac{54}{120}$. Сократим дробь: $\frac{54}{120} = \frac{27}{60} = \frac{9}{20}$.
$Р = \frac{9}{20} \cdot П = 0.45 \cdot П$

Это равенство показывает, что цена рубашки составляет 0.45, или 45%, от цены пиджака. Чтобы найти, на сколько процентов рубашка дешевле, нужно найти разницу между ценой пиджака (которую мы принимаем за 100%) и ценой рубашки:
$100\% - 45\% = 55\%$

Также можно использовать формулу для нахождения процентной разницы:
$\frac{П - Р}{П} \cdot 100\% = \frac{П - 0.45 \cdot П}{П} \cdot 100\% = \frac{(1 - 0.45) \cdot П}{П} \cdot 100\% = \frac{0.55 \cdot П}{П} \cdot 100\% = 0.55 \cdot 100\% = 55\%$

Ответ: 55

321 ЕГЭ 20%. Брюки дороже рубашки на $25\%$ и дешевле пиджака на $20\%$. На сколько процентов рубашка дешевле пиджака?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие цены товаров:

Пусть Р – цена рубашки, Б – цена брюк, П – цена пиджака.

Исходя из условий задачи, составим систему уравнений.

1. Брюки дороже рубашки на 25%.

Это означает, что цена брюк составляет 100% + 25% = 125% от цены рубашки. В виде формулы это выглядит так:

$Б = Р + 0,25 \cdot Р = 1,25 \cdot Р$

2. Брюки дешевле пиджака на 20%.

Это означает, что цена брюк составляет 100% - 20% = 80% от цены пиджака. В виде формулы это выглядит так:

$Б = П - 0,20 \cdot П = 0,8 \cdot П$

Поскольку левые части обоих уравнений равны (обе равны Б), мы можем приравнять их правые части:

$1,25 \cdot Р = 0,8 \cdot П$

Нам необходимо найти, на сколько процентов рубашка дешевле пиджака. Это означает, что мы должны найти отношение разницы цен рубашки и пиджака к цене пиджака и умножить на 100%. Искомая величина вычисляется по формуле:

$\frac{П - Р}{П} \cdot 100\%$

Для этого выразим цену рубашки Р через цену пиджака П из нашего уравнения:

$Р = \frac{0,8}{1,25} \cdot П$

Вычислим значение дроби:

$\frac{0,8}{1,25} = \frac{80}{125} = \frac{16 \cdot 5}{25 \cdot 5} = \frac{16}{25} = 0,64$

Таким образом, цена рубашки составляет 64% от цены пиджака:

$Р = 0,64 \cdot П$

Теперь подставим это выражение в формулу для расчета процентной разницы:

$\frac{П - 0,64 \cdot П}{П} \cdot 100\% = \frac{П \cdot (1 - 0,64)}{П} \cdot 100\% = \frac{0,36 \cdot П}{П} \cdot 100\%$

Сокращаем П и получаем:

$0,36 \cdot 100\% = 36\%$

Следовательно, рубашка дешевле пиджака на 36 процентов.

Ответ: 36.

322 ЕГЭ В магазине костюм, состоящий из пиджака и брюк, стоит на 20% дороже, чем такой же костюм на рынке, причём брюки стоят на 30% дороже, чем на рынке, а пиджак — на 15%.

Во сколько раз на рынке брюки от этого костюма дешевле пиджака?

Для решения задачи введем переменные. Пусть $P_p$ — цена пиджака на рынке, а $B_p$ — цена брюк на рынке. Тогда стоимость всего костюма на рынке составляет $K_p = P_p + B_p$.

Соответственно, пусть $P_m$ — цена пиджака в магазине, а $B_m$ — цена брюк в магазине. Стоимость костюма в магазине составляет $K_m = P_m + B_m$.

Используя данные из условия задачи, запишем соотношения цен в виде уравнений:

1. Костюм в магазине стоит на 20% дороже, чем на рынке. Это означает, что цена в магазине составляет 120% от цены на рынке:
$K_m = K_p \cdot (1 + 0.20) = 1.2 \cdot K_p$.
Подставив $K_p = P_p + B_p$, получаем: $K_m = 1.2 \cdot (P_p + B_p)$.

2. Брюки в магазине стоят на 30% дороже, чем на рынке:
$B_m = B_p \cdot (1 + 0.30) = 1.3 \cdot B_p$.

3. Пиджак в магазине стоит на 15% дороже, чем на рынке:
$P_m = P_p \cdot (1 + 0.15) = 1.15 \cdot P_p$.

Теперь выразим стоимость костюма в магазине ($K_m$) через цены его составляющих в магазине:
$K_m = P_m + B_m = 1.15 \cdot P_p + 1.3 \cdot B_p$.

Мы получили два выражения для стоимости костюма в магазине ($K_m$). Приравняем их, чтобы найти связь между ценами пиджака и брюк на рынке:
$1.2 \cdot (P_p + B_p) = 1.15 \cdot P_p + 1.3 \cdot B_p$.

Раскроем скобки в левой части уравнения:
$1.2 \cdot P_p + 1.2 \cdot B_p = 1.15 \cdot P_p + 1.3 \cdot B_p$.

Сгруппируем слагаемые с переменной $P_p$ в одной части уравнения, а с $B_p$ — в другой:
$1.2 \cdot P_p - 1.15 \cdot P_p = 1.3 \cdot B_p - 1.2 \cdot B_p$.

Выполним вычитание:
$0.05 \cdot P_p = 0.1 \cdot B_p$.

Вопрос задачи — "во сколько раз на рынке брюки от этого костюма дешевле пиджака?". Для ответа на этот вопрос нам нужно найти отношение цены пиджака к цене брюк на рынке, то есть $\frac{P_p}{B_p}$.

Из полученного уравнения $0.05 \cdot P_p = 0.1 \cdot B_p$ выразим это отношение:
$\frac{P_p}{B_p} = \frac{0.1}{0.05}$.
$\frac{P_p}{B_p} = 2$.

Это соотношение показывает, что на рынке пиджак в 2 раза дороже брюк. Следовательно, брюки в 2 раза дешевле пиджака.

Ответ: в 2 раза.

323 Машина едет из пункта $A$ в пункт $B$ через перевал $C$ (от $A$ до $C$ подъём, от $C$ до $B$ спуск). На подъёме и спуске скорости машины постоянны. Отношение времени подъёма к времени спуска при движении из $A$ в $B$ равно 1,6, а при движении из $B$ в $A$ — 0,9.

a) Во сколько раз скорость машины на подъёме меньше её скорости на спуске?

б) Во сколько раз расстояние $AC$ больше расстояния $CB$?

Обозначим основные величины:
$S_{AC}$ – расстояние от пункта A до перевала C (подъём при движении из A в B).
$S_{CB}$ – расстояние от перевала C до пункта B (спуск при движении из A в B).
$v_п$ – постоянная скорость машины на подъёме.
$v_с$ – постоянная скорость машины на спуске.

Рассмотрим движение по маршруту из A в B:
Время на подъём (участок AC): $t_{п, AB} = \frac{S_{AC}}{v_п}$.
Время на спуск (участок CB): $t_{с, AB} = \frac{S_{CB}}{v_с}$.
Согласно условию, отношение времени подъёма ко времени спуска равно 1,6:
$\frac{t_{п, AB}}{t_{с, AB}} = \frac{S_{AC}/v_п}{S_{CB}/v_с} = \frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot \frac{v_с}{v_п} = 1,6$ (1)

Рассмотрим движение по обратному маршруту из B в A:
На этом пути участок BC становится подъёмом, а участок CA – спуском.
Время на подъём (участок BC): $t_{п, BA} = \frac{S_{CB}}{v_п}$.
Время на спуск (участок CA): $t_{с, BA} = \frac{S_{AC}}{v_с}$.
Согласно условию, отношение времени подъёма ко времени спуска равно 0,9:
$\frac{t_{п, BA}}{t_{с, BA}} = \frac{S_{CB}/v_п}{S_{AC}/v_с} = \frac{S_{CB}}{S_{AC}} \cdot \frac{v_с}{v_п} = 0,9$ (2)

Таким образом, мы получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными отношениями: $\frac{S_{AC}}{S_{CB}}$ и $\frac{v_с}{v_п}$.

Чтобы найти отношение скоростей $\frac{v_с}{v_п}$, перемножим левые и правые части уравнений (1) и (2):
$(\frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot \frac{v_с}{v_п}) \cdot (\frac{S_{CB}}{S_{AC}} \cdot \frac{v_с}{v_п}) = 1,6 \cdot 0,9$

Сократив в левой части дроби с расстояниями, получим:
$(\frac{v_с}{v_п})^2 = 1,44$

Извлекая квадратный корень из обеих частей уравнения, находим искомое отношение скоростей (так как скорость — величина положительная, выбираем положительный корень):
$\frac{v_с}{v_п} = \sqrt{1,44} = 1,2$

Это означает, что скорость на спуске в 1,2 раза больше скорости на подъёме, или, что эквивалентно, скорость на подъёме в 1,2 раза меньше скорости на спуске.

Ответ: в 1,2 раза.

Для ответа на этот вопрос нам нужно найти отношение расстояний $\frac{S_{AC}}{S_{CB}}$. Воспользуемся уравнением (1) и результатом, полученным в пункте а).
Уравнение (1): $\frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot \frac{v_с}{v_п} = 1,6$

Мы уже знаем, что $\frac{v_с}{v_п} = 1,2$. Подставим это значение в уравнение:
$\frac{S_{AC}}{S_{CB}} \cdot 1,2 = 1,6$

Теперь выразим искомое отношение расстояний:
$\frac{S_{AC}}{S_{CB}} = \frac{1,6}{1,2} = \frac{16}{12} = \frac{4}{3}$

Таким образом, расстояние AC в $\frac{4}{3}$ раза больше расстояния CB.

Ответ: в $\frac{4}{3}$ раза (или примерно в 1,33 раза).